プトレマイオスの弦の数表のエラー

アルマゲストに掲載されているプトレマイオスの弦の数表の誤差を計算してみました。

全部を出力するのは計算機がないと無理ですが、個別には関数電卓でチェックができます。次のようにすればよい。

角度 α を定め、x = 2 sin(α/2) を計算する。
x を 60 倍した時の整数部 n₁ が最上位の数値です。(この桁のみは 60 よりも大きいことがある。)
x₁ = x - n₁ を計算する。
x₁ を 60 倍した時の整数部 n₂ が二番目の数値です。
このようにして n₃, n₄ を計算する。
これにより (n₁, n₂, n₃, n₄) が得られますが、 n₄ が 30 より小さければ、(n₁, n₂, n₃) が弦の値の 60 進表示です。 n₄≧30 ならば、繰り上がります。

以下の表で「表の値」と書いてあるカラムはアルマゲストの英訳

G.J.Toomer, Ptolemy's Almagest, Princeton Universtiy Press, 1998
(G.J.トゥーマー、プトレマイオスのアルマゲスト、プリンストン大学出版、1998 年)

に掲載されている弦の値です。「真の値」は計算機プログラムによって得られた弦の値です。また「誤」= 「弦の値」-「真の値」です。

本に掲載されている弦の値をエクセルで入力しているので、ここでエラーをしている可能性があります。エクセルで入力してからテキストファイルに搬出し、これをプログラムに使用しました。プログラムにもバグがつきものです。だから参考程度に考えてください。

計算が正しければ、最後の桁に ±1 までのエラーがあります。 (10 進数で考えれば、これは小数点以下 6 桁目に相当し、プトレマイオスは小数点以下 5 桁まで正確な正弦の表を持っていたことになります。) この最後の桁のエラーはプトレマイオスが四捨五入で計算したことを強く示唆しています。同時にエラーが累積していませんから、とても注意して計算していることになります。

その 1

角度	表の値			真の値			誤
0.5	0	31	25	0	31	25	0
1.0	1	2	50	1	2	50	0
1.5	1	34	15	1	34	15	0
2.0	2	5	40	2	5	39	1
2.5	2	37	4	2	37	4	0
3.0	3	8	28	3	8	28	0
3.5	3	39	52	3	39	53	-1
4.0	4	11	16	4	11	17	-1
4.5	4	42	40	4	42	40	0
5.0	5	14	4	5	14	4	0
5.5	5	45	27	5	45	27	0
6.0	6	16	49	6	16	49	0
6.5	6	48	11	6	48	11	0
7.0	7	19	33	7	19	33	0
7.5	7	50	54	7	50	54	0
8.0	8	22	15	8	22	15	0
8.5	8	53	35	8	53	35	0
9.0	9	24	54	9	24	54	0
9.5	9	56	13	9	56	13	0
10.0	10	27	32	10	27	31	1
10.5	10	58	49	10	58	49	0
11.0	11	30	5	11	30	5	0
11.5	12	1	21	12	1	21	0
12.0	12	32	36	12	32	36	0
12.5	13	3	50	13	3	50	0
13.0	13	35	4	13	35	4	0
13.5	14	6	16	14	6	16	0
14.0	14	37	27	14	37	28	-1
14.5	15	8	38	15	8	38	0
15.0	15	39	47	15	39	47	0
15.5	16	10	56	16	10	56	0
16.0	16	42	3	16	42	3	0
16.5	17	13	9	17	13	9	0
17.0	17	44	14	17	44	14	0
17.5	18	15	17	18	15	17	0
18.0	18	46	19	18	46	20	-1
18.5	19	17	21	19	17	21	0
19.0	19	48	21	19	48	21	0
19.5	20	19	19	20	19	19	0
20.0	20	50	16	20	50	16	0

角度	表の値			真の値			誤
20.5	21	21	11	21	21	12	-1
21.0	21	52	6	21	52	6	0
21.5	22	22	58	22	22	58	0
22.0	22	53	49	22	53	49	0
22.5	23	24	39	23	24	39	0
23.0	23	55	27	23	55	27	0
23.5	24	26	13	24	26	13	0
24.0	24	56	58	24	56	58	0
24.5	25	27	41	25	27	41	0
25.0	25	58	22	25	58	22	0
25.5	26	29	1	26	29	1	0
26.0	26	59	38	26	59	39	-1
26.5	27	30	14	27	30	15	-1
27.0	28	0	48	28	0	48	0
27.5	28	31	20	28	31	20	0
28.0	29	1	50	29	1	50	0
28.5	29	32	18	29	32	18	0
29.0	30	2	44	30	2	44	0
29.5	30	33	8	30	33	8	0
30.0	31	3	30	31	3	30	0
30.5	31	33	50	31	33	49	1
31.0	32	4	8	32	4	7	1
31.5	32	34	22	32	34	22	0
32.0	33	4	35	33	4	35	0
32.5	33	34	46	33	34	46	0
33.0	34	4	55	34	4	55	0
33.5	34	35	1	34	35	1	0
34.0	35	5	5	35	5	5	0
34.5	35	35	6	35	35	6	0
35.0	36	5	5	36	5	5	0
35.5	36	35	1	36	35	1	0
36.0	37	4	56	37	4	55	1
36.5	37	34	47	37	34	47	0
37.0	38	4	36	38	4	36	0
37.5	38	34	22	38	34	22	0
38.0	39	4	5	39	4	5	0
38.5	39	33	46	39	33	46	0
39.0	40	3	25	40	3	25	0
39.5	40	33	0	40	33	0	0
40.0	41	2	33	41	2	33	0

角度	表の値			真の値			誤
40.5	41	32	3	41	32	3	0
41.0	42	1	30	42	1	30	0
41.5	42	30	54	42	30	54	0
42.0	43	0	15	43	0	15	0
42.5	43	29	33	43	29	33	0
43.0	43	58	49	43	58	49	0
43.5	44	28	1	44	28	1	0
44.0	44	57	10	44	57	10	0
44.5	45	26	16	45	26	16	0
45.0	45	55	19	45	55	19	0
45.5	46	24	19	46	24	19	0
46.0	46	53	16	46	53	16	0
46.5	47	22	9	47	22	9	0
47.0	47	51	0	47	51	0	0
47.5	48	19	47	48	19	47	0
48.0	48	48	30	48	48	30	0
48.5	49	17	11	49	17	11	0
49.0	49	45	48	49	45	47	1
49.5	50	14	21	50	14	21	0
50.0	50	42	51	50	42	51	0
50.5	51	11	18	51	11	18	0
51.0	51	39	42	51	39	41	1
51.5	52	8	9	52	8	0	9
52.0	52	36	16	52	36	16	0
52.5	53	4	29	53	4	29	0
53.0	53	32	38	53	32	37	1
53.5	54	0	43	54	0	43	0
54.0	54	28	44	54	28	44	0
54.5	54	56	42	54	56	42	0
55.0	55	24	36	55	24	35	1
55.5	55	52	26	55	52	25	1
56.0	56	20	12	56	20	12	0
56.5	56	47	54	56	47	54	0
57.0	57	15	33	57	15	33	0
57.5	57	43	7	57	43	7	0
58.0	58	10	38	58	10	38	0
58.5	58	38	5	58	38	4	1
59.0	59	5	27	59	5	27	0
59.5	59	32	45	59	32	46	-1
60.0	60	0	0	60	0	0	0

その 2

角度	表の値			真の値			誤
60.5	60	27	11	60	27	10	1
61.0	60	54	17	60	54	17	0
61.5	61	21	19	61	21	19	0
62.0	61	48	17	61	48	16	1
62.5	62	15	10	62	15	10	0
63.0	62	42	0	62	41	59	1
63.5	63	8	45	63	8	44	1
64.0	63	35	25	63	35	25	0
64.5	64	2	2	64	2	1	1
65.0	64	28	34	64	28	33	1
65.5	64	55	1	64	55	1	0
66.0	65	21	24	65	21	24	0
66.5	65	47	43	65	47	43	0
67.0	66	13	57	66	13	57	0
67.5	66	40	7	66	40	6	1
68.0	67	6	12	67	6	11	1
68.5	67	32	12	67	32	12	0
69.0	67	58	8	67	58	7	1
69.5	68	23	59	68	23	59	0
70.0	68	49	45	68	49	45	0
70.5	69	15	27	69	15	27	0
71.0	69	41	4	69	41	4	0
71.5	70	6	36	70	6	36	0
72.0	70	32	3	70	32	3	0
72.5	70	57	26	70	57	26	0
73.0	71	22	44	71	22	43	1
73.5	71	47	56	71	47	56	0
74.0	72	13	4	72	13	4	0
74.5	72	38	7	72	38	7	0
75.0	73	3	5	73	3	5	0
75.5	73	27	58	73	27	58	0
76.0	73	52	46	73	52	46	0
76.5	74	17	29	74	17	29	0
77.0	74	42	7	74	42	6	1
77.5	75	6	39	75	6	39	0
78.0	75	31	7	75	31	6	1
78.5	75	55	29	75	55	29	0
79.0	76	19	46	76	19	46	0
79.5	76	43	58	76	43	58	0
80.0	77	8	5	77	8	4	1

角度	表の値			真の値			誤
80.5	77	32	6	77	32	6	0
81.0	77	56	2	77	56	2	0
81.5	78	19	52	78	19	52	0
82.0	78	43	38	78	43	38	0
82.5	79	7	18	79	7	17	1
83.0	79	30	52	79	30	52	0
83.5	79	54	21	79	54	21	0
84.0	80	17	45	80	17	44	1
84.5	80	41	3	80	41	2	1
85.0	81	4	15	81	4	15	0
85.5	81	27	22	81	27	22	0
86.0	81	50	24	81	50	23	1
86.5	82	13	19	82	13	19	0
87.0	82	36	9	82	36	9	0
87.5	82	58	54	82	58	54	0
88.0	83	21	33	83	21	32	1
88.5	83	44	4	83	44	5	-1
89.0	84	6	32	84	6	33	-1
89.5	84	28	54	84	28	54	0
90.0	84	51	10	84	51	10	0
90.5	85	13	20	85	13	20	0
91.0	85	33	24	85	35	24	0
91.5	85	57	23	85	57	22	1
92.0	86	19	15	86	19	15	0
92.5	86	41	2	86	41	1	1
93.0	87	2	42	87	2	42	0
93.5	87	24	17	87	24	16	1
94.0	97	45	45	87	45	45	0
94.5	88	7	7	88	7	7	0
95.0	88	28	24	88	28	24	0
95.5	88	49	34	88	49	34	0
96.0	89	10	39	89	10	39	0
96.5	89	31	37	89	31	37	0
97.0	89	52	29	89	52	29	0
97.5	90	13	15	90	13	15	0
98.0	90	33	55	90	33	55	0
98.5	90	54	29	90	54	28	1
99.0	91	14	56	91	14	55	1
99.5	91	35	17	91	35	16	1
100.0	91	55	32	91	55	31	1

角度	表の値			真の値			誤
100.5	92	15	40	92	15	40	0
101.0	92	35	42	92	35	42	0
101.5	92	55	38	92	55	38	0
102.0	93	15	27	93	15	27	0
102.5	93	35	11	93	35	10	1
103.0	93	54	47	93	54	47	0
103.5	94	14	17	94	14	17	0
104.0	94	33	41	94	33	41	0
104.5	94	52	58	94	52	58	0
105.0	95	12	9	95	12	9	0
105.5	95	31	13	95	31	13	0
106.0	95	50	11	95	50	11	0
106.5	96	9	2	96	9	2	0
107.0	96	27	47	96	27	46	1
107.5	96	46	24	96	46	24	0
108.0	97	4	55	97	4	55	0
108.5	97	23	20	97	23	20	0
109.0	97	41	38	97	41	38	0
109.5	97	59	49	97	59	49	0
110.0	98	17	54	98	17	54	0
110.5	98	35	52	98	35	51	1
111.0	98	53	43	98	53	43	0
111.5	99	11	27	99	11	27	0
112.0	99	29	5	99	29	4	1
112.5	99	46	35	99	46	35	0
113.0	100	3	59	100	3	59	0
113.5	100	21	16	100	21	16	0
114.0	100	38	26	100	38	26	0
114.5	100	55	28	100	55	29	-1
115.0	101	12	25	101	12	25	0
115.5	101	29	15	101	29	14	1
116.0	101	45	57	101	45	57	0
116.5	102	2	33	102	2	32	1
117.0	102	19	1	102	19	1	0
117.5	102	35	22	102	35	22	0
118.0	102	51	37	102	51	36	1
118.5	103	7	44	103	7	44	0
119.0	103	23	44	103	23	44	0
119.5	103	39	37	103	39	37	0
120.0	103	55	23	103	55	23	0

その３

角度	表の値			真の値			誤
120.5	104	11	2	104	11	2	0
121.0	104	26	34	104	26	34	0
121.5	104	41	59	104	41	58	1
122.0	104	57	16	104	57	16	0
122.5	105	12	26	105	12	26	0
123.0	105	27	30	105	27	29	1
123.5	105	42	26	105	42	25	1
124.0	105	57	14	105	57	13	1
124.5	106	11	55	106	11	55	0
125.0	106	26	29	106	26	29	0
125.5	106	40	56	106	40	55	1
126.0	106	55	15	106	55	15	0
126.5	107	9	27	107	9	27	0
127.0	107	23	32	107	23	32	0
127.5	107	37	30	107	37	29	1
128.0	107	51	20	107	51	19	1
128.5	108	5	2	108	5	2	0
129.0	108	18	37	108	18	37	0
129.5	108	32	5	108	32	5	0
130.0	108	45	25	108	45	25	0
130.5	108	58	38	108	58	38	0
131.0	109	11	44	109	11	43	1
131.5	109	24	42	109	24	41	1
132.0	109	37	32	109	37	32	0
132.5	109	50	15	109	50	15	0
133.0	110	2	50	110	2	50	0
133.5	110	15	18	110	15	18	0
134.0	110	27	39	110	27	38	1
134.5	110	39	52	110	39	51	1
135.0	110	51	57	110	51	56	1
135.5	111	3	54	111	3	53	1
136.0	111	15	44	111	15	43	1
136.5	111	27	26	111	27	26	0
137.0	111	39	1	111	39	0	1
137.5	111	50	28	111	50	27	1
138.0	112	1	47	112	1	47	0
138.5	112	12	59	112	12	58	1
139.0	112	24	3	112	24	2	1
139.5	112	35	0	112	34	59	1
140.0	112	45	48	112	45	47	1

角度	表の値			真の値			誤
140.5	112	56	29	112	56	28	1
141.0	113	7	2	113	7	1	1
141.5	113	17	25	113	17	26	-1
142.0	113	27	44	113	27	44	0
142.5	113	37	54	113	37	54	0
143.0	113	47	56	113	47	56	0
143.5	113	57	50	113	57	50	0
144.0	114	7	37	114	7	36	1
144.5	114	17	15	114	17	15	0
145.0	114	26	46	114	26	46	0
145.5	114	36	9	114	36	9	0
146.0	114	45	24	114	45	24	0
146.5	114	54	31	114	54	31	0
147.0	115	3	30	115	3	30	0
147.5	115	12	22	115	12	22	0
148.0	115	21	6	115	21	5	1
148.5	115	29	41	115	29	41	0
149.0	115	38	9	115	38	8	1
149.5	115	46	29	115	46	28	1
150.0	115	54	40	115	54	40	0
150.5	116	2	44	116	2	44	0
151.0	116	10	40	116	10	40	0
151.5	116	18	28	116	18	28	0
152.0	116	26	8	116	26	8	0
152.5	116	33	40	116	33	40	0
153.0	116	41	4	116	41	4	0
153.5	116	48	20	116	48	20	0
154.0	116	55	28	116	55	28	0
154.5	117	2	28	117	2	28	0
155.0	117	9	20	117	9	20	0
155.5	117	16	4	117	16	4	0
156.0	117	22	40	117	22	40	0
156.5	117	29	8	117	29	8	0
157.0	117	35	28	117	35	27	1
157.5	117	41	40	117	41	39	1
158.0	117	47	43	117	47	43	0
158.5	117	53	39	117	53	39	0
159.0	117	59	27	117	59	26	1
159.5	118	5	7	118	5	6	1
160.0	118	10	37	118	10	37	0

角度	表の値			真の値			誤
160.5	118	16	1	118	16	0	1
161.0	118	21	16	118	21	15	1
161.5	118	26	23	118	26	22	1
162.0	118	31	22	118	31	21	1
162.5	118	36	13	118	36	12	1
163.0	118	40	55	118	40	55	0
163.5	118	45	30	118	45	29	1
164.0	118	49	56	118	49	56	0
164.5	118	54	15	118	54	14	1
165.0	118	58	25	118	58	24	1
165.5	119	2	26	119	2	26	0
166.0	119	6	20	119	6	20	0
166.5	119	10	6	119	10	6	0
167.0	119	13	44	119	13	43	1
167.5	119	17	13	119	17	12	1
168.0	119	20	34	119	20	33	1
168.5	119	23	47	119	23	46	1
169.0	119	26	52	119	26	51	1
169.5	119	29	49	119	29	48	1
170.0	119	32	37	119	32	36	1
170.5	119	35	17	119	35	16	1
171.0	119	37	49	119	37	48	1
171.5	119	40	13	119	40	12	1
172.0	119	42	28	119	42	28	0
172.5	119	44	35	119	44	35	0
173.0	119	46	35	119	46	34	1
173.5	119	48	26	119	48	25	1
174.0	119	50	8	119	50	8	0
174.5	119	51	43	119	51	43	0
175.0	119	53	10	119	53	9	1
175.5	119	54	27	119	54	27	0
176.0	119	55	38	119	55	37	1
176.5	119	56	39	119	56	39	0
177.0	119	57	32	119	57	32	0
177.5	119	58	18	119	58	17	1
178.0	119	58	55	119	58	54	1
178.5	119	59	24	119	59	23	1
179.0	119	59	44	119	59	44	0
179.5	119	59	56	119	59	56	0
180.0	120	0	0	120	0	0	0