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以下の文書は次の翻訳です。使用している絵も英語版の Wikipedia の絵から作ったものです。
Eclipse cycle - Wikipedia (エクリプス・サイクル)
日本語では「日食」、「月食」がそれぞれ 1 つの言葉として使用されています。 しかし、英語では eclipse (エクリプス、食) という言葉が使用されることが多く、 「日食」、「月食」を区別するには solar eclipse (日食), lunar eclipse (月食) のように表現します。 以下の記述を見てもらえば分かることですが、 日食と月食は独立に起きているわけではなく、 「日食の周期」とか「月食の周期」のように別々に扱うと問題点を見失ってしまいます。
「食の周期」は「月の会合周期」(= 太陰暦の 1 ヵ月の日数) と「月のノード周期」(本分の説明を参照) がわかれば簡単な連分数展開 で決定できます。 月食は地球の夜の場所から必ず観測できますが、 月の方が地球より大きさが小さいので、 日食は地球上の限定した場所でしか観測できません。 そのため、日食が起きることが分かったにせよ、 地球上のどこで起きるかの決定は古代には困難であったと思われます。 但し、日食が「地球上のどこかで起きそうであるか」は判断ができたと思われます。
連分数展開ができれば、日食・月食の周期がわかりますから、 古代ギリシャ (あるいはヘレニズム文明) ではこれが可能であることがはっきりするし、 ヘレニズム文明の影響を受けた古代のイスラム世界やインドでも同様なことになります。 そうすると、古代中国で連分数展開が可能であったのかが問題となります。ネットで検索すると 次がヒットしました。
中国古代暦法の周期 (PDF)
古代バビロニアでも日食・月食の周期は知られていたはずですが、 古代バビロニアでは、そもそも分数の概念がないので、連分数展開をそのまま使用したわけではないと思います。 どうしたのでしょうか... 随分不思議なことです。
食 (日食、月食) はある一定時間をおいて繰り返し起きる。 この間隔を「食の周期」と呼ぶ。 この一定期間をおいて繰り返し起きる一連の食のことをエクリプス・シリーズ (食の列, eclipse series) と呼ぶ。
エクリプス (食) が起きるのは、地球と月が太陽と一列になった時で、 一方の天体が太陽による影を他方の天体に落とす時である。 新月の時には、月が太陽と同じ方向になった時に、 月が太陽の前面を通過するかもしれない。 これは地球上の狭い領域で観測され日食となる。 満月の時には、月は太陽の反対側にあり、月が地球の影を通過するかもしれない。 このとき月食が地球の夜の部分で観測される。
注意：月が同じ方向で一列になるとき、あるいは反対方向に一列になる時には 特別な用語 - 天文朔望 (さくぼう, syzygy) - があり、これは、このような月の相 (phase) の 重要性によるものである。
日食や月食は、新月や満月のときに必ず起きるわけではない。 その理由は地球の周りの月の軌道面が、太陽の周りの地球の軌道面 (黄道面, ecliptic) に関して 傾いているからである。 そのため、地球から見た時に、 月が太陽にもっとも近い時 (新月の時) や、もっとも遠い時 (満月の時) には 3 つの天体は 通常は正確に同じ直線状にないのである。
傾きは平均でおおよそ
I = 5°09'
この数値と、関連する見かけ上の直径を比較してみよう。
太陽 ：32' 2" 月 ：31' 27" (月の真下の地球の表面から見た時) そして ：1°23' (月と地球が平均的な距離の時の地球の影の平均の直径)
それゆえ、ほとんどの新月の時には、地球は月の影のはるかに北か南を通過し、 ほとんどの満月の時には、月は地球の影を通ることがない。 また、大抵の日食のときには月が近地点 (perigee) にいる場合を除いて、 月の見かけ上の直径は太陽を完全に隠蔽するのに十分ではない。 いずれにせよ、一列になった時に食が完全なものとなるには十分に近接していなければならない。
食が起きるのは月が地球の軌道面に近い時のみである、 すなわち、月の 黄緯（こうい、ecliptic latitude) が小さい場合のみである。 これが起きるのは月が天文朔望(さくぼう, syzygy) のときに、月の軌道上の 2 つあるノード に近い時である。 無論、食が起きるためには、太陽も同時にノード (node) の近くにいないといけない。 日食の場合には同じノードで、月食の時には反対側のノードである。
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太陽が月のノードに近い時、エクリプス・シーズン (食シーズン, eclipse season) と呼ばれ、これは 1, 2 ヵ月続き、１年に 2 度あり、 この間に食が (最大 3 回) 起きるのである。
エクリプス (食) は毎月起きることはない。 何故ならば、食が起きれば、その翌月には、太陽、月、地球の相対位置が変化するためである。
地球から見れば、月がノードに戻るまでの時間 -- これは「月のノード周期」 (draconic month) と呼ばれる -- は月が太陽と同じ 黄経 (こうけい, ecliptic longitude) に戻るまでの時間 -- これは 「月の会合周期」(synodic month) と呼ばれる -- よりは短い。 その主な理由は、その間に月が地球の周りを一周する間に 地球 (及び月) が太陽の周りをおよそ 1/13 周するため、 月が再び太陽と同じ方向あるいは反対方向に一列となるためには この遅れを取り戻さないといけないためである。 第二には、月の軌道面のノードが西の方向に移動しているためであり、18½ 年で一周する。 そのため、「月のノード周期」 (draconic month) は 「月の恒星周期」 (sidereal month) よりは短いのである。 ひっくるめると、「月の会合周期」(synodic month) と「月のノード周期」(draconic month) は 2⅓ 日違うのである。 同様にして、地球から見ると、太陽は黄道を動く間に 2 つのノードを通過する。 太陽が元のノードに戻るまでの時間を「食年」 (eclipse year) あるいは「太陽のノード周期」(draconic year) と呼び、およそ 346.6201 日である。 これは、 ノードの移動によって、恒星年 (sidereal year) よりはおよそ 1/20 年短い。
もしも日食が、ある新月の時に起きれば、新月はノードに近い位置でなければならず、 次の満月の時には月は反対側のノードをすでに 1 日分過ぎており、 地球の影に入るかもしれないし、そうでないかもしれない。 しかし、次の新月には、月はノードよりは更に前進しており、地球上のどこかで日食が起きる可能性はより低くなる。 翌月には、もはや確実に何も起きない。
しかしながら、5 回か 6 回の「月の会合周期」の後には、新月は反対側のノードに近くなる。 この時間 (食年の半分の時間) に太陽も反対側のノードに移動し、 再び 1 度もしくはそれ以上の食が起きる可能性がある。
| 恒星年 (sidereal year) | 365.2536 |
| 太陽年 (tropical year) | 365.2424 |
| 食年 (eclipse year) | 346.6201 |
以上は漠然とした予測である。 しかしながら、 もしも食があるときに起きたことを知っていれば、 S 回の「月の会合周期」(synodic month) が、D 回の「ノード周期」 (draconic month) -- D は整数 (同じノードに戻る) あるいは 整数 + ½ (反対側のノードに戻る) -- に一致すれば、再び食が起きる。 従って、食の周期はおよそ次を満たす期間 P である
食が起きれば、 P 期間ごとに、別の食が起きる可能性がある。 これは限定された期間でのみ正しい、というのは関係式は単に近似だからである。
考察すべき別の点に、月の動きが完全円でないことがある。 月の軌道は明白な楕円であり、 地球からの距離が変化するのである。 距離が変化するため、月の見かけの直径が変化し、 食が起きる可能性、継続時間、その種類 (部分 (partial)、環状 (annular)、完全 (total)、混合 (mixed)) に影響を与える。 この軌道周期は 「月の近点周期」 (anomalistic month) と呼ばれ、 「月の会合周期」 (synodic month) と共に、「完全な月の周期」 (full moon cycle) を定め、 これはおよそ月の 14 回の会合周期となり、満月 (あるいは新月) の見かけに影響を及ぼす。 月は地球に近い時 (近地点 (perigee) に近い時) に速く動き、 遠地点 (apogee) に近い時 (一番遠い時) に遅くなり、 周期的に天文朔望のタイミングを平均的には ±14 時間変動し、 見かけ上の月の直径を ±6% 変動する。 食の周期をより正確に予測するには「近点周期」の整数倍にする必要がある。
(例えば Meeus (1991 年) に掲載されている 2000 年 1 月に有効な月の天体暦 ELP2000-85 によれば) 以下が上記で議論した色々な月の周期である。
| SM | = 29.530588853 日 | (月の会合周期) |
| DM | = 27.212220817 日 | (月のノード周期) |
| AM | = 27.55454988 日 | (月の近点周期) |
| EY | = 346.620076 日 | (食年) |
注意することは、主に 3 つの動点 -- 太陽、月、(上昇) ノード -- があって、 動点が互いに一致するための 3 つの周期 -- 月が太陽に戻る時の会合周期、 月がノードに戻るノード周期、太陽がノードに戻る食年 -- があることである。 これらの 3 つの二者関係は独立ではない (すなわち月の会合周期と食年は共に 太陽の見かけの動きに依存し、ノード周期と食年は共にノードの動きに依存する)、 実際、 食年は次のように、月の会合周期とノード周期の「うなり周期」(beat period) (すなわち月の会合周期と月のノード周期の差の周期) で記述することが可能である。
EY =
SM × DM SM ─ DM
これは上の数値を代入してみれば確認できる。
食の周期には一定の時間があり、 この期間は会合周期の整数倍に密接に一致し、 ノード周期の整数倍、あるいは半整数倍に密接に一致する。 食が起きた後、このような一定期間の後に (新月あるいは満月による) 天文朔望が黄道上の月の軌道の ノードで再び起き、食が再び起きる可能性がある。 しかしながら、会合周期とノード周期は 通約不能 (incommensurable) であり、 比は整数ではない。この比を共通分数で近似する必要がある。 分子と分母は 2 つの周期 -- 月の会合周期と月のノード周期 -- の倍数を与え、これが (近似的に) 同じ時間にまたがり、食の周期となる。
このような分数は連分数展開により見出すことが可能である。 この算術的技法により、任意の実数をより良い分数で近似する (分数の) 列が与えられる。
ノード周期の半分で食が起きる可能性があるため、 月の会合周期とノード周期の半分の比の近似を見つけなければならない。よって 目的となる比は次である。
| = |
| = 2.170391682 |
P = S × SM = D × DM SM = 29.530588853 日 DM = 27.212220817 日
| = |
|
(連分数展開と中間近似分数は次で与えられる。)
2.170391682 = [2;5,1,6,1,1,1,1,1,11,1,...]:
商 近似分数
DM/SM の半分 10 進 名称
2; 2/1 = 2
5 11/5 = 2.2
1 13/6 = 2.166666667 semester
6 89/41 = 2.170731707 hepton
1 102/47 = 2.170212766 octon
1 191/88 = 2.170454545 tzolkinex
1 293/135 = 2.170370370 tritos
1 484/223 = 2.170403587 saros
1 777/358 = 2.170391061 inex
11 9031/4161 = 2.170391732
1 9808/4519 = 2.170391679
...
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会合周期回数と半食年、あるいは食年の比を取っても同じ列を得る：
5.868831091 = [5;1,6,1,1,1,1,1,11,1,...]
商 近似分数
SM/(EY の半分) 10 進 SM/EY 名称
5; 5/1 = 5
1 6/1 = 6 12/1 semester
6 41/7 = 5.857142857 hepton
1 47/8 = 5.875 47/4 octon
1 88/15 = 5.866666667 tzolkinex
1 135/23 = 5.869565217 tritos
1 223/38 = 5.868421053 223/19 saros
1 358/61 = 5.868852459 716/61 inex
11 4161/709 = 5.868829337
1 4519/770 = 5.868831169 4519/385
...
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この各々がエクリプス・サイクル (食周期) である。それほど明らかでない周期はこれらを組み合わせて構成される。
以下の表は色々な食周期の特徴をまとめたもので、直前の数値結果から計算することができる (1997 年の Meeus の本の 9 章を参照)。 もっと詳細な事実は以下の注釈で与えられる。
| 周期名 | 公式 | 太陽日 | 月の 会合周期 | 月の ノード周期 | 月の 近点周期 | 食年 | 太陽年 |
| fortnight | (38i – 61s)/2 | 14.77 | 0.5 | 0.543 | 0.536 | 0.043 | 0.040 |
| synodic month | 38i – 61s | 29.53 | 1 | 1.085 | 1.072 | 0.085 | 0.081 |
| pentalunex | -33i + 53s | 147.65 | 5 | 5.426 | 5.359 | 0.426 | 0.404 |
| semester | 5i – 8s | 177.18 | 6 | 6.511 | 6.430 | 0.511 | 0.485 |
| lunar year | 10i – 16s | 354.37 | 12 | 13.022 | 12.861 | 1.022 | 0.970 |
| octon | 2i – 3s | 1387.94 | 47 | 51.004 | 50.371 | 4.004 | 3.800 |
| tzolkinex | -i + 2s | 2598.69 | 88 | 95.497 | 94.311 | 7.497 | 7.115 |
| sar (half saros) | (0i + s)/2 | 3292.66 | 111.5 | 120.999 | 119.496 | 9.499 | 9.015 |
| tritos | i – s | 3986.63 | 135 | 146.501 | 144.681 | 11.501 | 10.915 |
| saros (s) | 0i + s | 6585.32 | 223 | 241.999 | 238.992 | 18.999 | 18.030 |
| Metonic cycle | 10i – 15s | 6939.69 | 235 | 255.021 | 251.853 | 20.021 | 19.000 |
| inex (i) | i ± 0s | 10,571.95 | 358 | 388.500 | 383.674 | 30.500 | 28.945 |
| exeligmos | 0i + 3s | 19,755.96 | 669 | 725.996 | 716.976 | 56.996 | 54.090 |
| Callippic cycle | 40i – 60s | 27,758.75 | 940 | 1020.084 | 1007.411 | 80.084 | 76.001 |
| triad | 3i ± 0s | 31,715.85 | 1074 | 1165.500 | 1151.021 | 91.500 | 86.835 |
| Hipparchic cycle | 25i – 21s | 126,007.02 | 4267 | 4630.531 | 4573.002 | 363.531 | 344.996 |
| Babylonian | 14i + 2s | 161,177.95 | 5458 | 5922.999 | 5849.413 | 464.999 | 441.291 |
| tetradia (Meeus III) | 22i – 4s | 206,241.63 | 6984 | 7579.008 | 7484.849 | 595.008 | 564.671 |
| tetradia (Meeus [1]) | 19i + 2s | 214,037.70 | 7248 | 7865.500 | 7767.781 | 617.500 | 586.016 |
月の会合周期の半分。 食があった時に、次の天文朔望の時に、もう一度食が起きる可能性がある。 太陽と月はノード (月は最初の場合と反対側のノード) に関して 15°移動するが、 天体はなお食を形成する限界内にいる。
例えば 2011 年 6 月 1 日の部分日食の後、2011 年 6 月 16 日に完全月食と 2011 年 7 月 1 日に部分日食があった。
同様に、1 ヵ月離れた食の場合には、太陽と月が同じノードにあり、 29°離れている。どちらも部分食の可能性がある。
5 回の月の会合周期。 日食、月食が 1 回、5 回あるいは 6 回の月の会合周期で引き続いて起きる可能性がある。
2 つの継続するエクリプス・シーズン (食シーズン, eclipse season) の中間の時間。 6 ヵ月 (あるいは 5 ヵ月のことも 7 ヵ月のこともあるが), 太陽が他のノードに位置し、食が再び起きる可能性がある。
12 回の月の会合周期。これは 1 食年よりは少し長く、 太陽がノードに戻る。そのため食が再び起きる可能性がある。
これはメトン周期の 1/5 で、かなり短い食の周期であるが、 「近点周期」の理由からかんばしくない。 継続する octon は 2 回のサロス周期だけ離れており、常に同じノードで発生する。
これは半分の月のノード周期を含んでおり、交互に別々のノードで起き、南半球と北半球で交互に起きる。 継続するいずれの食も、それ以前のサロス周期のメンバーである。 10 回の ツォルキン (tzolk'in) に等しい。 一連の tzolkinex の 3 番目のものは月の近点周期のほぼ整数倍であり、(最初の食と) 類似の性質を持つ。
奇数の fortnight (223) が含まれる。 その結果、月食と日食が交互に同じノードで発生し、類似の性質を持つ。 長い完全月食の後には長い完全日食が起きる。 月の半影が地球の南半球をかすめるような日食では、半サロス後に 地球の南半球の半影が月をかすめるような月食となる。
質の落ちる周期で、inex と同じようにサロスに関連する。 3 回の tritos は月の近点周期の整数倍に近く、類似の性質を持つ。
最も有名な食周期。食の予測で最も良いものの 1 つである。 これは 223 回の月の会合周期に一致し、242 回の月のノード周期に一致する、 誤差はわずか 51 分である。 これは 239 回の月の近点周期にも近く、これにより 1 回のサロスだけ離れた食はきわめて良く似る。
これはほぼ 19 回の 太陽年 に一致し、5 回の octon に等しく、20 回の食年に近い。 このため同じ日付に起きる食の短い列を生成する。 これは 110 回の小の月と、125 回の大の月からなり、名目で 6940 日となり、 235 回の月の会合周期に一致し、誤差はわずか 7.5 時間である。
これ自身は貧弱な周期であるが、 食周期の分類には便利である。 その理由は、サロス周期が消滅した後で、1 回の inex 後にしばしば新たなサロス周期が発生するからである。 食が起きた後、1 回の inex 後に、別の食が同じ経度で、しかし反対の緯度で起きる。
3 回のサロスであるが、日数がほぼ整数であるという利点があり、 次の食が同じ場所で見ることができる。これがサロスと違う点である。 サロスの場合には前回の食が起きた時より 8 時間後、あるいは西方に 120°移動した地点で食が起きる。
これは 441 回の「小の月」と 499 回の「大の月」からなり、 4 回のメトン周期から 1 を引いた日数である。あるいは丁度 76 回の 365¼ 日である。 これは 940 回の月の会合周期に等しく、誤差は 5.9 時間のみである。
3 回の inex で、月の近点周期のほぼ整数倍で有利であり、 これにより、1 回の triad だけ離れた 2 つの食の条件が類似のものとなる。 但し、緯度が反対になる。ほとんど 87 回の暦年から 2 ヵ月引いた数に等しい。
顕著な食の周期ではないが、 ヒッパルコス が、月の会合周期と月の近点周期に密接に匹敵する整数を構成し、345 年を得た。 彼は自分自身の食の観測と 345 年前のバビロニアの記録を比較することによって、 カルディア人が使用した色々な周期の正確さを確認することができた。
5458 回の会合周期と 5923 回のノード周期の比はカルディア人が天文計算で使用したものである。
時々、6 回の月の会合周期 (セメスターのこと) 間隔で、全部で 4 回の月食が続けて起き、 これは tetrad (四つ組み) と呼ばれる。 ジョヴァンニ・スキアパレッリ (Giovanni Schiaparelli) はこのような tetrad が比較的よく起きる時代の後に、あまり起きない時代が来ることに気が付いた。 変動はおよそ 6 世紀ほどかかる。 アントン・パンネクーク (Antonie Pannekoek) は 1951 年にこの現象を説明し、591 年の周期を発見した。 Van den Bergh は 1954 年に テオドール・オッポルツァー (Theodor von Oppolzer) の著書の Canon der Finsternisse から 586 年の周期を発見した。 これが食の周期であることが判明した、Meeus[1] (1997) を参照・ 最近 Tudor Hughes はこの変動が長年にわたる地球の軌道の離心率の変化に由来することを発見した。 tetrad の起きる周期は変動し、現在はおよそ 565 年である。 詳細な議論は Meeus III (2004) を参照せよ。