フィレンツェ国立中央図書館
にある Liber Abaci の 1 頁
以下の文書は次の翻訳です。
Liber Abaci - Wikipedia
この本はイタリアの商人とナビゲーターに随分と影響を与えたようです。 ナビゲーションに算術が関連するとはさすがに思わなかった。 しかし、良く考えるとこれは当たり前です。 58×213 のような掛け算をするために、古代エジプトでは 58 を 213 回加えることをした。 無論、多少工夫して計算しますが、それでもとても大変でした。 その点、古代バビロニアでは表により、計算をしたため、これで他を圧したのです。 一番効率のよい掛け算はインドで発明された「格子乗法」で、基本的には現代人が 筆算で掛け算をする方法です。Liber Abaci ではアラビア数字とこのような効率のよい 筆算による計算法を導入したのです。イタリアの商人やナビゲーターがこれを 勉強したのも当然のはずで、これで一時期イタリアが世界の中心となったはずなのです。
Liber Abaci (リベル・アバチ) の正確な翻訳は「計算の書」です。これを「算盤の書」と訳したことから、 多くの誤解が生じたようです。
Liber Abaci (1202 年, Liber Abbaci とも綴る) は ピサのレオナルドによって著された算術に関しての歴史的な本である。 彼は後年フィボナッチと呼ばれた。 この本で、フィボナッチはアラビア数字をヨーロッパに導入した。 アラビア数字は今日の我々の数体系の主要な部分を占め、 これを彼はアラビア人と共に北アフリカで学んだのである。 北アフリカでは彼は父親のグリエルモ・ボナッチオ (Guglielmo Bonaccio) と共に 滞在し、父親は彼が商人になることを望んでいた。
Liber Abaci はアラビア数字を述べた最初のヨーロッパの本の 1 つである。 一番最初の本は 976 年に編纂された Codex Vigilanus で、 999 年の ローマ教皇シルウェステル2世 (Pope Silvester II) による本が これに続いた。 この本は貿易商や学者達に訴えかけることにより、 公衆に新しい数体系の優位性を確信させ始めたのであった。
本の表題の「Liber Abaci」は「計算の書」という意味である。 この本は「算盤 (そろばん) の書」の表題でも訳され続けたが、 Sigler (2002 年) が書いている所によれば、 これは間違いで、本の意図は「そろばん」を使用せずに計算する方法を 述べている。 そして Ore (1948 年) が確証するように、 この本が著されてから何世紀もの間、「アルゴリズム主義者」 (Liber Abaci に実証されている計算法の支持者) と 「そろばん主義者」 (そろばんとローマ数字を使用し続けた伝統主義者) の間には対立関係が続いた。
最初の部分ではアラビア数字が導入され、 これには格子乗法と異なる数体系の変換法が含まれる。
第二の部分は商業からの実例が提示されており、 これには貨幣の両替、長さ、利益と利子の計算などがあった。
第三の部分では幾つかの数学の問題を議論している。 例えば、中国の剰余の定理、完全数、メルセンヌ素数、 更には 算術数列や 四角錐数の公式もあった。 この章の別の実例では、 ウサギの頭数の増加を述べており、 これは フィボナッチ数の起源で、 今日ではこれによりフィボナッチの名前が有名となっている。
第四の部分では平方根のような無理数の近似を導入しており、 これには数値的なものも幾何学的なものもある。
この本はユークリッド幾何の証明も含んでいる。 代数方程式を解くためのフィボナッチの方法は 10 世紀初頭のエジプトの数学者である アブー・カーミル (アブー・カーミル・イブン・シュジャー・イブン・アスラム, Abū Kāmil Shujāʿ ibn Aslam) の影響を受けていることが分かる。
 ステップ 1 |
 ステップ 2 |
 ステップ 3 |
Liber Abaci を読む上で、 フィボナッチの分数の記法を理解している方がよい。 彼の記号は当時まで一般に利用されていた エジプト分数と今日の分数の中間にある。 フィボナッチの記法と今日の分数の記法の間には 3 つの基本的な違いがある。
と書くがフィボナッチは 
と書いている。
、
である。
記号は右から左に読んでいる。
例えば 29/30 は 
のように書くことができ、
その値は 
である。
これは混合した基数表示
(訳注
位取り記数法 を参照) の形式とみなすことができ、
伝統的な重さ、長さや貨幣を扱う場合にはとても便利である。
例えば、長さの単位では 1 フィートは 1/3 ヤードで、 1 インチは 1/12 フィートである。
従って「5 ヤード、2 フィート、
インチ」は
次の合成分数として表示できる：
ヤード。
しかしながら、
伝統的な長さの典型的な表記法に関しては、類似の混合した基数に基づいているが、
分母をはっきりと書くことができない。
フィボナッチの記法では分母を明示しないといけないので、
異なる問題には異なる基数を使用しなければならない。
Sigler はフィボナッチが全ての分母が 10 である合成分数を使用している場合も指摘している。
これは現代の 10 進小数の前触れである。
のような表示が表す数は
現在では 
もしくは 
である。
この形の記法は、分子と分母の列が間隔をあけて同じ分数の棒を共有するものとは区別しなければならない。
もしも、この形式の分数の全ての分子が 1 で、全ての分母が違っていれば、これはエジプト分数である。
この記法は、しばしば合成分数と結合して表示することもあった、
すなわち二つの合成分数を横に並べて書けば、これは分数の和を意味した。
記号の複雑さから、数は多くの異なる方法で表示された。 フィボナッチは一つの形式から別の形式に変換する幾つかの方法を述べている。 特に、II.7 章は分数をエジプト分数に変換する方法のリストを含んでいる。 これにはエジプト分数のグリーディ・アルゴリズム (greedy algorithm) も含まれ、これは フィボナッチ - シルベスタ (Fibonacci-Sylvester) 展開とも呼ばれている。
Liber Abaci で、フィボナッチは いわゆる "Modus Indorum" (インドの方法) を導入するにあたり、次のように述べている。 彼が導入しようとしていたものは、今日では「アラビア数字」として知られているものである。
私の父は祖国によりブジーア (Bugia、 訳注：現在のアルジェリアの ベジャイア) の税関の官吏に任命され、 税関はピサの商人であふれかえっていた。 父は将来の有用性と利便性を考え、子供時代の私を側に寄せ、 私にある期間計算の勉強をするように望み、そうするように指示をした。
インドの 9 つの数の導入は、技芸の素晴らしい教示による結果で、 技芸の知識は何にも増して私に訴えるものであった。 気が付いたことは、この全ての側面がエジプト、シリア、ギリシャ、 シチリア そして プロヴァンス でも色々な方法で 研究されていることであった。 そして、それ以後、仕事のついでに (色々な場所に赴いて) 研究を深く追求し、論争のやり取りで学んだ。 しかしながら、このようなことで、 アルゴリズムはもとよりのこと、ピタゴラスの技芸も学んだが、 インドの方法 (Modus Indorum) に関してほとんど間違えたこともあった。 従って、 インドの方法をもっと厳密に受け入れ、 研究の厳格さに痛みを感じ、一方で私自身の理解することも付け加え、 ユークリッドの幾何学的技芸の正確さも付け加え、 この本を出来る限り分かりやすく組み立てるように努め、15 章に分割した。
ここで導入したことに関しては、ほとんどすべてに厳密な証明を付け加えた。 目的としたことは、卓越した知識を持って、更に深く探求する者への指示であり、 ラテン人が今までとは異なり、これ無しにはすまないことを望むためである。 私が、偶然に大なり小なり、適切で必要性があるものを省いたのであれば、 寛容を願いたい。誰もがすべてのことに関して、非難の余地がないこともなく、先見の明があるわけでもないからです。
9 つのインドの数字は
この 9 つの数と記号の 0 によって ..... すべての数が表示される。(Sigler 2003 年、 Grimm 1973 年)
言い換えると、フィボナッチは 0 - 9 の数字の使用と 位取り記数法 (positional value) を提唱したのである。
この本で、フィボナッチは新しい数体系の実用的な重要性を示し、次のことに適用した： 簿記、重さや長さの変換、利子や両替の計算等など。 この本は 10 進数の普及に重要な貢献をした。 しかし、Ore が書くように、この過程は随分長く続き、 16 世紀後半至るまで完成に至らなかった。