Liber Abaci (算盤の書, 計算の書)

リベル・アバチ (Liber Abaci あるいは Liber Abbaci, ラテン語で「計算の本」）はピサのレオナルド (Leonardo of Pisa) ―― 死後フィボナッチ (Fibonacci) と呼ばれた ―― による 1202 年のラテン語の算術の本であった。これは 10 進の位取り記数法 (base-10 positional notation) とアラビア数字と呼ばれる記号をヨーロッパに導入したことで主に有名である。

リベル・アバチはインド・アラビア数字 ( Hindu–Arabic numeral system) を記述し、現代の「アラビア数字」に似た記号を使用した最初の西洋の本の 1 つであった。これは、商的なトレーダーと数学者の両方の応用に対処することによって、このシステムと記号 (glyph) の優越性を奨励した。

本の表題は時々「そろばんの本」(The Book of Abacus) と翻訳されるが、シグラー (Sigler, 2002 年) が注意するように、表題の単語は計算装置としてのそろばんを言及していない。むしろ、単語の「abacus」(アバカス) は当時どのような形式の計算を言及するにも使用され、 b が 2 つある「abbacus」の綴りは、イタリアでインド・アラビア数字を使用する計算を言及するのに使用されたし、現在でも使用されている。この本はそろばんの助けなしに計算する方法を説明しており、オーア (Ore, 1948 年) が裏付けているように、出版後何世紀も、アルゴリズム主義者 (リベル・アバチに実証された計算方式の追随者) はそろばん主義者 (ローマ数字とあわせてそろばんを使用し続ける伝統主義者) と紛争状態のままである。カール・ボイヤー (Carl Boyer) が「数学の歴史」で強調するように、それ自体「リベル・アバチはそろばんに関するものではない」が、にもかかわらず「.... インド・アラビア数字の使用が強く推奨される代数的方法と問題に関するとても徹底的な論説である」。

最初の節で、インド・アラビア数字が導入され、その算術及び異なる表示システム間の変換方法が含まれる。この節はある数が合成数かどうかをテストするための試し割り法 (trial devision) と、もし合成数であれば分解することの最初の既知の説明が含まれる。

第二節は商業からの実例、例えば貨幣と測定の変換, 利益と利子の計算を提示する。

第三節は幾つかの数学の問題を議論し、例えばこれに含まれることに、中国の剰余の定理、完全数、メルセンヌ素数、更には等差級数、四角錐数 (square pyramidal numbers) の公式である。この節の他の実例に含まれるものに、うさぎの個体数の増加があり、ここで解法に数列の生成が要求される。もっとも、その結果じるフィボナッチ数列はレオナルドよりずっと前にさかのぼるが、彼がこれをこの本に含めたため、今日この数列が彼にちなんで命名されている。

第四節では平方根のような無理数の数値的・幾何学的近似が引き出される。

この本はユークリッド幾何学の証明も含んでいる。代数方程式を解くフィボナッチの方法は 10 世紀始めのエジプトの数学者アブー・カーミル (Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam) の影響を見せている。

リベル・アバチで、フィボナッチの有理数の記号は、その時までに一般に使用されたエジプト分数と今日なお使用される常分数 (vulgar fraction) の間の中間的形態である。

この表記方法の複雑さにより、数を多くの異なる方法で書くことができ、フィボナッチは 1 つの表示様式から別の様式に変換する幾つかの方法を説明した。特に II.7 章は仮分数をエジプト分数に変換する方法の一覧を含み、これにエジプト分数のグリーディ・アルゴリズム ( greedy algorithm for Egyptian fractions) が含まれ、フィボナッチ・シルベスター展開 (Fibonacci-Sylvester expansion) とも呼ばれる。

リベル・アバチでフィボナッチは次を述べ、肯定的なインド人の方式 (Modus Indorum (the method of Indians)) を導入し、これは、これは今日インド・アラビア数字システム、あるいは 10 を基数とする位取り記数法 (base-10 positional notation) と呼ばれる。また数字も導入し、これは現代のアラビア数字に随分似ている。

私の父は故郷から離れた公務員で、ベジャイア (Bugia) の税関に駐留し、税関はピサの商人のために設置され、彼らはそこに頻繁に集まっていた。父親は私が若い時に彼の傍に私を置き、私のために有益・快適な未来を探した。そこで彼が望んだことは、私が数学を学び、そのうち教えを受けることであった。インドの 9 つの数字の技巧の素晴らしい教えから、技巧の入門と知識は、何にもまして私を喜ばせた。私は近くのエジプト、シリア、ギリシャ、シシリア、プロヴァンス (Provence) の、これを学んだ人の誰からも、そして色々な方法を学んだ。この事業の場所には後年もっと学ぶために随分と旅をして、集まった論争から学んだ。しかし、これは全体として、アルゴリズムと Pythagorean arcs でさえ、私はインドの方法と比較すれば、ほとんど間違いとさえ、なお思っている。従ってインドの方式を厳密に受け入れ、この研究に注意し、私自身の感覚から少々を追加し、そして微細なユークリッド幾何学の技法からなお少々を追加して、この本に認めることができる概要を適用して、全部をまとめた。 15 の異なる章にまとめる作業をして、私が提示できるほとんどすべてのことにある種の証明を与え、そして更に、この方法は他のものよりも完成され、この科学は、熱心な人に教授され、そして他の人よりもイタリア人に教授されるが、現在まで、彼らに制限しているわけでないとわかっている。もしも偶然、多かれ少なかれ、適切あるいは必要なことを省略していても猶予願いたい。失敗のない人はおらず、すべてのことで十分考慮しているからである。

9 つのインドの数字は :
9 8 7 6 5 4 3 2 1
この 9 つの数字と、アラビア人が zephir と呼ぶ記号 0 を使えば、どのような数であれ、書くことができる ....

言い換えると、彼は数字 0-9 と位取り記数法 (place value) の使用を奨励した。この時までに、ヨーロッパ人はローマ数字を使用し、現代的な数学がほとんど不可能であった。従って、この本は 10 進数の普及に重要な貢献をした。オーア (Ore) が記述するように、インド・アラビア数字のシステムの普及は延々と続き、広く普及するために何世紀もかかり、16 世紀後半に至るまで完全ではなく、印刷の到来と共に 1500 年代になって始めて劇的に加速した。

最初の写本の登場は 1202 年であった。このバージョンの写しは知られていない。リベル・アバチの改訂版はマイケル・スコット (Michael Scot) に献呈され、1228 年に登場した。このテキストの一部分を含む現存する少なくとも 19 の写本がある。 13 世紀と 14 世紀のこの写本の 3 つの完全なバージョンがある。更に 9 つの不完全な写しが、13 世紀と 14 世紀の間に知られ、確認されていないものが、もっとあるかもしれない。

1857 年のボンコンパーニ版 (Boncompagni) まではリベル・アバチの印刷版は知られていない。最初の完全な英語版は 2002 年のシグラー (Sigler) のテキストであった。