均時差のグラフ
横軸の上では日時計は進み、下では日時計は遅れる
以下の文書は次の一部分の翻訳です。 使用している絵も英語版の Wikipedia の絵から作ったものです。
Equation of time - Wikipedia (均時差)
最後の「数学的詳細」の箇所は内容を完全に理解して翻訳しているわけではないので、間違いがあるかもしれません。 なお「数学的詳細」は均時差のグラフが近似的には 2 つの正弦曲線の和 (均時差の主成分) となることの証明と均時差の公式 (Milne) を与えるものです。 ケプラーの方程式、楕円軌道の関係式から議論されています。 この 2 つの式を前提にすれば、少々高度な数学を使用しますが、テーラー展開などを知っていれば雰囲気はつかめると思います。
均時差とは 視太陽時 (apparent solar time) と 平均太陽時 (mean solar time) の差である。 ある与えられた瞬間には、この違いは観測者すべてにとって同一である。 均時差は (例えば天文年鑑の) 表で調べるか、以下で述べる公式で評価できる。
視太陽時は例えば現在の太陽の位置 (時刻の角度) から決定することもできるし、 (精度が高くはないが) 日時計に表示される。 平均太陽時は同じ場所で安定した時計によって表示される時刻のことで、視太陽時との差を取って、 一年を通して平均すれば 0 となるものである。
一年を通じて均時差はグラフで表示されるものとなり、 年ごとの変化はわずかである。 視太陽時あるいは日時計は最大で 16 分 33 秒進むこともあり (11 月 3 日頃)、 14 分 6 秒遅れることもある (2 月 12 日頃)。 均時差が 0 となるのは 4 月 15 日、6 月 13 日、9 月 1 日、12 月 25 日頃である。
均時差のグラフは、2 つの正弦曲線のグラフ -- 1 つが 1 年の周期でもう一つが半年の周期 -- の和で密接に近似できる。 曲線は 2 つの天文学的な影響を反映しており、 そのいずれもが太陽の星に関しての相対的な日々の見かけ上の動きにおける異なる非均一性が原因となっている。
均時差はアナレンマの東西方向の成分でもある。 アナレンマとは地球から見た時に、天球における太陽の平均位置からの相違角を表示する曲線である。
均時差は歴史的には時計の時刻合わせに使用された。 1656 年における正確な時計の発明から 1900 年頃の商用の時刻配信サービスの到来に至るまで、 陸上で時刻合わせをするには 2 つの方法があり、 その 1 つが太陽の地方子午線の通過を観測することである。 太陽が真上を通過した時に、時計を正午に合わせ、その日における均時差で補正するのである。 (第二の方法は均時差を使用しない。その代わり、星を観測して恒星時を決定し、 恒星時と太陽時の関係を使用するのである。) 一年間の毎日の均時差は天文台により編集され、年鑑 (almanac) や天体暦 (ephemeris) に 広く掲載された。
当然のことながら、他の惑星にも均時差がある。 火星では軌道の離心率が随分と大きいため、日時計と時計の違いは 50 分にもなる。
太陽の不規則な日々の動きはバビロニア人に知られており、 プトレマイオスの アルマゲストの 巻 III は主に太陽の異常 (anomaly) に関するものである。 プトレマイオスは太陽の子午線通過を平均太陽時に変換するのに必要な補正を議論しており、 太陽の黄道に沿っての一様でない動きと、太陽の黄経の子午線補正を考察している。 彼は補正の最大値が 8 1/3 度あるいは 5/9 時間であると述べている (巻 III, 9 章)。 しかしながら、ほとんどの計算では適切な影響を考察しておらず、 ゆっくり動く天体には無視できるとし、速く動く天体 -- 月 -- にのみ適用している。
Toomer はプトレマイオスの平均太陽時と視太陽時の違いを表す言葉として、 ラテン語の aequatio (補正) に由来する中世の言葉 equation を使用している。 ケプラーの equation の定義では「普通の変動の度と秒の表す数と補正された変動の度と秒の表す数の違い」である。
17 世紀における振り子の発明と信頼できる時計の開発に至るまで、 プトレマイオスによって定義された均時差は好奇心の対象であり、天文学者にとってのみ重要であったのにすぎない。 しかしながら、何世紀もの間、人類に貢献した日時計の代わりに、機械式時計が取って代わり始めると 時計と日時計の時間差は日常の問題となった。 視太陽時 (あるいは真太陽時) は太陽により日時計に表示される時間 (あるいは太陽が地方子午線を通過することにより測定される時間) であり、平均太陽時はよく統制された時計により表示される平均である。 本質的に正しい方法で年間の変動を説明した均時差の最初の表は クリスティアーン・ホイヘンスにより 1665 年に出版された。 ホイヘンスは年間を通じて均時差を正の値となるようにした。 これの意味する所は、ホイヘンスの表に基づいて時計を合わせると、 首尾一貫して平均太陽時でおよそ 15 分遅れることとなった。
後に新しいグリニッジ天文台の最初の王室天文官となる ジョン・フラムスティード により、別の表が 1672/73 年に出版された。 この表は本質的に正しく、オフセットがない平均時間を与えた最初の表であると思われる。 フラムスティードは表の取り決めと補正の命名により、 視太陽時にそのまま適用して平均太陽時を得るようにした。
太陽の見かけの動きの不規則性を 2 つの主な成分、すなわち黄道が傾いていることの影響と 太陽の軌道が楕円であることの影響、に正しく基礎を置いた均時差は、 1672/3 年のフラムスティードの表までは一般に採用されていなかった。 彼の表は エレミア・ホロックス の死後における著作集と共に出版された。
1672/73 年と 1680 年のフラムスティードの表の補正により 平均時間が本質的に正しく、オフセットなしに計算されるようになり、 基本的には現代のものと同じものとなった。 しかしながら、均時差の表における数値はそれ以来若干変化している。 それは次の理由によっている。
1833 年に至るまで、均時差は、 1767 年以降に出版された英国の「航海年鑑と天体暦」における「平均太陽時 － 視太陽時」の意味で表になっていた。 1834 年版より以前には、航海年鑑のすべての時間は視太陽時であった、 これは船上における時刻の決定は太陽観測による方法がもっと多かったからである。 あまりよくあることではないが、 平均太陽時が必要であれば、視太陽時に均時差を加える必要があった。 1834 年版の航海年鑑以降では、すべての時間は平均太陽時となった、 これは船上での時刻がますます海洋クロノメーターで決定されるようになったためである。 あまりよくあることではないが、視太陽時が必要であれば、 平均太陽時に均時差を適用する必要があり、 これにより、全ての均時差は、それ以前と正負が逆になった。
太陽の見かけの動きは 1 日に 1 回転で、24 時間に 360° であり、太陽自身は 見かけは 0.5° の円板であるから、 単純な日時計では最大でおよそ 1 分程度の精度で読み取ることができる。 均時差は 30 分の領域があるため、 日時計と時計の違いは無視することができない。 均時差に加え、 地方時間の子午線と離れていたり、あるいは夏時間であれば、 更に補正を加える必要がある。
地球の自転が減速することによる平均太陽日のわずかな増大は今世紀には 1 日あたり 1 ミリ秒であり、 1 年に 1 秒ほど累積するが、これは均時差の伝統的な定義には含めない。 これは日時計の精度では感知できないためである。
地球は太陽の周りをまわっている。 地球から見ると、太陽は 1 年間に星を背景にして、地球のまわりを一周しているように見える。 もしも地球が太陽のまわりを地軸に垂直な円軌道を一定の速度で動けば (地球の自転が減速し続ける非常に小さい影響を除けば) 太陽は毎日、全く同じ時刻に南中し、完全な計時装置となる。 しかし、地球の軌道は楕円であり、ケプラーの法則により、速度が秒速 30.287 km から 29,921 km の間で変化し、 角速度が変化する。従って近日点 (現在は 1 月 3 日頃) では (背景の星に相対的に) より速く動いているように見え、 半年後の遠日点ではより遅く動いているように見える。 この極限状態では、この影響により 視太陽日は平均太陽日よりも 7.9 秒増大 (あるいは減少) する。 この日々の違いは一定期間に累積する。 その結果、地球の軌道が楕円であることから、 振幅が 7.66 分で周期が 1 年となる正弦曲線の変動が均時差に付け加えられる。 変動が 0 となる点は (1 月始めの) 近日点と (7 月始めの) 遠日点であり、 極大となるのは 4 月始め (負の値) と 10 月始め (正の値) である。
しかしながら、地球の軌道が円であっても、 天球上の太陽の動きは一様ではない。 これは地球の回転が軌道に対して傾いている結果であり、 別の言葉では黄道 (天球における太陽の道) が天球の赤道に関して傾いているためである。 この動きの天球の赤道への射影 -- これにより時刻が測定される -- は 夏至・冬至の時に最大となる、 これは太陽の動きが赤道に平行となり、経度の変化のみとなるからである。 また春分・秋分の時に最少となる。 これは太陽が斜め方向に動き、緯度の変化が多くなり、経度の成分の変化が少なくなるからである。 経度の成分のみが視太陽日の長さに影響を与えているのである。 その結果 (黄道が) 傾いていることによる日時計の影の変化率は 春分・秋分に近い時に最少となり、夏至・冬至に近い時に最大となる。 春分・秋分の時には、太陽は毎日 20.3 秒も減速し、 夏至・冬至の時には同じ速度で加速する。
下の図において、地球から見た時の、太陽の南中時における月ごとの見かけ上の黄道面の変化が見える。 この変動は南中時に太陽から見た時の 1 年を通して回転する地球の見かけ上の歳差運動である。
均時差の言葉では、黄道の傾きにより、振幅が 9.87 分で周期が半年の正弦曲線の変動が均時差に付け加えられる。 この正弦曲線が 0 となる点は、春分・秋分、夏至・冬至であり、 変動が極大となるのは 2 月と 8 月の始め (負の値)、そして 5 月と 11 月の始め (正の値) である。
上で言及した 2 つの因子は異なる波長、振幅、相を持っており、 合わせると不規則な波となる。2000 年代ではこれらの数値は次のようになる (日付分秒は世界時による)。
| 極小 | -14:15 | 2 月 11 日 |
| 0 | 00:00 | 4 月 15 日 |
| 極大 | +03:41 | 5 月 14 日 |
| 0 | 00:00 | 6 月 13 日 |
| 極小 | -06:30 | 7 月 26 日 |
| 0 | 00:00 | 9 月 １ 日 |
| 極大 | +16:25 | 11 月 ３ 日 |
| 0 | 00:00 | 12 月 25 日 |
数値は視太陽時 － 平均太陽時。値が正であることは、太陽が速くなり、南中が早くなる、あるいは日時計が平均太陽時より 進んでいる。閏年の存在により、わずかな年間の変動が引き起こされ、4 年ごとにリセットされる。
均時差曲線と付随するアナレンマの正確な形は何世紀もの間には、 離心率と地軸の傾きの長期間の変動により少しづつ変化する。 現在はどちらも徐々に減少している。 しかし何十万年もの間には増大したり、減少したりする。 地球の軌道の離心率 (現在はおよそ 0.0167 で徐々に減少している) が 0.047 に達すれば 離心率の影響は、ある場合には地軸の傾きの影響を凌駕し、 均時差の曲線は極大・極小が 1 年にそれぞれ 1 回となる。これは火星で起きていることである。
より短い期間 (千年単位) では、春分、秋分、近日点の日付の移動がもっと重要である。 前者は歳差運動で引き起き、星と比較すると春分・秋分を後方に移動している。 しかし、現在の議論では無視できるものである。何故ならば、 (少なくともここにおける目的には十分な精度で) グレゴリー暦は 3 月 21 日が春分であるように構成されているからである。 近日点の移動は 1 世紀に 1.7 日前進する。 1246 年には近日点は 12 月 22 日の冬至の日に起き (均時差に寄与する) 2 つの曲線には共通の零点があり、 均時差の曲線は対称であった： 「天文アルゴリズム」(Astronomical Algorithms) の中で Meeus は 2 月と 11 月に極大の 15 分 39 秒、5 月と 7 月に 4 分 58 秒を与えている。 これ以前には、2 月の極小が、11 月の極大より大きく、 5 月の極大が 7 月の極小よりも大きかった。 均時差の現在のグラフと、例えばプトレマイオスのデータから構成された 2000 年前のグラフを比較すれば 長期間の変動は明らかである。
もしもノーモン (影を落とすオブジェクト) がエッジ (端) ではなく、 点 (例えば板の穴) であれば、影 (あるいは光の点) は 1 日の間に曲線を描く。 もしも影が平面の上に落とされると、 この曲線は (通常は) 円錐の断面 (conic section) となり、双曲線となる。 何故ならば太陽の円の動きとノーモンの点により円錐が形成されるからである。 春分と秋分には円錐は退化して平面となり、双曲線は直線に退化する。 毎日違う双曲線となるので、 時刻の印を必要な補正を含めて双曲線に付けることができる。 残念なことに、各々の双曲線は 2 つの相異なる日-- 各々異なる半年に属している -- に対応しており、 この 2 つの日には異なる補正をする必要がある。 手近な折衷案は、平均時間の時間線を描き、 1 年を通しての正午における影の正確な点の曲線を付け加えることである。 この曲線は 8 の字の形をしており、「アナレンマ」として知られている。 アナレンマと正午の平均時刻線の比較をして、 その日に一般的に適用される補正量を決定することができる。
太陽の赤経を α とし、平均太陽が天球の赤道を動く時の赤経を αM とすれば、 均時差は差 Δt = αM - α として定義される[1]。 この表示では Δt は視太陽時 (日時計で測定される時刻) と平均太陽時 (機械式時計で測定される時刻) の違いである。 この等式の左辺は時間であり、右辺は角度である。 しかしながら天文学者は時間と角度を変換式で関連されたものとして扱っている；例えば 2πラジアン = 360° = 1日 = 24 時間。 差 Δt は測定可能である。何故ならば α が測定可能で、αM は平均太陽時の一次変換だからである。
均時差はニュートンの天体運動に関しての理論に基づいて計算することができ、 地球と太陽は共通の質量中心に関して楕円軌道となる。 理論を適用するのに αM = 2πt/tγ = Λ と書くのが普通である。 但し
αM を均時差に代入すると次のようになる[2]。
Δt = Λ - α = M + λp - α
ここで新たに登場した角度は
しかしながら、表示された式は近似的なものであり、 力学時と平均太陽時の違いを無視しているため、非常に長い期間には正確ではない[3]。 更に付け加えて、 楕円軌道の定式化は月や他の惑星の小さな摂動を無視している。 もう一つ複雑なことに、 軌道のパラメーター値は長期間には随分変動する。 例えば λp は 1 世紀につきおよそ 1.7 秒増大する。 その結果、 一定の軌道パラメータで表示された式を使用して Δt を計算しても短期間 (数 10 年) しか正確ではない。 「対話形式の複数年対応の計算機年鑑」(Multiyear Computer Interactive Almanac、訳注 有料ソフトウェア) を使用して、もっと正確に計算したものと比較すると 2008 年では毎日最大で 35.2 秒違っている[4]。 何世紀もの間有効となるような均時差の式を書くことも可能であるが、 必然的に複雑なものとなる[5]。
α、従って Δt を M に関しての関数として計算するには、更に 3 つの角度が必要とされる。 それらは
これらの角はすべて下の図に表示されている。 この図では天球と地球から見た太陽の黄経 (これは太陽から見た時の地球の軌道と同じ) を描いている。 この図において ε = 0.40907 = 23.438° は (黄道の) 傾きで、 楕円の離心率は e = [1 - (b/a)2]1/2 = 0.016705
さて 0≤M≤2π が与えられた時、α(M) を次のようにして計算することができる[6]。
第一に M が既知の時にケプラーの方程式から E を計算する[7]：
M = E - e sin E
数値は無限級数の使用、グラフの使用、あるいは数値解析で求めることができる。 あるいはまた、 e = 0 であれば E = M、小さな e に対しては逐次近似法[8]により E ～ M + e sin M となることに注意する。 これは再度繰り返すことによって改善することができる。 しかし軌道を特徴づける小さな e に関しては、この近似で十分である。
次に E が既知の時に楕円軌道の関係式から、 真近点角 ν を計算する[9]：
使用すべき多価関数 tan-1 x の正しい分岐は νE = 0 = 0 から開始して ν を E(M) の連続関数とするものである。 従って 0≤ E < π に対しては tan-1 x = Tan-1 x で、 π < E ≤ 2π に対しては tan-1 x = Tan-1 x + π． E = π においては tan の値が無限大となるので ν = E とする。なお Tan-1x は主値で |Tan-1x|<π/2； これは電卓や、計算機ソフトで返される値である。 あるいはまた、e = 0 であれば ν = E、小さな e に対しては一次のテーラー展開から
ν ～ E + e sin E ～ M + 2 e sin M。
ν が既知の時に λ はその定義式から計算される：
λ = ν + λp
λ の値は軌道が楕円であることから M に関して非線形に変化し、 ν の近似から、
λ ～ M + λp + 2 e sin M
次に、λ が既知の時に 上で示した天球の上の直角三角形の関係から α が計算される[10]：
α = tan-1 [cos ε tan λ]
直前の ν と同様に、tan-1 の分岐で使用すべきものは αλ=0 = 0 から開始して、 α を λ(M) の連続関数とするものである。 従って (2k-1)π/2 < λ < (2k+1) に対しては tan-1 x = Tan-1 + kπ で λ = (2k+1)π/2 においては tan の値が無限大となるので α = λ を使用する。 M が 0 から 2π まで変化する時 λp ≤ λ ≤ λp + 2π であるから、 λp = 4.9412 の時に必要とされる k の値は 2, 3, 4 である。 α の近似は ν の近似のように一次のテーラー展開から得ることができるが[11]、 等式 sin(α-λ) = - tan2(ε/2) sin(α+λ) を使う方が効果的である[12]。 ε= 0 に対しては α = λ となり小さな ε に対しては逐次近似法により
α ～ λ - tan2(ε/2) sin 2λ ～ M + λp + 2e sin M - tan2(ε/2) sin (2M + 2λp)
最後に M の値から開始して α(M) を計算し、Δt をここから計算することができる。 結果は通常は、近日点以後の日数 n に関しての Δt の表、もしくはグラフで表示される。 但し 0≤n≤ 365.242 で 365.242 は一太陽年の日数である。従って
M =
α(M) の近似を使用すれば Δt は簡単な具体的な式として書くことができる。 これは単なる近似式なので Δta と書く：
Δta = - 2 e sin M + tan2(ε/2) sin(2M + 2 λp) = [- 7.657 sin M + 9.862 sin(2M + 3.599)] 分
この等式は Milne によって得られた[13]。彼はこれを Λ = M + λp によって記述している。 ここに記されている数値はこの節で与えられている軌道パラメータ e, ε, λp の値から得られる。 上記の Δta の数値を計算する時に正しい値を得るためには電卓をラジアンのモードにしないといけない。 近日点の日付と時間は年ごとに違っていることに注意する。
2 つの計算結果をプロットして比較したのが下の図である。 より単純な計算が複雑な計算と非常に近接していることが分かる。 誤差の絶対値 Err = |(Δt - Δta)| は一年を通じて 45 秒以下であり、 最大値は 44.8 秒で、これは 273 日に起きる。 高次の項を評価すれば、もっと正確な近似を得ることができるが[14]、 必然的に評価するのに時間を消費する。 ある点では単に Δt を評価する方が単純である。 しかし Δta を上のように表示すれば電卓でも計算できるし、 これが 2 つの和 -- 黄道が傾いていることと、軌道が楕円であること -- であることの すばらしい物理的な説明となっている。 Δt を M の関数と思った時にも、Δta の高次の近似を取った時にも、これは正しくはない。
