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無理数の発見の歴史
-- 目次 --
  1. 始めに
  2. 素因子分解とその一意性
  3. 無理数の発見
  4. が無理数であることの幾何学的証明
  5. が無理数であることの幾何学的証明
  6. ピタゴラス学派による「 が無理数であることの証明」
  7. 古代ギリシャの数学はどのようにして現代に伝わったのか
1. 始めに
追加
これを書き始めた時は、ハーディー・ライトを参考としたのですが、その後、 ファン・デル・ヴェルデンを読むこととなり、追加の形で書いています。 後で述べますが、ファン・デルヴェルデンの推論はまず間違いないものです。 関連する本は 1919 年のディクソンの本, 1938 年のハーディー・ライトの本、1983 年のファン・デル・ヴェルデンの本です。 1919 年のディクソンの本にペル方程式の歴史に関しての記載があります。 但し、スケッチしか書いてありません。この本の記載に肉付けを与えると 必然的にファン・デル・ヴェルデンの内容になると思われます。 ディクソンの本にはペル方程式のことのみ言及があり、無理数との関連で書いてはないので、 無理数のことのみを問題とすると読み飛ばしてしまうと思われます。 但し、ピタゴラス学派がどのようにして の近似を求めようとしたのかを 実際に考察してみれば、必然的にペル方程式の考察が必要となり が無理数であることが分かるはずで、 その意味からはファン・デル・ヴェルデンの結論はまず間違いのないものです。 具体的には「 が無理数であることの幾何学的証明」/「その 1」が ピタゴラスが示した 『 が無理数であることの証明』であると言ってよいと思います。 厳密には、ここの「注意」で与えた互減法の適用がピタゴラス学派がしたことだと思われます。 なお以前に書いたことは誤植を除いては基本的に修正していません。 そのため少し読みづらいかもしれませんがあしからず。

無理数がどのように発見されたかに関して、 最初はあまり深く考えてはいなかったのですが、ラングランの講義録 (一般市民向けの講座, 後述) に書かれていることから、考え直すことになりました。

引用されていたのは、ハーディー・ライトの有名な古典（後述) です。 私も持っているのですが、あまり歴史との関連で読んだことがなく、 ラングランの指摘から随分違うことに気が付くことになりました。

ピタゴラス BC 569 頃 - BC 475 頃 が無理数であることがピタゴラス学派によって発見
テオドロス BC 465 - BC398 が無理数であることの証明 (m≦17 or m＜17, m≠平方数)
デモクリトスBC 460 頃 - BC 370 頃 「無理直線と立体」
テアイテトスBC 417 - BC 369 m≠平方数 のときに が無理数であることの証明
ユークリッド原論の第 10 巻、第 13 巻の元々の著者 ?
エウドクソスBC 408 - BC 355 ユークリッド原論の第 5 巻の元々の著者
アリストテレスBC 384 - BC 322 が無理数であることが
偶数奇数に基づいて示されることを言及
ユークリッドBC 325 頃 - BC 265 頃素因子分解の一意性

おおよその歴史を書けば、上の表の様になります。かいつまんで説明をすると。 ピタゴラス学派によって「 が無理数であること」が証明されたようですが、 この時点では「素因子分解の一意性」が知られていなかったようで、そのため m が平方数でないときに 「 が無理数であること」は証明できなかったようです。 「素因子分解の一意性」はユークリッド原論で証明されているとされていますから、 この時点で、多くの無理数の存在がようやく確定したことになります。 テオドロスの時点ではそこまで到達できず、m＜17 あるいは m≦17 までの 非平方数に対してのみ が無理数であることが証明できたまでのようです。

このテオドロスの証明は残っておらず、多くの憶測があります。本文中ではハーディー・ライトの 本にある通りに紹介をしております。

追加

このページの前半部 (第四章まで) を最初に書いた時には、上の表にテアイテトスとアリストテレスは含めていませんでしたが、 後半部を書き終えてから、色々気がつくことになり、表の中に含めることにしました。 なお上の表の人物の生きていた時代は

MacTutor History of Mathematics archive
を参考にしました。

問題の発端となっているのは「テオドロスの発見」で、今日テオドロスのことを知ることができるのはプラトンのテアイテトス (対話篇) のみだそうです。テアイテトスはプラトンの弟子で、この本はテアイテトスを主人公にした対話であるようです。 以下の本文中でも触れますが、「テアイテトス (対話篇)」には『 が無理数であることの証明 (m≦17 or m＜17, m≠平方数)』 をテオドロスがしたとしています。それに続いて、テオドロスの証明が、テアイテトスとソクラテスを触発し、一般化が なされたようです。この点に関しては

  1. Teodorus biography (テオドロスの伝記)
  2. Theaetetus biography (テアイテトスの伝記)

を参考にしました。ひょっとすると、この時点で素因子分解の存在と一意性が示せているのかもしれません。 なお、テアイテトスはユークリッド原論の第 10 巻 (無理量論) と第 13 巻 (正多面体論) を書いた人とされているようです、但し問題がないわけではないようです。これは「ユークリッド原論、共立出版」の p 512 に書かれていることです。 ユークリッド原論の第 10 巻の 2 つめの定理 (or 命題) には「無理数であることの判定条件」 が書かれています。これに関しては、このページの後半部 (第 5 章) をご覧ください。

またアリストテレスに関しては、ボイヤーの「数学の歴史 1」の p 102 に 『アリストテレスは正方形の対角線と 1 辺との通約不能性の証明に言及しているが、 その際、その証明は奇数と偶数との区別にもとづくといっていた』とあったので 表に加えました。

古代ギリシャではどのようにして無理数論が発展したのかよくわかりませんが、 その集大成はユークリッド原論の V のようで、これはエウドクソスによるものと されています。ユークリッド原論の V では実数が等しいか否かを「デデキントの切断」によって定義していますから、 わずか数百年の間に目覚しい発展を遂げたことがわかります。

素因子分解の一意性の証明には通常次が必要となります。 これはピタゴラス学派の時代には知られていなかったことで、 ユークリッド原論には (同等の) 記載があります。一般には 「基本定理」とは呼ばれませんが、素因子分解の一意性が確立すると共に 非常に多くの無理数が発見された理由でもあるようなので、 その意味で、このページでは「基本定理」と呼ぶことにします。

基本定理
p を素数とする。p が自然数 a, b (＞1) の積 ab を割り切れば、p は a, b のいずれかを 割り切る。

無理数の発見に関する話をするためには、「素因子分解とその一意性」のことから始めないといけません。 最初にかいつまんで整理します。その次の「無理数の発見」の内容は 基本的にはハーディー・ライトからの引用です。

ここまで書き終えた後で、インターネットの英語のページで「無理数」、「幾何学的証明」 を検索すると随分多くのページがヒットすることがわかりました。 「無理数であることの幾何学的証明」は英語圏ではとてもポピュラーな話題なようです。 面白いことが書いてあるので、色々検索されたページを参考にして 「 が無理数であることの幾何学的証明」を付け加えることにしました。 英語圏ではピタゴラス学派が 「 が無理数であること」を幾何学的に 証明したと考えている人が多く、それがポピュラーである理由のようです。

追加： 以上を書きあげた後で、ずいぶん経ってから、ファン・デル・ヴェルデンの本を何気なく 目を通していたら、ここにピタゴラス学派による「 が無理数であることの証明」が解説されていることに 気がつきました。推論ですが、とても説得力があります。「始終目を通しているのになぜ気がつかなかったのか ?」 と言われそうですが、「ディファントス方程式」と題した章の中の「ペル方程式」の箇所に書かれており、 これはもっと後世のディオファントスの頃の解説であろうと決めつけていたためです。 ピタゴラス学派による「 が無理数であることの証明」は 現代的な言い方をすれば の連分数展開が有限で終了しないということからの結論で、あわせて特別な形のペル方程式も解いていることが確実となりました。 ピタゴラス学派は が無理数であることを示すことを目的としたのではなく を有理数で近似しようとして、 その結果気が付いたはずなのです。

なお現代の意味における連分数展開は、厳密には古代ギリシャにはありませんが、 同等のことが線分に対して、ユークリッド互除法を適用することで得られます。 ユークリッド原論にもこのように扱われています。

ピタゴラス学派による の近似に関してはディクソンにも記述があり、ファン・デル・ヴェルデンと同様に プロクロスによる注釈を根拠にしています。 ディクソンには の近似をするための漸化式の根拠が書いてありません。 ファン・デル・ヴェルデンは、この漸化式が現在の言葉では の連分数展開から得られるものである ことを指摘し、またその形から、連分数展開が循環することがわかり、 これで が無理数であることが結論できるはずだと言っているのです。

色々混乱したため 「連分数展開 - 現代的視点から」と「ペル方程式 - 現代的視点から」 を付け加えましたが、これを読むのは不要かもしれません。 「互減法 - 古代ギリシャの観点から」 を直接読む方が直観的により理解できるかもしれません。 この箇所の記述はファン・デル・ヴェルデンの記述を参考にして、 互減法 (互除法のこと) がどのように古代ギリシャで理解されていたのかを推測して書いたものです。

新たに追加したのは第五章以後です。第五章に掲げた「 が無理数であることの幾何学的証明」 は、ボイヤーに載っているものです。色々読みあさっているうちに気がつきました。

参考文献
  1. Robert P. Langlands, The Practice of Mathematics, Lecture Series at the INSTITUTE FOR ADVANCED STUDY 　(1999/2000, PDF)
    (ラングラン、数学の練習、プリンストン高等研究所 (1999/2000))
    (これは一般市民を対象にした市民講座のようなものです。)
  2. G.H.Hardy and E.M.Wright, An introduction to the theory of numbers, Oxford, 1938.
    (G.H.ハーディ・E.M.ライト、数の理論入門, オクスフォード出版)
    (通常、ハーディー・ライトと呼ばれる。「数」に関しての著名な古典)
  3. ユークリッド原論、中村幸四郎など訳・解説、共立出版
追加の参考文献
  1. B.L. van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, 1983
  2. L.E. Dickson, History of the Theory of Numbers II, Chelsea (1919 年に出版された書籍の reprint)
  3. 高木貞二, 初等整数論講義, 共立出版
追加を書き終えたころに、ハーディ・ライトとファン・デル・ヴェルデンの本が日本語に翻訳されていることに気がつきました。
  1. G.H.ハーディ/E.M.ライト、数論入門 I, II, シュプリンガー数学クラシックス
  2. ファン・デル・ヴェルデン、古代文明の数学、日本評論社
最近、数学の和書のことを調べていなかったので気がつきませんでした。 特に、ハーディ・ライトは随分古い本なので今さら翻訳されるなどと思いも及びませんでした。 また、ファン・デル・ヴェルデンの本に関しては、土器の記述があるはずですが、 これは時代遅れとなっているので読むときに注意してください。 土器の年代測定は、随分と進展があったためです。 これは日本の弥生式土器や縄文式土器などと同じです。 また、以下に述べる無理数のことの記述を読み取るには私がここで記述している連分数展開、 ペル方程式のことなどは予備知識として必要です。ピタゴラス学派の論理は簡単ではありません。
2. 素因子分解とその一意性

ごく基本的な言葉から導入します。

整数 a, b (≠ 0) に対して

a = q b　　(q 整数)

と書けるとき

  1. a は b の倍数
  2. b は a の約数
  3. b は a を割り切る

と言います。自然数 a, b (≠ 0) に対して

  1. a, b の両方を割り切る自然数を a, b の公約数と呼び、
  2. a, b の両方で割り切れる自然数を a, b の公倍数と呼ぶ。
注意
ユークリッド原論には公約数とか公倍数の定義がないようです (p 149)。 しかし、ないと説明が不自由になるのでこれも定義しておきます。
  1. 2 つの自然数 a, b に対して、a, b が互いに素であるとは、 a, b の公約数が 1 のみである時である。
  2. 自然数 p (＞1) の約数が 1, p のみのときに、p を素数と呼び、そうでなければ 合成数と呼びます。
注意
「互いに素」、「素数」、「合成数」はユークリッド原論に定義されています (p 149)。

素数に関しては次の定理が基礎となります。

定理 (素因子分解とその一意性)
任意の自然数 n は素数の積で書け、その分解の仕方は積の順序を除けば一意的である。
注意
  1. つまり 6 = 2×3 = 3×2 のように表示できますが、積の順番を除けば、素数の積に 分解する仕方は一意的なのです。
  2. ユークリッド原論には「素因子分解とその一意性」に関しては、 直接載っていませんが、まぎれもなく知られていたとされています。

任意の自然数 n を素数の積で表示することは簡単です。 n が合成数であれば、2 つの数の積 n = n1n2 と なり ni が合成数であれば、更にそれを分解すればよいだけだからです。 だから、いつかは素数の積になります。 従って、本質的なのは「素因子分解の一意性」の方です。これを示すには

n = p1 ... pr = q1 ... qs　　(pi, qj 素数)

のような表示があったときに

p1 ... pr = q1 ... qs ...... (*)

の両辺から同じ素数を見つけて、順番に割っていけば、結論に到達します。例えば p1 = q1 であることがわかれば

p2 ... pr = q2 ... qs

となるためです。積の順番を並べ替えて、常にこのようにすることができれば、それで証明が完了します。

以上の点から、素因子分解の一意性を示すには、次の定理を示すことができれば よいことがわかります。この定理を何度も適用することによって、(*) の左辺の pi は 右辺の qj の中にないといけないためです。

基本定理
p を素数とする。p が自然数 a, b (＞1) の積 ab を割り切れば、p は a, b のいずれかを 割り切る。
注意
一般的には、これは基本定理とは呼びませんが、素因子分解の一意性を示すためのキーになっている 事実であることを強調するために、ここでは「基本定理」と呼びます。

実質、これはユークリッド原論で知られていたこと (p 166) で、そのため「素因子分解とその一意性」が ユークリッドに知られていたとされています。但し、ユークリッド原論では少し違う形で 述べられています。現代的な言葉で書くと次のようになります。 またユークリッド原論の証明も現代的な形で紹介することにします。

基本定理 (ユークリッド原論における形)
a, b が x と互いに素であるとする。そのとき c = ab は x と互いに素である。

証明　　y (＞1) が c, x を割り切るとする。c/y = d と置くと c = yd となる。よって


ab = yd 　………(1)
a/y = d/b ………(2)

一方、y は x を割り切り、a と x は互いに素であるから、a と y は互いに素である。 よって (2) より、a は d を割り切り、y は b を割り切る (この箇所に関しては下の注意を参照) y は x, b を割り切るから、x と b が互いに素であることに矛盾。

注意
証明中で使われている事実は、ユークリッド原論の p163, p 164 に示されている事実からの結論です。 そこでは
  1. a : b と同じ比を持つ 2 数 A : B の中で a : b が最小とする。そのとき、a は A を割り切り、 b は B を割り切る。
  2. a と b が互いに素であるとする。そのとき a : b と同じ比を持つ 2 数 A : B の中で a : b が最小となる。
が示されていますが

a/b = A/B ＝⇒ a/b = (A - a)/(B - b)

となることが簡単な計算で確かめられますから、ほぼ明らかなことです。(日本語がわかりにくいが、 じっくり考えれば明らか)

基本定理の現代的な証明も付けておく事にします。(証明にも色々ありますが、 可換環論などに深入りせずにした場合の証明です)

基本定理の現代的な証明　p が a を割り切れば何も証明することがないので、 a, p が互いに素であるとする。、 ユークリッド互除法から

s×a + t×p = 1　　　(s, t は整数)

両辺に b を掛けると

s×ab + t×pb = b

このとき、左辺が p で割り切れるから、b が p で割り切れることになります。
3. 無理数の発見
が無理数であることの 2 つの証明

ハーディー・ライト の本の 4.3 (p 39) のあたりから抜粋をする必要があります。 まず定理を掲げています。

ピタゴラスの定理
は無理数である。

ハーディー・ライト は 2 つの証明を挙げています。それも紹介しないといけません。 (読みやすくするため、原書を少し変更して紹介します。)

第一の証明　　 が有理数であれば、

= a/b　　(gcd(a, b) = 1)

と書けて

a2 = 2 b2........(*)

と書ける。p が b の素因子であれば、p は (*) の右辺を割り切り、従って、左辺の a2 を割り切る。 従って p は a を割り切る。gcd(a, b) = 1 であるから、これは矛盾で、 は無理数である。
第二の証明 (ピタゴラスによるとされている証明)　　 (*) の右辺は偶数である。従って、左辺も偶数で、

a = 2 c

と書ける。これを (*) に代入して、

b2 = 2 c2

となり、ここから b は偶数となり、gcd(a, b) = 1 に矛盾。

「第一の証明」では素数 p が a2 を割り切っていることから p が a を割り切っていることを 結論しています。従って、これは「素因子分解とその一意性」で示した「基本定理」を 適用しているのです。

ハーディー・ライトは 2 つの証明を比較検討しています (p 41)。内容を少し紹介することにします。 第一の証明では

p が a2 を割り切る ＝⇒ p が a を割り切る

という事実を使用しており、これには「素因子分解とその一意性」の「基本定理」 と称したものを使う必要があります。この証明の良い点は m が平方数でない場合にも が無理数であることを示すことができることです。

一方、第二の証明では

2 が a2 を割り切る ＝⇒ 2 が a を割り切る

という事実を使用していますが、これを示すには「基本定理」を知らなくても可能です。 というのは、a が奇数 2s + 1 であれば

a2 = (2s + 1)2 = 4s2 + 4s + 1

となり、a2 は偶数とはならないためです。だから a2 が偶数であれば a は偶数です。

第二の証明に関しては が無理数であることを示すために補正することができます。 しかし、

5 が a2 を割り切る ＝⇒ 5 が a を割り切る

という事実を示すには、5 が a を割り切らなければ a = 5s+1, 5s+2, 5s+3, 5s+4 の 可能性がありますから

a = 5s+1 ＝⇒ a2 = 25 s2 + 10 s + 1 
a = 5s+2 ＝⇒ a2 = 25 s2 + 20 s + 4 
a = 5s+3 ＝⇒ a2 = 25 s2 + 30 s + 9 
a = 5s+4 ＝⇒ a2 = 25 s2 + 40 s + 16

のように、起きうる場合をすべて計算して、いずれも a2 が 5 で 割り切れないことを確かめる必要があります。

以上の方法を取れば、m が平方数でない場合に が無理数であることを示すには m が大きくなればなるほど、計算が大変となり、困難となります。

ピタゴラス学派の証明は m が大きくなれば、困難であったことが次の「テオドロスの発見」 で明らかとなります。従って、第二の証明がピタゴラス学派の証明であった可能性も 残ることになります。

テオドロスの発見

ハーディー・ライトを部分的に翻訳することにしましょう。

「ピタゴラスの定理」が何時、誰によって発見されたかは不明である。 Heath のよると「発見は恐らく、ピタゴラス自身によるものではない、しかし ピタゴラス学派によるものであることは確実である」。 ピタゴラスの生存期間は BC 570-490 頃で、 BC 470 年頃に生まれたデモクリトス (Democritus) は「無理直線と立体について」(on irrational line and solids) を書いた。そのため「 が無理数であることが発見されたのは デモクリトスよりも以前であると結論せざるを得ない」

訳注　(1)「ピタゴラスの定理」とは「 が無理数であること」
(2) 引用されている Heath の文献は　Sir Thomas Heath, A manual of Greek mathmatics, 54-55

定理は 50 年以上も拡張されなかったようである。プラトンのテアイテトス (Theaetetus) に は有名なくだりがあり、そこではテオドロス(Theodorus, プラトンの先生) が

, , ....

が無理数であることを、別々に取り上げて、証明したことが記述されています。 ところが 17 の平方根に至って、何らかの理由で突然に中止しています。 我々はテオドロスによるこの発見、あるいは別の発見に関して、正確な情報を 持ち合わせていません。しかし プラトンの生存期間は BC 429-348 ですから、 この発見はおよそ BC 410-400 年頃であろうとしてよいと思われます。

テオドロスがどのようにして定理を証明したかに関しての問題は多くの歴史学者 の巧妙な発想を喚起した。

ハーディー・ライトは更に議論を続け、テオドロスがした証明に関しては、 McCabe による証明が最も可能性のあるものであるとしています。 を取り扱ったか否かはギリシャ語の ニュアンスからは不明で、McCabe の方法は で証明が困難になるというものです。

最後に Zeuthen による「 が無理数であることの幾何学的証明」にも頁を割いています。 これもテオドロスがしたかもしれない証明です。

このどちらの証明もハーディー・ライトに書かれているように紹介することにしましょう (翻訳です)。

が無理数であることの証明 (McCabe)

ハーディ・ライトからの翻訳です。

順番に N に対して を考察する際に、テオドロスは N = 4n を無視することができた。 に関してはすでに扱っていたためである。これ以外で N が偶数である場合には N は 2( 2n + 1) の形を取り、 の証明がそのまま適用できる。従って N が奇数の場合を 考えればよい。このような N に関しては

= a/b,　　gcd(a, b) = 1

とすれば Nb2 = a2 となり、a, b は共に奇数となる。 a = 2A + 1, b = 2B + 1 とすれば

N(2A + 1)2 = (2B + 1)2

N は次の形でなければならない。

4n + 3, 　　8n + 5, 　　8n + 1

もしも N = 4n + 3 であれば、積を作って、2 で割れば、次を得る。

8nA(A + 1) + 6A(A + 1) + 2n + 1 = 2B(B + 1)

これは不可能である。左辺が奇数で、右辺が偶数である。 N = 8n + 5 であれば、積を作って、4 で割れば次を得る。

8nA(A + 1) + 5A(A + 1) + 2n + 1 = B(B + 1)

これも不可能である。というのは A(A + 1), B(B + 1) は共に偶数であるからである。

8n + 1 の数が残ることになった、これは 1, 9, 17,... が該当する。 無論 1, 9 は自明で、N = 17 で困難となる。他の場合と同様に議論すると、次の式に 到達する。

17(B2 + B) + 4 = A2 + A

両辺とも偶数である。ここでいろいろな可能性を考えなければいけなくなり、 問題はずっと複雑となる。 もし、これがテオドロスの方法であれば、ごく自然に の手前でストップすることとなる。

が無理数であることの幾何学的証明 (Zeuthen)

ハーディー・ライトからの翻訳です。

Zeuthen により示唆された証明は、数によって異なり、 その違いは を表示する周期的連分数展開の底に依存している。 我々は典型例として最も単純な場合 (N = 5) を取り上げる。

我々は

x = ( - 1)/2

で議論をする。このとき x2 = 1 - x である。

幾何学的には、AB = 1, AC = x であれば

AC2 = AB・CB

となり、AB は点 C で「黄金比」に分割される。 これらの関係式は円に内接する正 5 角形を作図するのに基本的なことである (ユークリッド原論 IV, 11)。

もしも 1 を x で割って、最大の正の整数を商 (すなわち 1) とすれば、余りは 1 - x = x2 である。 もしも x を x2 で割れば、商は再び 1 で余りは x - x2 = x3 である。 次に x2 を x3 で割り、この操作を無限に続ける。どの段階でも 割られる数、割る数、余りの比例は全て等しい。

幾何学的には、もしも CB の反対側に CC1 を等しく取れば、 AB の C における比 (すなわち黄金比) と同じ比で CA は C1 で分割される (割られる)。 もしも、C1A の反対側に C1C2 を等しく取れば、 C1C は C2 で黄金比に分割される (割られる)、などである。 どの段階でも線分を同じ比に分割することを扱っているため、この操作は無限に続くことになる。

訳注　「線分の分割」と「割る」は英語では同じ「divide」である。 これは、割り算が、もともと線分の分割から来ているためで、割ることは分割を意味しています。

これが、x が有理数である仮定に矛盾することを示すことはとても簡単です。 もしも x が有理数であれば AB, AC は同じ長さδの整数倍となります。 そしてそれは図の中の線分

C1C = CB = AB - AC,　　C1C2 = AC1 = AC - C1C, ....

関しても全て当てはまります。従って、 δの整数倍の減少列が無限に続くことになります。これは単に不可能です。

ラングランは、このページの最初で引用した文献で、テオドロスによる証明は 幾何学的証明であった考えるほうが説得力があるといっています。

4. が無理数であることの幾何学的証明

「はじめに」でも紹介したように英文のページでは「無理数であることの幾何学的証明」は 随分ポピュラーな話題のようです。そのうち、目にとままったものを紹介したいと思います。

その 1

ここで取り上げる「 が無理数であることの幾何学的証明」は英語のページでは 至る所で紹介されているものです

Tom M. Apostol, Irrationality of the Square Root of Two - A Geometric Proof,
American Mathematical Monthly, November 2000, pp. 841-842.

による証明で、例えば

A new proof that the square root of 2 is irrational

に紹介されています。証明自身は非常に簡単です。次のような直角二等辺三角形を考えます。

∠ABO が直角で AB = OB = 1, AO = です。今 A を中心にして、半径 AB で 円弧を描き、AO との交点を C とします。C で垂線を立て、OB との交点を D とします。

∠AOB は 45 度で、∠OCD は直角ですから、⊿OCD は直角二等辺三角形です。 特に OC = CD です。 又 CD, DB は点 C, B で円に接していますから、CD = DB です。従って DB = OC。

が有理数とします。そのとき AO, AB の長さは共にある基準となるδの 整数倍となります。従って CO の長さもδの整数倍となります。 OD は OB から DB を引いた量ですから、 OD の長さもδの整数倍となります。

これで矛盾です。何故ならば、直角二等辺三角形⊿OAB は辺の長さが すべてδの整数倍で、 ここからより小さな直角二等辺三角形⊿OCDが構成でき、しかもこの辺の 長さがすべてδの整数倍です。これを無限に続けると、 整数 (＞0) の無限減少列が構成できることになり、矛盾となります。

注意
あとで気が付いたのですが「ボイヤー、数学の歴史 1, p 103」 に類似のことが書いてある。しかも、この図は互減法の図です。 互減法とはあとで述べますが、互除法と同じですが、一回の操作で「大きいほうから小さいほうを引く」 ことを繰り返すもので、基本的には連分数展開です。以下、線分の長さのみを問題として、互減法を適用します。
(OA, OB) ---> (OA - OB, OB) = (OC, OB)
---> (OC, OB - OC) = (OC, OB - DB) = (OC, OD)
連分数展開の記法では
= 1 + ( - 1)
1 = + 1
- 1
最後から 1 を引けば に戻ります。
その 2

面積が 1 の正方形 2 個と、面積が 2 の正方形 1 個を用意します。

＝ ＋

面積が 1 の 2 個の正方形を面積が 2 の正方形に下の図のように重ねます。 面積 1 の正方形が重なっている部分を黄色で描いてあります。

黄色の部分の面積は、緑の部分の面積に等しくなります。 従って、同じ形の正方形 2 個の面積が 1 個の面積に等しくなりました。

これで　 が無理数であることがわかります。 もしも、有理数とすると、最初の緑と青の正方形 1 辺の長さは基準となるδの整数倍となります。 上の操作によって、より小さな正方形でこれと同じ条件になるものが作られました。 (あらたに構成された正方形の 1 辺もδの整数倍となります。) この、操作は無限回繰り返すことができ、従って 整数 (＞0) の無限減少列ができ、矛盾となります。

これもどこかの英文のページで見たものですが、 どこで見たのか今ではわからなくなっています。 無理数であることを幾何学的に示す方法は発想を理解すれば どれも簡単なものばかりです。多分、二次無理数にしか適用できないと 思いますが、ピタゴラス学派がこのような方法で、 が無理数であることを 示したとしても不思議ではないと思います。

5. が無理数であることの幾何学的証明

以下紹介することは、「ボイヤー、数学の歴史 1, 朝倉書店」の p 103 に載っていることです。 証明のスケッチが書かれているだけで、 最初はわけがわかりませんでした。しかし、古代ギリシャでは、 線分の長さに対してもユークリッド互除法 (より正確には互減法) を適用していたということを ファン・デル・ヴェルデンで知ることになり、ようやく意味がわかることになりました。 示すことは (1 + )/2 が無理数であることです。なおこの証明も英語圏ではよく知られたもののようです。

互除法 (あるいは互減法) を適用する前に、図からわかることを列挙します。 正五角形 ABCDE を描き、対角線を引けば内部に再び正五角形 FGHIJ が できます。正五角形 ABCDE は円に内接するため、 同じ長さの円孤の上にある円周角はすべて等しくなり、 ∠ABE, ∠AEB, ∠BAC, ∠CAD, ∠DAE はすべて同じ角度になります。 ここから ∠ABE は π/5 になります。また小さな正五角形 FGHIJ を 考えれば、同じように ∠GHF も π/5 となります。以上のことから、 △ABJ, △FBH は二等辺三角形になります。

さて、正五角形の一辺と対角線 (の長さ) に対して、互除法 (あるいは互減法) を 適用します。単に大きい方から、小さい方を引く操作を何度も続けます。 以下、線分の長さのみを問題とし、BE とあれば線分 BE の長さのことを 意味します。

(BE, BA) = (BE, BJ)
─→ (BE - BJ, BJ) = (JE, BJ) = (BF, BJ)
─→ (BF, BJ - BF) = (BF, FJ) = (FH, FG)

以上より、正五角形の対角線と一辺の長さの比は無理数となります。 なぜならば、もしも比が有理数であれば、BE, BA は単位となる長さ δ の自然数倍で なければなりません。相互に差を取る操作をすると、 より、小さな正五角形の対角線 FH と一辺の長さ FG となります。 従って、FH と FG も δ の自然数倍でなければなりません。 これにより、無限に減少する自然数の列が構成できたこととなり、矛盾となります。

AB = 1 とすれば、BE = (1 + )/2 ですから、これで が無理数であることが 示されたことになります。

注意
  1. 「ボイヤー、数学の歴史 1」の p 102 で 「アリストテレスは正方形の対角線と一辺との通約不能性の証明に言及しているが、 その際、その証明は奇数と偶数の区別にもとづくといっていた」 と書かれており、この証明は「 が無理数であることの 2 つの証明」 で述べた「第二の証明」であることになります。 ボイヤーの本ではこの証明の解説をしたあとで 「上の証明は抽象度が非常に高いものであるため、 それが通約不能性が最初に発見されたときの根拠である可能性は疑問視されてきた」 と続け、正五角形を使用した証明を可能性の一つとして掲げています。
  2. 「ボイヤー、数学の歴史 1」の p 116 には演習問題が載っており、4 番目と 11 番目が次のようになっています。
    1. と の うちどちらの無理性が最初に発見されたと思うか。歴史的証拠にもとづいて、その答えの正しいことを 立証せよ。
    2. 正六角形の対角線は、辺に対して通約不能か。これの答えは古代に得られていたかどうかを 示すともに、答えについても十分な説明をせよ。

    どちらも、恐らく完全な解答を与えることはできませんが、 正方形を使用して が無理数であることを示すほうが、 正五角形を使用して が無理数であることを示すよりも簡単ですから、 論理的に考えれば、 の無理性が示されたのが先だと思います。

    11 番目の問を見て、発想として次のようなことも考えられることに気がつきました。 ピタゴラス学派は、正方形で辺と対角線の比が通約不能であることに気が付き、 次に正五角形にこれを拡張し、更に正六角形に適用しようとした。

    正六角形の 1 辺を 1 とすれば対角線は ですから、辺と対角線の比は 当然通約不能ですが、ピタゴラス学派は示すことができなかった。図だけから示そうとしたためです。 その根拠はテオドロスが 『m が平方数でない時に が 無理数であること』の証明を m = 3 のときに開始しているためです。 すでに示されていたのであれば、m = 3 のときから始める必要がない。 また、テオドロスはピタゴラス学派と本質的に同じ方法でありながら、ピタゴラス学派よりも より多くのことを示すことができた理由は後で述べる ファン・デル・ヴェルデンの本の中の 「ユークリッド互除法の周期性」の中に記載されていることが根拠となりそうです。

    ここではアルキメデスが の連分数展開を適用する際に 分母の有理化を実行したであろうと議論をしているからです。分母の有理化のためには 比の等式

    a : b = c : d

    が与えられた時に内項の積 bc が外項の積 ad に等しいことを利用すればしまいですが、 これはユークリッド原論に記載されていますから、 ユークリッド (BC 300 年ごろ) よりも 後世の人であるアルキメデス (BC 287 頃 - BC 212) には当然これが可能です。 テオドロスはどうだったのでしょうか、テオドロスはユークリッドよりは前世の人ですが、 分母の有理化が可能であったと考える方が自然です。 ピタゴラス学派の時代には不可能であったことがテオドロスには可能となっていたので、 テオドロスはこれを試してみようとした。

    以上、「ボイヤー、数学の歴史 1」の演習問題の解答ですが、どんなもんでしょうか ?

6. ピタゴラス学派による「 が無理数であることの証明」

ピタゴラス学派が「 が無理数であること」を証明できたのは、 の有理数近似を求めるために連分数展開をしたためであろう、 とファン・デル・ヴェルデンが推測しています。 しかし、これは推測というよりは、まず間違いない事実であろうと思われます。 平方根の計算には、近世にはテイラー展開が使用されますが、 それ以前はもっぱら連分数展開です。

「連分数展開 - 現代的視点から」、「ペル方程式 - 現代的視点から」 を付け加えたのは、色々混乱したからです。 連分数展開やペル方程式のことを知らなければ「互減法 - 古代ギリシャの観点から」 を読めばかえって、簡単に理解できるかもしれません。

連分数展開 - 現代的視点から

連分数展開に関しては

高木貞二、初等整数論講義、共立出版

に詳しく記載されていますが、ここではファン・デル・ヴェルデンの議論の理解に必要と思われることを 整理したいと思います。

定義

連分数とは次のような分数のことです。

a0 + b0
a1 + b1
a2 + b2
a3 + b3
a4 + ・・・

通常は次のような連分数を扱うのが普通です。

k0 + 1
k1 + 1
k2 + 1
k3 + 1
k4 + ・・・

これを次のように表します。(面倒な場合には [k0, k1. ・・] のように書くこともあります。)

k0 + 1 1 1
k1 +k2 + ・・・ + kn ・・・

実数 ω＞1 に対して、その整数部と少数部を分け、少数部を 1/ω1 と書き、 ω1 にも同様な操作をし、それを繰り返します。

ω = k0 + 1,    k0　整数, 　ω1＞1
ω1
ω1 = k1 + 1,    k1　整数, 　ω2＞1
ω2
ω2 = k2 + 1,    k2　整数, 　ω3＞1
ω3
・・・

そうすると、次のような分数表示が得られます。これを ω の連分数展開といいます。

ω=k0 + 1
ω1
=k0 + 1
k1 + 1
ω2
= k0 + 1            
k1 + 1
k2 + 1
ω3
・・・
=
k0 + 1 1 1 1
k1 +k2 + ・・・ + kn-1+ωn

ωn を連分数展開の終項と呼び、

k0 + 1 1 1
k1 +k2 + ・・・ + kn-1

をω の近似分数と呼び、ωが無理数の時、n が大きくなると近似分数はωに収束することが知られています。証明は高木貞二を参照してください。

連分数展開は無理数を有理数で近似するための方法として知られているものです。無理数を連分数で近似すると、 分母が最も小さい分数となり、効率が良くなります。

以上の点に関して、もう少し説明を加えた方が良いようです。 中間近似分数を次のように置きます。(pn, qn は自然数)

pn = k0 + 1 1 1
qnk1 +k2 + ・・・ + kn-1

そうすると、任意の xn に対して、次が成立します。

k0 + 1 1 1 1=pnxn + pn-1
k1 +k2 + ・・・ + kn-1+xn qnxn + qn-1

xn が kn に一致すれば、この分数の値は pn+1/qn+1 に一致し、 xn = 1, 2, .., kn - 1 のときに、この分数も中間近似分数と呼ばれます。 (左辺で 1/xn を無視した時に、右辺が pn/qn に一致しないといけませんが、 これを見るためには右辺の分母分子を xn で割り、xn を無限大にすればよいです。)

用語がまぎらわしい場合には pn/qn を「主なる近似分数」と呼ばれます。 以上は高木貞二の本に書いてあることです。この本を読んだときには何故、「主なる近似分数以外」に「中間近似分数」 なるものを考察する必然性が不明でした。

連分数展開は本質的にはユークリッド互除法と同じものであることは以前からよく承知していたことですが、 ファン・デル・ヴェルデンの本を読んで、 ユークリッド互除法が、古代ギリシャでは互減法であったと指摘されていたため、高木貞二を読み直してみて、 この一般化された「中間近似分数」が「互減法」を適用した時に終項を無視して得られる分数であることに 気がつきました。(1 個づつ引いていけば xn が 1 個づつ増える。) この中間近似分数が、無理数を有理数で近似するときに最も効率のよいもの (分母が最も小さいもの) であることが高木貞二の本で述べられていることです。

連分数展開はユークリッド互除法と同じ

連分数展開はユークリッド互除法と同じものです。 a, b を正の実数とし、a を b で割ることを、a からできる限り b を引くことと理解します。 すると次のようになります。

a = q0 b + r1    q0　整数, 0＜r1＜b
b = q1 r1 + r2    q1　整数, 0＜r2＜r1
r1 = q2 r2 + r3    q2　整数, 0＜r3＜r2
・・・

そうすると次のようになり、a/b の連分数展開をしていることになります。

a/b =q0 + 1
b/r1
b/r1 =q1 + 1
r1/r2
r1/r2=q2 + 1
r3/r2

ユークリッド原論では、a, b が線分の長さであるとき a を b で割ることを、 a からできる限り b を引くこととみなしており、互除法の適用は a, b が整数の場合に 限っているわけではありません。ユークリッド原論では連分数展開はユークリッド互除法の形で 取り扱われているのです。

注意

ユークリッド互除法はユークリッド原論では 2 箇所に登場しており、 巻 7 の 1, 2 と 巻 10 の 2, 3 です　(Euclidean algorithm - Wikipedia)。 巻 7 の方が整数を扱ったもので、巻 10 の方が線分を扱ったものです。だから巻 10 の方が連分数展開に近くなります。

Euclidean algorithm - Wikipedia によると、 「巻 7 はピタゴラス学派の数学者によって書かれた数論の教科書に由来する」と ファン・デル・ヴェルデンが示唆しているそうです。だから、ユークリッド互除法はピタゴラス学派にはよく知られていたことになります。

無理数であることの判定条件

ユークリッド原論の第 10 巻の 2 に次の定理が述べられています。

ユークリッド原論 X2
二つの不等な量 ＡＢ、ΓΔ があり、そのうち ＡＢ が小さく、つぎつぎに 小さい方が大きい方から引かれ、残された量がけっして自分の前の量を割り切ることがないとせよ。 量 ＡＢ、ΓΔ は通約できないと主張する。

現代的な言い方をすれば、これは次のようになります。

実数 a, b (＞0) に対して、ユークリッド互除法を適用して、 有限で終了しなければ a/b は通約できない (つまり有理数ではない)。

ハーディー・ライトに記載されていたZeuthen による「 が無理数であることの証明」 は実はこれを使用していたようです。ファン・デル・ヴェルデンに指摘があります (p 137)。 ファン・デル・ヴェルデンは次のように述べています (翻訳)。

通約不可能性のこの判定条件は、(ユークリッド原論の) このあとでは決して使用されていない。 巻 10 の中で、通約不可能性のいくつかの証明が与えられているが、どの証明も判定条件 X2 に もとづくものではない。 この判定条件は、それ以前の通約不可能比の理論の残留物と思われる。

ファン・デル・ヴェルデンは p 138 で次のようにも述べています (翻訳)。

第二に、テオドロスがこのように議論を進めたのであれば、 ユークリッドが歴史的に重要な定理 X2 を原論に含めた理由を理解することができる。

なお、現代では色々記号を使用することができますから、ユークリッド原論の判定条件 X2 はほとんど当たり前です。 整数のユークリッド互除法は必ず有限回で終了しますから、 有限回で終了しないのは数の比が有理数でないことを意味しています。

, が無理数であること

ユークリッド原論の定理 X2 を前提にすれば、, が無理数であることを示すには , の連分数展開をすればよいだけです。2 次無理数の連分数展開のことに詳しければ、これは当たり前なのですが、 実際にしてみると

= 1 + ( - 1)
1 = + 1 = 2 + ( - 1)
- 1
∴ = 1 + 1 = 1 + 1
+ 1 2 + 1
+ 1
= [1, 2, + 1]
= [1, 2, 2, 2, ・・・,2, + 1]
= 1 + ( - 1)            
1 = + 1= 1 + - 1      
- 1 2 2
2 = + 1 = 2 + ( - 1)
- 1
∴ =[1, 1, 2, ( + 1)/2]
=[1, 1, 2, 1, 2, ( + 1)/2]
=[1, 1, 2, 1, 2, ・・・, 1, 2, ( + 1)]

となり、どちらの展開も循環することがわかり、絶対に終了しません。 従って、どちらも無理数であることがわかります。現代ではこれは極めて簡単にできる計算ですが、 色々な記号のない古代ギリシャではとても大変なことであったはずです。

ペル方程式 - 現代的視点から

ペル方程式 (Pell's equation) とは

x2 = D y2 + 1

の形の方程式で、すべての整数解 (x, y) を求めるものです。(x, y) = (1, 0) が解の一つであることは明らかです。 この方程式をペル方程式と名前を付けたのはオイラーですが、 これはオイラーが混乱したためのようで、実際は John Pell は ペル方程式に何も関連していません (Pell's equation - Wikipedia を参照)

ファン・デル・ヴェルデンでは読者が現代的なペル方程式の 解き方を知っていることが前提となっているようです。 そこで、これもかいつまんで紹介することにします。 なお

高木貞二、初等整数論講義、共立出版

にもペル方程式は詳しく解説されていますが、観点が違うため 少し読み換える必要があります。

古代のペル方程式を解く目的は の有理数近似を求めることで、 以下のペル方程式の取り扱いはファン・デル・ヴェルデンの解説に あわせたものです。なお以下の議論では 2 次の正方行列に関しては既知のものとしています。

ユークリッド互除法と一次変換

日本語では「ユークリッド互除法」と呼びますが、 英語では「ユークリッド・アルゴリズム」(Euclidean Algorithm)、 ギリシャ語では Antanairesis (互減法) と呼びます

2 つの線分 s, d が与えられたとき、互減法 (ユークリッド互除法) の 1 回の操作では 大きい線分から小さい線分を引くことが許されるのみです。

(s, d)─→(s - d, d)   (s≧d)
(s, d)─→(s, d - s) (d≧s)

連分数展開の表記では

─→ = s/d - 1
─→ =

このような変換を繰り返し合成すると、どうなるでしょうか ? 見やすくするためには、一次変換を導入しなければなりません。

整数係数の 2 次の正方行列で、行列式が 1 のもの

A = ,      |A| = ad - bc = 1

と任意の実数 ω に対して

A(ω) =

と置き、ω ---> A(ω) を一次変換 と呼びます。A' も同様な 2 次の正方行列とすれば

A(A'(ω)) = (AA')(ω)

但し、AA' は行列の積、すなわち

AA' = =

以上の記法を適用すると、互減法 (ユークリッド互除法) が誘導する実数の変換は

ω ─→ ω - 1 = (ω)
ω ─→ = (ω)

となり、これらの変換の幾つかの合成は

ω ─→ A(ω)

となる。但し

A = ,      |A| = ad - bc = 1
注意
  1. このような変換、あるいは同等な考察は古代ギリシャ人にとって一応無理です。 その理由は負の数が登場するためです。しかし、逆の変換 A-1 には負の数が登場しません。
  2. もしも ω から出発して、何度も変換を施して、再び ω が登場するとすれば、 適当な一次変換 A により

    ω = A(ω)

    が成立することになります。よしんば A を変換ととらえることができなくても、 A-1 を変換ととらえることができるのであれば

    A-1(ω) = ω

    が意味を持つことになります。
一次変換とペル方程式の整数解

さて、ペル方程式との関連を述べよう。

定理
自然数 D が平方数でないとし、ω = と置く。 整数係数の 2 次の正方行列 A で |A| = 1 となるものに対して ω = A(ω) で あれば
A =
となる。但し x, y はペル方程式 x2 - D y2 = 1 の任意の整数解。

　

証明　　整数 a, b, c, d に対して
ω = (a ω + b)/(c ω + d)
⇔     c ω2 + d ω = a ω + b
⇔     c D + d ω = a ω + b
⇔     d = a, 　c D = b
となるから、a = x, c = y と置けば、定理が得られる。 x2 - Dy2 = 1 となることは |A| = ad - bc = 1 を 書き換えただけ。■

　

整数 x, y に対して

θ = x + y に対して = x - y

と置き、 を θ の共役 と呼ぶ。以上のように 定めると、次の対応が 1-1 となる。

{ (x,y) | x,y 整数, x2 - D y2 = 1 } ∋(x,y)
{ θ = x + y | x,y 整数, θ = 1 } ∋ x + y
{ A   
   2 次の整数係数行列,
  |A| = 1, A() =
} ∋

しかも、最後の対応は乗法を保存する。この事実は最後の対応が正則表現であることによるが 次のように直接確かめてもよい。

( x + y )( x' + y' ) = ( x x' + y y' D ) + (x y' + y x')
    =

以上の事実からただちにわかることは、

定理
A, A' がペル方程式の整数解に対応すれば AA', A-1 もペル方程式の整数解に対応し、 又、θ, θ' がペル方程式の整数解に対応すれば θθ', θ-1 もペル方程式の整数解に対応する。
注意
あとでファン・デル・ヴェルデンの翻訳の中で出てきますが、ブラーマグプタは 次の等式を知っていたそうで、古代ギリシャでも類似の形で知られていた可能性があります。

(ax + Dcy)2 - D(cx + ay)2 = (a2 - Dc2)(x2 - Dy2)

次の等式と、これの共役の積を作れば上の式となりますから、 古代ギリシャ人はここで述べたような現代的な処理をしているわけではありませんが、 本質的な点を理解していた可能性があります。

(ax + Dcy) + (cc + ay) = (a + c )(x + y )

ペル方程式の解の構造

ファン・デル・ヴェルデンを読むには、ペル方程式の整数解に関して、これ以上詳しいことは 必要がないが、もう一点付け加えておく方が見通しがよい。

定理
ペル方程式 x2 - D y2 = 1 の正の整数解 (x0, y0) で次の条件を満たすものがある。 任意の正の整数解 (x, y) に対して

x + y = ( x0 + y0 )n

を満たす自然数 n がある。

　

証明 Step 1.　 (x, y) をペル方程式の整数解とし、θ = x + y と置く。 θ＞1 であれば、x, y は正の整数であることを示そう。 θ = 1 であるから、θ＞1 より

0＜ = x - y＜1

よって、θ+＞0, θ-＞0 ここから, 2x＞0, 2y＞0 となり、x, y は確かに正の整数である。
Step 2.　連分数展開を用いれば、正の整数解 (x,y) が存在することを示せるが、 これは認めることにしよう。 さて自然数 N に対して

1＜x + y＜N

を満たす自然数 x,y は有限個しかない。従って、ペル方程式の正の整数解 (x0, y0) で

θ0 = x0 + y0

が最小となるものがある。θ0＞1 であることに注意しよう。(x, y) をペル方程式の任意の正の整数解 とし

θ= x + y

と置く。このとき

(θ0)n ≦ θ ＜ (θ0)n+1

を満たす自然数 n がある。

θ(θ0)-n = x' + y'

と置けば (x', y') はペル方程式の整数解で

1 ≦ θ(θ0)-n ＜ θ0

により、θ0 の選び方から θ(θ0)-n = 1 でなければならない。 よって θ = (θ0)n ■

だからペル方程式の全ての整数解を求めるには、整数解に対応する θ＞1 で最小のものを求めればよいです。

互減法 - 古代ギリシャの観点から
有限回で終了するとき

ユークリッド互除法を意味するギリシャ語は Antanairesis であり、 これは互いに引くことを意味する。数の組 (x, y) もしくは線分の組 (u, v) から出発して、 大きい方から小さい方を引き続ける。項が等しくなって手順が終了するか、もしくは永久に続く。

例えば 49 と 91 にユークリッド互除法 (あるいは互減法) を適用すると次のようになります。

4949777777
914242352821147

図示をすると次のようになります。まず 49 と 91 をセット。

次に、91 から 49 を引くと 42 が残る。

49 から 42 を引くと、7 が残る。

42 から 7 を 5 回引くと 7 が残り、これで終了。

図から、見てわかるように、この操作で、49 と 91 に共通な単位要素、すなわち最大公約数 が求まります。ユークリッド原論では互除法を線分の場合にも適用しており、 こちらの方が理解しやすい。まず長さ 91 と 49 の線分を用意する。

長さ 91 の線分を AB とし、ここから長さ49 の線分 AC を引く。 すると、残り (あるいは余り) が CB となり、これは AC より長さが小さい。 そこで今度は AC から CB と同じ長さの CD を引く。 残り (あるいは余り) は AD となる。 CD の方が AD より大きくなるので、CD から AD を 5 回引くと、EC が 残り、これは AD と等しくなる。 これが AB と AC の共通の長さの単位である。ほどこした変換は

(a0, b0) = (49, 91)
─→ (a1, b1) = (a0, b0 - a0) = (49, 42)
─→ (a2, b2) = (a1 - b1, b1) = (7, 42)
─→ (a3, b3) = ((a2, b2 - 5×a2) = (7, 7)

最後の変換から、a2 = a3, b2 = b3 + 5×a2 が得られる。このようにして上の変換は逆をたどることができる。 (a3, b3) = (1, 1) と置き、 上の逆変換をたどると、a0：b0 がわかる。

(a3, b3) =(1, 1)
─→ (a2, b2) = (a3, b3 + 5×a2) = (1, 6)
─→ (a1, b1) = (a2 + b1, b2) = (7, 6)
─→ (a0, b0) = (a1, b1 + a0) = (7, 13)

つまり、49：91 = 7：13 がわかったのである。無論、約分するのにわざわざこうする必要はない。 分母分子の最大公約数 7 がわかった時点で、分母分子を 7 で割れば 7：13 を得る。

追加
  1. あとで、読み直して、ひょっとすると古代ギリシャでは、分数の簡約をするために、 逆変換をたどった可能性があることに気がつきました。Arithmetic - Wikipedia の一部分を翻訳すると、

    ニコマコス (Nicomadhus, AD 60 頃 - AD 120 頃) は 「算術入門」で哲学的なピタゴラス学派の数へのアプローチと、 その相互の関連を要約している。この時代では、基本的な算術演算は極めて 複雑なものであった。

    実際にどのような方法が取られたのかの説明がありませんが、 割り算が複雑な計算であれば (例えば割り算をすることは繰り返し引くことであれば)、 互減法の逆をたどる方が簡単であったと思われます。 また「互除法」と呼ばずに「互減法」と呼んだ理由も、割り算が困難であったことを 示唆していますから、分数を簡約するために互減法の逆をたどった可能性が極めて大きくなります。
  2. ギリシャの数字もかなり大変です。これに関しては次が参考になります。
有限回で終了しないとき

比率 a0：b0 が整数比でなければ (あるいは a0/b0 が有理数でなければ) 上の手順は永久に続く。しかし、大きな n で (an, bn) を (1, 1) で置き換えて、 逆をたどればどうなるのであろうか ? 例えば、(a0, b0) = (, 1) に対して、互減法を適用すると、

(a0, b0) = (, 1)
─→ (a1, b1) = (a0 - b0, b0) = ( - 1, 1)
( - 1)：1 = 1：( + 1)
─→ (a2, b2) = (a1, b1 - a1) = ( - 1, 2 - )
( - 1)：(2 - ) = 1：
─→ (a3, b3) = (a2, b2 - a2) = ( - 1, 3 - 2)
( - 1)：(3 - 2) =１：( + 1)
─→ (a4, b4) = (a3 - b3, b3) = (3 - 4, 3 - 2)
(3-4)：(3 - 2) = ：1
注意
一応、上では実際に引き算をした結果を書いていますが、これは参考です。このように計算したはずがありませんから。 実際には『 が無理数であることの証明、その 1』の『注意』で書いたようにして、 互減法を適用したと考える方が、説得力があります。

線分の状況は次のように遷移する。 a0 から b0 を引くと、a1 が残り、 b1 が b0 となり、b1 から、 a1 を 2 回引くと、b3 となって、 a3 は a1 となる。 a3 から b3 を引くと、a4 となり、b4 は b3 となる。

(a4, b4) = (1, 1) とみなし、 他の比率はそのままとすると、各線分の長さは図の 1 番下に 表示されているものとなり、(a0, b0) = (7, 5) となる。 繰り返しの回数を多くすれば、上のような図からすぐにわかるわけではありませんが、逆の変換を追うことができ、 このようなことをすれば、a0/b0 の近似分数が 求められることはほぼ明らかです。

注意
  1. ファン・デル・ヴェルデンに連分数展開の逆変換のことが指摘されているので、 古代ギリシャでは以上のようにすれば近似分数が求められるだとファン・デル・ヴェルデンが考えたのではないかと思います。 現代の連分数展開では無理数が連分数で近似できることは直感的には必ずしも明らかではなく、証明が必要だと思います。 しかし上のような図で考えれば、無理数が連分数で近似できることの直感的な認識が得られるような気がします。
  2. 現代の連分数展開では、順方向の漸化式を使用します。ところが、これでは負の項が登場する一次変換と なり、負の数が存在しない古代ギリシャでは処理が難しくなるはずです。 しかし、逆方向の変換には正の項しか登場しないので、古代ギリシャ人にも同等な処理が可能 ではないかとも思われます。 古代ギリシャでは a - b は大きい a から小さい b を取り除く意味となり、変換として捉えることが 無理だと思います。それに反して a + b にはどのような (正の数) a, b を入れることができ 変換と認識できるのではないかと思います。

ファン・デル・ヴェルデンの主張する所は、 古代ギリシャ人は個別にもう少し巧妙に取り扱い (漸化式 !)、 次のような不等号を導いたのではないかというものです。

＜ ＜

この不等号はアルキメデスによるものですが、 ピタゴラス学派も同様な方法を選んで、 に適用したと思われる十分な根拠があるのです。

追加
あとで自分が書いた文章を読み直してみると、 の連分数展開が循環することがもう少し簡単に確認できるようがよい と思われ、少し不満が残ります。『 が無理数であることの幾何学的証明、その 1』のように、 連分数展開を全部平面幾何で処理すれば循環することがわかりますが、これではあとで登場する漸化式などを素通りしてしまいます。 ともかくも式のような処理をする点で問題となるのが、 分母の有理化です：
1 = + 1
- 1
これは、当然

(a + b)(a - b) = a2 - b2

(*)
からできますが、図から直接示せる方が説得力があります。次のようにすればよいです。

⊿OAB は直角二等辺三角形で OB, BA の長さを 1 とします。 A を中心にして、半径 AB で円を描き AO との交点を C とします。 また E は線分 OA の延長線上に AE = AB となるように選びます。 このとき、AC = AB = AE ですから、C, B, E は A を中心とした 円周状にあり、∠CBE は直角です。よって

∠CBO = ∠ABE = ∠AEB 　　(∵ ⊿ABE は二等辺三角形)

ここから ⊿OCB と ⊿OEB は相似となる。よって
    OB = OE    
OC OB
1 = + 1
- 1 1
が得られます。ピタゴラス (BC 580-572 生、BC 500-490 死) とアルキメデス (BC 287 頃 - BC 212 頃) の 生きていた時代がかなり違いますから、ピタゴラス学派の場合には分母の有理化 ( の連分数展開) を図から行い、アルキメデスの場合には ピタゴラス学派の方法を踏襲しながら、 式 (*) から分母の有理化 ( の連分数展開) をしたとしても不思議ではないと思います。
ファン・デル・ヴェルデンの本からの翻訳

現代的なペル方程式の解法はそのままでは、古代ギリシャでは実行できません。 もっとも困る点は、一次変換の行列の成分に負の数が出てくる点です。 古代ギリシャでは負の数がないため、このままの形ではペル方程式を処理できないのです。 しかし一方でペル方程式の解から や の近似を与えていたことが想定されます。

ファン・デル・ヴェルデンは古代ギリシャ人がどのように処理していたのかに 関して納得できる推測を与えています。以下、ファン・デル・ヴェルデンの本の 部分的な翻訳を紹介します。主に「ペル方程式」からの翻訳ですが、 第 3 章にも関連したことが記述されているので、該当箇所を抜粋します。

第 3 章からの抜粋

ファン・デル・ヴェルデンの第 3 章は「ギリシャの代数」を扱っており、その中で ユークリッド原論の第 2 巻の定理 10 を解説しています。

ユークリッド原論、II 10
線分 AB が Γ において 2 等分され、線分 BΔ が AB と一直線をなして加えられたとせよ。 AΔ, ΔB 上の正方形の和は AΓ, ΓΔ 上の正方形の和の 2 倍であると主張する。

定理で述べていることを現代的に言いなおせば、 AΓ の長さを s, BΔ の長さを d とすれば

(2s + d)2 + d2 = 2 { s2 + (s + d)2 }

の等式が成立することです。もしも 2s + d = x, d = y と置けば

x2 + y2 = 2{ ((x-y)/2)2 + ((x+y)/2)2 }

と書き直すこともできます。こうすれば馴染みな等式となりますが、ユークリッド原論では例によって 平面幾何を使用して定理を証明しています。

定理を次の形にしておきます。

(2s + d)2 + d2 = 2 s2 + 2 (s + d)2

ファン・デル・ヴェルデンには次のように書かれています。

第 3 章、p 86 から (翻訳)
プロクロス (Proklos) は プラトンの「国家」 (Plato's "Republic") (Kroll 版、第 2 巻、§23) の注釈で、 ピタゴラス学派の「辺数と対角線数」の理論を説明した後で、次のように述べている。 ピタゴラス学派は (ユークリッド原論の) 定理 II, 10 を使用して、次のようなエレガントな定理を 示している。すなわち『s と d がある正方形の辺と対角線 (の長さ) に等しければ、 s+d と 2s+d は別の正方形の辺と対角線 (の長さ) に等しい』

つまり、d2 = 2 s2 であれば、(2s+d)2 = 2(s+d)2 となることです。これは確かに定理 II, 10 から得られることです。

「ペル方程式」からの翻訳

方程式 x2 = 2 y2 ±1

「国家」(Republic) の 546C でプラトンは数 7 を「有理対角線」(rational diagonal) と 呼んでおり、注釈から、この数は「有理辺」(rational side) 5 に対応していることが わかる。実際 7：5 の比率は正方形の対角線 (の長さ) と辺 (の長さ) の比にきわめてよい 近似である。

この段落における注釈でプロクロス (Proklos) は「辺数」と「対角線数」を次のように定義している。

すべての数の根源として、単位は対角線 (の長さ) でもよいし、辺 (の長さ) でもよい。 さて 2 つの単位を選んだとしよう： 1 つは辺 (の長さ) の単位であり、 もう一つは対角線 (の長さ) の単位である。 辺 (の長さ) の単位に対角線 (の長さ) の単位を加えれば、あらたな辺が形成され、 対角線 (の長さ) の単位に辺 (の長さ) の単位を 2 個付け加えると、あらたな対角線が形成される。
(Kroll 版「国家」、第 2 巻、p 24-25 におけるプロクロスの注釈)

2 つの単位から出発して、プロクロスに示されている規則を適用すれば、 第一ステップで「辺数」

s = 1 + 2 = 2

が得られ、対応する「対角線数」

d = 2×1 + 1 = 3

が得られる。公式

s' = s + d (2)
d' = 2s + d

に当てはめて、この方式を続けると、s' = 5, d' = 7 を得る。 これがプラトンで言及されていることである。

訳注
ここで大きい直角二等辺三角形と小さい直角二等辺三角形が 登場しますが、これは『 が無理数であることの幾何学的証明、その 1』 の図に登場する 2 つの直角二等辺三角形のことです。

sn, dn を n 番目の辺数、対角線数とすれば

s1 = d1 = 1

であって、

sn+1 = sn + dn (3)
dn+1 = 2sn + dn

同じ漸化式 (inductive rule) が「スミュルナのテオン」の 『プラトンを読むのに必要な数学』(Expositio rerum mathematicorum) の p 43 にも 言及されている。プロクロスは辺数と対角線数の構成はピタゴラス学派によるものとしている。

dn：sn の比は (n が増加すると共に) 正方形の対角線 (の長さ) と 辺 (の長さ) の比 d：s にますます近づいて行く。これは等式

(dn)2 = 2 (sn)2 ± 1 (4)

から得られることであり、これもプロクロスにより言及されている。(訳注：あとで証明されます。) 両辺を (sn)2 で割ると

(dn/sn)2 = 2 ± (1/sn)2

となり、dn/sn の平方が 2 にほぼ等しくなる。

プロクロスのテキストによれば、 ピタゴラス学派はユークリッドの定理 II 10 により (4) を証明している。 第 3 章で見たように、この定理は次の等式に書き直すことができる。

(2s + d)2 + d2 = 2 s2 + 2 (s + d)2 (5)

プロクロスによればピタゴラス学派は II 10 を使用してエレガントな定理を証明した： 『s, d が正方形の辺 (の長さ), 対角線 (の長さ) であれば s + d, 2 s + d は別の正方形の 辺 (の長さ), 対角線 (の長さ) となる』。 第 3 章では我々は、この定理は等式 (5) から、実際にきわめて容易に得ることができることを示した。

一次変換 (2) はユークリッド互除法と密接に結びついている。 実際 (2) を s, d に関して解けば

s = d' - s'
d = s' - s

よって、d', s' が正方形の対角線 (の長さ), 辺 (の長さ) で 交互に差を取るユークリッドの方法 (訳注：ユークリッド互除法のこと) を 適用すれば次のようになる。

(d', s') --> (s, s') --> (s, d)

これの意味する所は： 変換 (2) は、辺 (の長さ) と対角線 (の長さ) に適用されるが、 これは単に、より大きな正方形の対角線 (の長さ) d' と辺 (の長さ) s' に適用されるユークリッド互除法の逆である。

訳注
先にも述べたように、連分数展開に対応する一次変換では負の数が登場するため、 古代ギリシャ人には「変換」として捉えることは無理があります。 しかし、その逆変換には負の項が登場しないため、古代ギリシャ人にも意味があるものになります。 「プロクロスの注釈」が古代ギリシャ人による (特別な場合の) 一次変換の捉え方だと、 ファンデルヴェルデンが言っているのではないかと思います。

無論、等式 (5) は辺の長さに有効のみならず、数にも有効である。 もしも s, d を辺数 sn, 対角線数 dn で置き換えれば次が得られる。

(2 sn + dn)2 + (dn)2 = 2 (sn)2 + 2 (sn + dn)2

あるいは

(dn+1)2 + (dn)2 = 2 (sn)2 + 2 (sn+1)2 (6)

この等式もプロクロスにより言及されているものであり、 その点から結論しても間違いなさそうなことは、 ピタゴラス学派には (6) が既知で、II 10 により証明していたのであろう。

ここで (4) の証明をしよう。 明らかに (4) は s1 = d1 = 1 で成立する。 しかしながら、もしも (4) がある n で成立すれば、等式 (4) は 等式 (6) により n + 1 でも成立する。但し ± の符号は逆となる。 これにより (4) は任意の n で成立するが、符号 ± は交互に変化する。

この証明はプロクロスのテキストから容易に再構成されるものであるが、 「数学的帰納法」(complete induction) あるいは「n から n + 1 への変遷」による最も最初の 証明の実例である。 ピタゴラス学派は漸化式 (3) を適用して (4) を示したが、 すばらしい数学者達であったに相違ない。

ユークリッド互除法の周期性

ユークリッド互除法をある正方形の対角線と辺に適用すると、2 ステップ後に、 別の正方形の辺と対角線を生成することを見た。 もしも、この処理を繰り返せば永久に続く。

ユークリッド原論の第 10 巻の一番最初にユークリッド互除法に関しての 非常に注目すべき定理 X1, X2 がある。2 番目の定理で言っていることは

二つの不等な量 ＡＢ、ΓΔ があり、そのうち ＡＢ が小さく、つぎつぎに 小さい方が大きい方から引かれ、残された量がけっして自分の前の量を割り切ることがないとせよ。 量 ＡＢ、ΓΔ は通約できないと主張する。
訳注
現代的な言い方をすれば、これは次のようになります。

実数 a, b (＞0) に対して、ユークリッド互除法を適用して、 有限で終了しなければ a/b は通約できない (つまり有理数ではない)。

通約不可能性のこの判定条件は、(ユークリッド原論の) このあとでは決して使用されていない。 巻 10 の中で、通約不可能性のいくつかの証明が与えられているが、どの証明も判定条件 X2 に もとづくものではない。 この判定条件は、それ以前の通約不能比の理論の残留物と思われる。

この「それ以前の理論」に関して、何か言えることがあるであろうか ?

プラトンの対話であるテアイテトス (Theaitetos) で 主役であるテアイテトスはキュレネのテオドロスによる 講義の説明をしている。 ここでテオドロスは面積が 3, 5, 6,... (平方) フィートの 正方形の辺 (の長さ) が長さの単位と通約できないことを示した。 彼はこれらの正方形を個々に取り上げ、17 フィートの正方形で、 あるいはその直前で停止した。 彼の証明方法を適切に推測できるであろうか ? 2, 3, .. の面積を持つ正方形の一辺の長さを w2, w3, ... と表すことにする。特に w2 は単位正方形の対角線の長さである。 長さの単位 (プラトンのテキストでは 1 フィート) は e で表す。

テオドロスは解説を w3 で開始している。 恐らくは w2 と e が通約できないことがピタゴラス学派によって証明されていたためであろう。 プラトンのテキストから、テアイテトスは一般的な定理 --- wn が e と通約できるためには n が 平方数である --- を得ていたとしてよい。 テオドロスはテアイテトスの一般的な方法を知らなかったと思われ、 その代わりに w2, w3, ... の個々の場合に特別な方法を駆使したと思われる。 Zeuthen による非常に説得力のある仮説はテオドロスが X2 を使用したことである。 これまで見たことからユークリッド互除法が w2 と e に適用されれば、 あるいは正方形の対角線 d' と辺 s' に適用されれば、2 ステップで、 より小さな正方形の対角線 d と辺 s に到達することが意味することは、 互減法 (訳注：互除法のこと) は決して終わることがないのである。 それ故、テオドロスは同じアルゴリズムを w3 と e に適用し、 比 w3：e が数ステップで繰り返すか否かを見ようとしたことが想定される。 実際には 3 ステップで繰り返す。 これには次のようにして示すことができ、これには初期のギリシャの幾何学者の能力で 十分に可能なことである。

w3 = w と置けば

w2 = 3 e2

w から e を引く： 残り (あるいは余り) は w - e.   元々の線分である w と e の代わりに、今や線分は e と w - e となった。 操作を続けるために、 e と w - e を同じ比を持つ 2 つの線分で置き換える。 さて次が成立する。

e：(w - e) = (w + e)：2 e

これは内項の積と外項の積が等しいことによる。

(w - e)(w + e) = w2 - e2 = 3 e2 - e2 = 2 e2

次に同じ方法を線分 w + e と 2 e に適用する。 w + e から 2 e を引けば、w - e を得る。 線分 2 e と w - e は再び同じ比を持つ線分に置き換えることができる。

2e：(w - e) = (w + e)： e

再び、内項の積と外項の積が一致する。w + e と e が得られたのであれば、 前者から後者を引けば、w が得られ、当初開始した線分比 w：e に到達する。 比 w：e は繰り返され、操作は周期的であり、決して終わることがない。 よって w3 と e は通約できない。

訳注 (より詳しい人へ)
は簡約二次無理数でないので、連分数展開をすれば、 最初から循環しません (純循環ではない)。しかし、1 ステップごとに大きい数から小さい数を引く 「互減法」であれば、最初から循環するのです。

テオドロスがユークリッド互除法を使用したかどうかは定かではない。 他の可能性が W. R. Knorr による本「ユークリッド原論の発展」 (The Evolution of the Euclidean Element, Dordrecht, 1975) で指摘されている。しかしながら私は Zeuthen の仮説が説得力があると感じる。 第 1 には、ピタゴラス学派がすでに「w2 と e にユークリッド互除法を適用すれば周期的である」 ことを示しており、テオドロスは単に同じ方法を w3, w5,.. に適用すれば 良かっただけだからである。 第 2 に、テオドロスがこのように処理したのであれば、 ユークリッドが原論に歴史的に重要な定理 X2 を含めた理由が理解できるからである。

互減法 (Reciprocal Subtraction)

ユークリッド互除法を意味するギリシャ語は Antanairesis であり、これは互いに引くことを意味する。 数の組 (x, y) もしくは線分の組 (u, v) から出発して、大きい方から小さい方を引き続ける。 項が等しくなって手順が終了するか、もしくは永久に続く。

第 2 章で中国の「九章算術」の実例により、その手順を示した。 中国の教科書によれば、数 x, y が算盤の上に置かれる。 x が y よりも大きければ、最初の手順は x から y を引くことである。これを操作 S とする：

S： (x, y) ---> (x - y, y)

y が x よりも大きければ、最初の手順は y から x を引くことである：

T： (x, y) ---> (x, y - x)

これらの 2 つの手順を正方形の対角線 d' と辺 s' に次から次に適用すると、 すでに見たように 2 ステップ後に、別の正方形の辺 s と対角線 d を得る。

逆の変換は加えることである。

A： (x, y) ---> (x + y, y)
B： (x, y) ---> (x, x + y)

これらの 2 つの手順を正方形の辺 s と対角線 d に対して適用すると 2 ステップ後に次のようになる。

(s, d) ---> (s, s + d) ---> (2 s + d, s + d)

これはピタゴラス学派が辺と対角線の数を得た操作である。

さて同じ方法が長さが w3 と e に比例する線分の組 u', v' に 適用できるかどうか見てみよう。もしも、手順 STS を適用すれば、 すでに見たように (u', v') に比例する線分の組 (u, v) を得る。 逆の手順は ABA である：

(u, v) ---> (u + v, v) ---> (u + v, u + 2 v) ---> (2 u + 3 v, u + 2 v)

従って、次の結果を得る：

u, v が線分で関係式
u2 = 3 v3(9)
を満たせば
u' = 2 u + 3 v(10)
v' = u + 2 v   
も、再び等式 (9) を満たす線分となる。

この定理は、次の簡単な計算から確かめることができる。

(2 u + 3 v)2 - 3 (u + 2 v)2 = u2 - 3 v2 (11)

左辺の 2 つの平方はユークリッド原論 II 4 で評価できる。

訳注： ユークリッド原論 II 4 とは

線分 AB が Γ において任意に分けられたとせよ。AB 上の正方形は AΓ, ΓB 上の正方形と AΓ, ΓB にかこまれた矩形の 2 倍との和に等しいと主張する。

現代の言葉では AΓ, ΓB を a, b と置くと

(a + b)2 = a2 + 2 a b + b2

無論、負の項を避けて、(11) をユークリッド風に次のように書くこともできる。

(2 u + 3 v)2 + 3 v2 = 3 (u + 2 v)2 + u2

さて一次変換 (10) と等式 (11) を D = 3 のペル方程式の解法に適用しよう。

等式 x2 = 3 y2 + 1 と x2 = 3 y2 - 2

D = 2 の場合にはピタゴラス学派は 1：1 から出発して、 漸化式 (3) を適用して、比例 w2：e を近似する数列を手に入れている。 D = 3 の場合には ( の) 近似である 2：1 から出発して、一次変換 (10) を繰り返し 適用すれば、次が得られる。

xn+1 = 2 xn + 3 yn (12)
yn+1 =   xn + 2 yn

出発点となった組 (2, 1) は次の等式を満たす。

x2 = 3 y2 + 1

さて、ある n に関して次の等式が成立するとする。

(xn)2 = 3 (yn)2 + 1(13)

等式 (11) を適用すれば次が得られる。

(2xn + 3 yn)2 - 3 (xn + 2 yn)2 = 1

これは次のように書ける。

(xn+1)2 = 3 (yn+1)2 + 1

従って、数学的帰納法から、等式 (12) がすべての n に対して成立する。

(xn)2 は 3(yn)2 よりも大きいため、 xn：yn の比率は w3：e の比率よりも大である。 小さい方からの近似を手に入れるためには組 (1, 1) から始めて、 同じ漸化式 (12) を適用すればよい。これにより、次の条件を満たす数の組 (sn, tn) が手に入る。

(sn)2 = 3 (tn)2 - 2

組 (xn, yn) と (sn, tn) を計算すれば

n = 1 2 3 4 5 6
xn = 2
yn = 1		 7
4 		26
15 		97
56 		362
209 		1351
 780
sn = 1
tn = 1 		5
3 		19
11 		71
41 		265
153 		 

組 (1351, 780) と (265, 153) はアルキメデスによって知られていたものであり、 これはすぐにも見ることになる。 D = 2 のペル方程式の解は等式 (5) に基づくものである。 全く同様に D = 3 の解は等式 (11) に基づくものである。 (5) と (11) の等式はどちらも、次のより一般的な等式の特別な場合である。

(a x + D c y)2 - D(c x + a y)2 = (a2 - D c2)(x2 - D y2)(14)

この等式は容易に検証できるが、ブラーマグプタ (Brahmagupta) により、 更にはオイラーとラグランジュによるペル方程式の解法に使用された。 ブラーマグプタの方法に関してはこの章の後で議論する。

訳注
現代的な方法を多少知っていると、逆にかなり混乱しそうです。現代的な形で整理した方がよいようです。
  1. 現代的な方法では、次の式と、その共役をかけるとことで (14) が得られます。

    (a + c )(x + y ) = (a x + D c y) + (c x + a y)

  2. 一般には x2 - D y2 = 1 の整数解を求めるには、もう少し詳しく議論する必要が ありますが、D = 3 の場合であれば

    x2 - 3 y2 = 1

    の自然数解 (x,y) で x + y を最小にするものは (x, y) = (2, 1) である ことがただちにわかり、

    { (x, y) | x, y 自然数, x2 - 3 y2 = 1 }
    = { (x, y) | x, y 自然数, x + y = (2 + )n, n = 1, 2, 3, ・・・ }

    となって解がすべて求まる。(2 + )(x + y ) = (2x + 3y) + (x + 2y) であるから (x, y) が整数解であれば、(2 x + 3y, x + 2y) も整数解である。
  3. 一般的に x2 - D y2 = m の整数解を求めることも可能であるが、 D = 3, m = -2 の場合には簡単に次が検証できる。

    { (x, y) | x, y 自然数, x2 - 3 y2 = -2 }
    = { (x, y) | x, y 自然数, x + y = (-1 + )(2 + )n, n = 1, 2, 3, ・・・ }

    一応これも証明しておくことにする。(x, y) を x2 - 3 y2 = -2 の自然数解とする。 このとき

    x + y =(x + y )(-1 - )                                             
    -1 + 1 - 3
    = (x + y )(1 + )/2
    = (x + 3y)/2 + (x + y))/2
    = X + Y 　　　但し X = (x + 3y)/2, Y = (x + y)/2

    x, y は x2 - 3 y2 = -2 の整数解であるから、x, y は共に奇数、もしくは共に偶数である。 よって X = (x + 3y)/2, Y = (x + y)/2 は自然数である。ところが

    N( x + y )= (x + y )(x - y )= x2 - 3 y2=1
    - 1 + (- + )(-1 - ) - 2

    であるから

    N(X + Y ) = X2 - 3 Y2 = 1

    でなければならない (但し N(θ) = θ )。 よって (X, Y) は X2 - 3 Y2 = 1 の自然数解であり

    X + Y = (2 + )n, 　　　 n = 1, 2, 3,・・・

    以上より、自然数 x, y が x2 - 3 y2 = -2 を満たせば

    x + y = (-1 + )(2 + )n, 　　　n = 1, 2, 3, ・・・

    となることがわかった。逆に、この式で x, y を定めれば、x, y は共に自然数となり、x2 - 3 y2 = - 2 を満たすことが示される。

アルキメデスによる w3 の上限、下限

非常に興味ある論文「円の測定について」(On measurement of the Circle) で、アルキメデスは円周の長さが直径の 3 + 1/7 倍より小さく、 3 + 10/71 倍より大きいことを証明している。 彼が開始する等辺でない直角三角形の 1 つの角度は直角の 1/3 である。 もしも反対側の辺を単位 e とすれば、対角線は 2e で、第 3 の辺は w = w3 である。 なぜならば、その平方が (2 e)2 - e2 = 3 e2 であるからである。 ここでアルキメデスは比率 w：e は次の間にあると断言している。

265：153 と 1351：780


アルキメデスが開始した三角形

現代の言葉では次のように書くことができる。

＜ ＜

これらの不等式が正しいことを確認することは簡単である。 なぜならば 265 と 153 は次の等式を満たし

x2 = 3 y2 - 2(15)

もう一組の数は次を満たすからである。

x2 = 3 y2 + 1(16)

アルキメデスはどのようにして比例 w：e の限界を得たのであろうか ? 数学史の専門家はこの問題に関しての幾つかの予想を持っている。 私の意見では、最も興味ある論文は以下のものである：

  1. P. Tannery： Sur la mesure du cercle d'Archmède, Mémoires scientifique I, p. 246-253
  2. C. Müller：Wie fand Archimedes die von ihm gegebenen Näherungswerte von ? Qullen und Studien zur Geschichte der Mathematik B 2, p. 281-285.
  3. O. Toeplitz：Bemerkungen zu der vorstehenden Arbeit von Conrad Müller, same journal, p. 286-290.
  4. K. Vorgel：Jahresbericht der Deutschen Mathematiker-Vereinigung 41, p. 5-8.

校正段階における追加。以下も参照のこと W. R. Knorr：Archimedes and the Measurement of the Circle, Archive for History of Exact Science 15, p 115-140 (1970)

アルキメデスの限界を説明する可能性の一つが前節で説明した手順を踏むことである： (15), (16) の特殊解 (1, 1) と (2, 1) で開始し、漸化式 (12) を適用することである。 この説明は Tannery の論文 1 で与えられたものである。

論文 2 で Müller は平方根 の下限と上限を得るための一般則を示し、 これにより、アルキメデスの の限界を 3 ステップで求めた。 Müller の方法の原理は：

α と β が共に の上界もしくは下界であれば、

γ = (αβ + D)/(α + β)

は上界である。α が下界で β が上界であれば、γ は上界である。

論文 3 で、Toepliz はこの規則はブラーマグプタの等式 (14) の直接の結果であることを示した。 従って、Tannery の説明を受け入れるにせよ、Müller の説明を受け入れるにせよ、 常にブラーマグプタの等式 (14) に戻ることとなる。

漸化式 (12) により、各々 (16), (15) を満たす組 (xm, ym), (sm, tn) に至ることを見た。 最初の数列を An、あとの数列を Bn としよう。 Toeplitz が示したことは以下のことである。 もしもブラーマグプタの等式が 2 つの組 Am と An に適用されると、 組 Am+n が得られ、もしも Am と Bn に適用されると、組 Bm+n が得られる。 これの意味することは

xm xn + Dym yn = xm+n
xm yn +   ym xn = ym+n

xm sn + Dym tn = sm+n
xm tn +   sm yn = tm+n

これらの公式により、アルキメデスの組

A6 = (1351, 780) と B5 = (265, 153)

を次のようにしてすばやく計算できるようになる： A1 と A1 から A2 が計算でき、 A2 と A2 から A4 が計算でき、 A4 と A2 から A6 が計算でき、 A4 と B1 から B5 が計算できる。 中間の組は計算しなくてよい。

訳注

前節の訳注で述べたように、ペル方程式の解を求めるには、基本的には a + b の形の元の累乗を求める必要があます。これは直接的には連分数展開をすることと 基本的に同じです。ところが、連分数展開の収束速度はとても遅いのです。 そのため、近世では連分数による近似よりはテーラー展開の方が使用されるのです。

古代では算術計算が現在よりもはるかに難しいはずなので、この収束速度の遅さは 致命的になりそうですが、 この際に整数の累乗計算と同様に 「繰り返し二乗法」を適用したのではないかというのが、上で言及していることです。 古代エジプトでは a×b を a を b 回加えることと理解して計算します。 このまま計算すれば、とても大変となりますが、ここに「繰り返し 2 倍法」とでも 言うべき方法を採用します。古代ギリシャでも同様であったと推測され、 「繰り返し二乗法」のことは熟知していたはずです。 現代的には

(x + y )(x' + y' ) = (xx' + Dyy') + (xy' + x'y)

ですから、例えば (x, y), (x', y') が x2 - y2 D = 1 の自然数解であれば、 (xx' + Dyy', xy' + xy') も自然数解であることは現代の観点からは明らかなのですが、古代においてもこの認識があり、 ひいては演算

((x, y), (x', y')) ──→ (xx' + Dyy', xy' + xy')

によって x2 - y2 D = 1 の自然数解が閉じていることを認識しており、 現代数学の「群」の萌芽を理解していたであろうということなのです。「群」は 19 世紀になったガロアによって 始めて定式化されますが、その言葉がない近世にも、以上の認識があり、古代でも 同様であろうと推察をしているのです。

さて、まとめることにしよう。 もしも「古代ギリシャの幾何学者たちが、 ユークリッド互除法をシステマティックに使用して、 無理比の有理数近似を求め、特別な D に対してペル方程式を解いた」とするのであれば、

  1. ピタゴラス学派が辺数、対角線数に行き当たった理由を理解でき、
  2. キュレネのテオドロスが、正方形の辺が通約できないことを示すのに、 面積が 3, 5, .. の個々の正方形を別々に証明しなければならなかった理由を理解でき、
  3. ユークリッドは、あとで利用しないにもかかわらず、原論に通約不可能性の判定条件 X2 を含めた理由を理解でき、
  4. アルキメデスがどのようにして比例 w3：e の近似を得たかの方法を理解できる。

この仮説が証明されていないことは事実である、しかし、それは幾つかの事実の説明を与え、 そして知られている事実によって間違いであるとされたわけではない。 これが、良い仮設から得られるすべてのものであろう。

(古代) インドにおけるペル方程式の解法を明瞭にするためにも同じ仮設を適用できることを 見ることになる。

連分数

ペル方程式を解くためのオイラーとラグランジュの方法は を連分数展開することに 基づいている。 で開始して、できる限り 1 を引き、余り r が 1 より小さくなるようにする。 次に 1/r を計算して、再びできる限り 1 を引く、などなど。 D = 3 の場合には、次を得る。

- 1
1/( - 1) =( + 1)/2
( + 1)/2 - 1=( - 1)/2
2/( - 1) = + 1
, など

この方法は、これまでに議論してきた w = w3 と e に適用した互減法 (antanairesis) と基本的に同じである。 互減法における 1 回の引き算は連分数展開における 1 回の引き算と対応している。

展開のある段階で、余り r が 0 で置き換えられれば、近似が得られる。 したがって の連分数展開において、最初の近似 1 は小さすぎ、 第二近似 1 + 1/2 = 3/2 は大きすぎる、などなど。 連続する近似は、対角線数と辺数の商に他ならない。

同じ方法が、より複雑な分数を近似する簡単な分数を手に入れるために使用することができる。 ギリシャ人がこのようにしたであろうと思われる使用例がずいぶん多いのである。 一つの実例として、アルキメデスによる円周の計算を考えよう。

アルキメデスは円周 (の長さ) は外接する多角形 (の辺の長さ) より小さく、 内接する多角形 (の辺の長さ) よりも大きい、と最初に述べている。 アルキメデスは外接する正 96 角形の周囲の長さを計算し、この周囲の長さと円の直径の比が 次の数よりも小さいことを見つけている。

14688：(4673 + 1/2)

次にアルキメデスは次のように述べている： 前の数は最初の数の 3 + 1/7 以下である、そのため、 外接する 96 角形の周囲の長さ、特に円周の長さは、直径の 3 + 1/7 倍よりも以下である。

結果の 22/7 は 14688/(4673 + 1/2) の連分数展開近似である。 ユークリッド互除法により以下のようにして容易に見出すことができる。

14688
4673 + 1/2
 3 回引く
667 + 1/2
4673 + 1/2
 7 回引く
667 + 1/2
1

667 + 1/2 と 1 を 1 と 0 で置き換えて、逆に計算すると

1
0
7 回加える
1
7
3 回加える
22
7

下の限界値 3 + 10/71 も同様にして得られる。計算の最後の部分を再現すると

10
7
7 回加える
10
71
3 回加える
223
71

更にもっと有益なものは、エラトステネスによる計算である。 彼は、アルキメデスと同じ時代の人で、より年長であった。 プトレマイオスによると (アルマゲスト I, 12), エラトステネスは太陽の赤緯の限界間の弧が完全円の 11/83 であると評価した。 これは黄道円の傾きが 23°51' 20'' であることを意味する。 分数が観測の直接の結果であると信じることはできない。 どんな天文学者であれ、太陽の南中時の高さを測定するために円を 83 等分することなどあるはずがない。 しかしながら、11/83 が連分数近似の結果であることは大いにあり得ることである。

例えば、エラトステネスが 1/4 の円を 100 等分し、正午における太陽の高度が最も高い時と、 最も低い時の違いが、 53 個分の違いであったとしてみよう。 1/4 の円を 90度に分けて、弧が 47 + 7/10 度であったとしたと想定してもよい：結果は同じである。 さて、完全円の 400 と 53 を比較する際に、エラトステネスは互減法を実行したかもしれない。

53
400
7 回引く
53
29
24
29
24
5
4 回 引く
4
5
4
1

4 と 1 を 1 と 0 で置き換えて、逆方向に計算すれば

1
0
1
1
4 回加える
5
1
5
6
11
6
7 回加える
11
83

分数 11/83 が連分数近似の結果として説明できることは、(カリフォルニア州、サンディエゴ市の) デニス・ローリンズ (Dennis Rawlins) の 指摘によるものである。

訳注
  1. 実数を分数で近似するときに最も効率のよいもの、あるいは最も分母が小さいものは 連分数展開から得られるものです。古代ギリシャ人はこの事実をよく知っていたのでしょう。 つまり、実数を分数で近似する精度を上げることは無論ですが、より簡単な分数 (より分母の小さい分数) で近似することを考えていたようです。円周率もこのカテゴリーに入っていたことになります。
  2. アルキメデスが得た円周率の評価 (3 + 10/71 より大きく、3 + 1/7 よりも小さい) は小学校の算数や中学校の数学の教科書にも載っていますが、精度のみを問題とした書き方がされています。 実際は、より簡単な分数で評価することを問題としていたのです。
テオドロスの証明に関して

ファン・デル・ヴェルデンの本の中では 「, , ... が無理数であること」のテオドロスがしたであろう証明を与えていません。 少々してみることにしましょう。 計算する数は m が平方数 (＞1) で割り切れない場合に (, 1) に互減法を適用すればよいのですが、 面倒なので連分数展開します。 はファン・デル・ヴェルデンの本にあるので からスタートします。

= 2 + ( - 2)
1/( - 2) = + 2

ここから 1 を 2 度引けば になるので 1 ステップ後に互減法が循環することがわかります。

= 2 + ( - 2)
1/( - 2) = ( + 2)/(7 - 4) = ( + 2)/3
= 1 + ( - 1)/3
3/( - 1) = 3( + 1)/(7 - 1) = ( + 1)/2
= 1 + ( - 1)/2
2/( - 1) = 2( + 1)/(7 - 1) = ( + 1)/3
= 1 + ( - 2)/3
3/( - 2) = 3( + 2)/(7 - 4) = + 2

4 ステップ後に の互減法が循環することがわかります。

=3 + ( - 3)
1/( - 3) =( + 3)/(10 - 3) = + 3

1 ステップ後に の互減法が循環することがわかります。

=3 + ( - 3)
1/( - 3) =( + 3)/(11 - 9) = ( + 3)/2
=3 + ( - 3)/2
2/( - 3) =2( + 3)/(11 - 9) = + 3

2 ステップ後に の互減法が循環することがわかります。

=3 + ( - 3)
1/( - 3) =( + 3)/(13 - 9) = ( + 3)/4
= 1 + ( - 1)/4
4/( - 1) = 4( + 1)/(13 - 1) = ( + 1)/3
= 1 + ( - 2)/3
3/( - 2) = 3( + 2)/(13 - 4) = ( + 2)/3
= 1 + ( - 1)/3
3/( - 1) = 3( + 1)/(13 - 1) = ( + 1)/4
= 1 + ( - 3)/4
4/( - 3) = 4( + 3)/(13 - 9) = + 3

5 ステップ後に の互減法が循環することがわかります。

=3 + ( - 3)
1/( - 3) =( + 3)/(14 - 9) = ( + 3)/5
=1 + ( - 2)/5
5/( - 2) =5( + 2)/(14 - 4) = ( + 2)/2
=2 + ( - 2)/2
2/( - 2) =1 + ( - 3)/5
5/( - 3) =5( + 3)/(14 - 9) = + 3

4 ステップ後に の互減法が循環することがわかります。

=3 + ( - 3)
1/( - 3) =( + 3)/(15 - 9) = ( + 3)/6
=1 + ( - 3)/6
6/( - 3) =6( + 3)/(15 - 9) = + 3

2 ステップ後に の互減法が循環することがわかります。

=4 + ( - 4)
1/( - 4) =( + 4)/(17 - 16) = + 4

1 ステップ後に の互減法が循環することがわかります。

=4 + ( - 4)
1/( - 4) =( + 4)/(19 - 16) = ( + 4)/3
=2 + ( - 2)/3
3/( - 2) =3( + 2)/(19 - 4) = ( + 2)/5
=1 + ( - 3)/5
5/( - 3) =5/( + 3)/(19 - 9) = ( + 3)/2
=3 + ( - 3)/2
2/( - 3) =2( + 3)/(19 - 9) = ( + 3)/5
=1 + ( - 2)/5
5/( + 3) =5( + 2)/(19 - 4) = ( + 2)/3
=2 + ( - 4)/3
3/( - 4) =3( + 4)/(19 - 16) = + 4

6 ステップ後に の互減法が循環することがわかります。

もしも仮にテオドロスが以上の方法をしたのであれば、 は 6 ステップも必要なので、 5 ステップを計算した後で面倒になり、やめてしまったのかもしれません。 当時の計算は平方根の記号がないので随分大変であったと思います。 そして、テオドロスは講義をしているのですから、計算ばかりになれば、 とてもやりづらくなるはずで、あえて続けなかった理由にもなりそうです。 なお上の計算では分母の有理化を何度もする必要があり、これには当然次を使用した。

(a + b)(a - b) = a2 - b2

参考
m が平方数でない時、(, 1) に互減法を適用すれば必ず循環することがわかるので 少々解説をしたいと思います。 一般に ω = a + b 　(a, b は有理数) 　の形の実数を二次無理数と呼び、 その共役を = a - b と定めます。更に
ω＞1, 　　0＞＞-1
のときに ω を簡約二次無理数と呼びます。二次無理数を連分数展開すると必ず循環しますが、 分数の少数表示と同様に必ずしも最初から循環するわけではありません。最初から循環するための 必要十分条件が簡約二次無理数であることです (高木貞二参照)。今、自然数 d を
- d＞0, 　　 - (d + 1)＜0
となるように選ぶと
0＜ - d＜1
となり 1/( - d) が簡約二次無理数となります。この形の数は上の計算からわかるように、 第 1 ステップで登場し、必ずいつか再び登場します。この時、この - d はある数の少数部として 得られたものですから、元の数は
s + ( - d) 　　(s 　自然数)
のはずです。ところが上の幾つかの計算からすぐわかるように、この数は
( + t)/r 　　(t, r 　自然数)
の形でないといけません。比較から r = 1 となり、一個づつ差を取る互減法では は必ず最初から循環することになります。
ディクソンの本からの翻訳

ファン・デル・ヴェルデンの本の中で引用してあった L.E. Dickson の「整数論の歴史」(History of the Theory of Numbers II) の該当箇所をもう一度読み直してみることにしました。 p 341 から p 342 の内容です。

以下にディクソンの本からの翻訳を付け加えます。読めばわかりますが、 ディクソンの本では の近似とペル方程式の解法の観点から記述しているだけです。 ファン・デル・ヴェルデンの本では、この解法には連分数展開が循環していることを知っている必要があることが指摘され、 更には、そこから が無理数であることが自然に結論できることが指摘されているのです。 ファン・デル・ヴェルデンはディクソンの議論の肉付けをすることによって、 ピタゴラス学派が が無理数であることを発見した方法に気がついたことになります。

ディクソンの本には誤植があって、一部意味が不明となっていますが、全体としては 「辺数」、「対角線数」の説明となっており、漸化式もファン・デル・ヴェルデンと一致しています。

第 12 章からのの翻訳

オイラーに由来する混乱から長い間ペルの名前の付いた非常に重要な方程式 x2 - D y2 = 1 は「フェルマー方程式」と呼ぶべきである。

インドや紀元前 400 年のギリシャに登場した の近似 a/b で a2 - 2 b2 = 1 を満たすものや、 他の平方根は、実の所、ペル方程式の解法で順番に近似することで得られたものである。 例えばインドでもっとも古い Sulva-sutras の著者である Baudhayana は の近似として 17/12 と 577/408 を 与えている。次に注意する。

17
12		 +     -1    
2・17・12		=577
408		 ,      172 - 2・122 = 1 ,      5772 - 2 ・4082 = 1

プロクロス (AD 410 - 485) はピタゴラス学派が次の作図をしたことを指摘している。 対角線が BE である正方形の辺 AB を延長して、BC = AB, CD = BE となるようにする。すると

AC2 + CD2 = 2 AB2 + 2 BD2

しかし、CD2 = BE2 = 2 AB2．　よって

AD2 = 2 BD2 = FD2,　　FD = AD = 2 AB = EB

また BD = AB + EB．辺 AB, BD,... を s1, s2,... 対角線 BE, FD,... を d1, d2,... と書く。すると

sn+1 = sn + dn,　　　dn+1 = 2 sn + dn

さて、s1 = 1 と置き、d1 = を整数の近似 δ1 で置き換え、 漸化式で dn を δn で置き換えて、適用すると

s2 = s1 + δ1 = 2,　　δ2 = 2 s1 + δ1 = 3,  
s3 = s2 + δ2 = 5,　　δ3 = 2 s2 + δ2 = 7,..

すると δn, sn は方程式 δ2 - 2 s2 = (-1)n の解となる。

スミュルナのテオン (Theon of Smyrna) (およそ AD 130) は s, δ を辺数、対角線数と呼び、 上記の漸化式を幾何学的な解釈なしに与えている。

アルキメデス (およそ、紀元前 3 世紀) は の近似として 265/153, 1351/780 を与えており、 これは x2 - 3 y2 = -2, x2 - 3 y2 = 1 との関連で説明することができる。

伝説あるいは通説に関して

通説では が無理数であることを発見したのはメタポントムのヒッパソスとされています。

例によって日本語の Wikipedia にはほとんど記載がない。英語版の Wikipedia の一部を引用する。

ヒッパソスは時々、無理数の存在を発見したとされ、 その結果、神の手により海でおぼれたとされる。 ピタゴラス学派はすべての数が整数の比で表わされると説き、 無理数の発見は彼らにショックを与えたと言われている。 しかしながら、発見をヒッパソスに結びつける証拠は混乱している。

パップス (Pappus) が言っていることは、無理数の知識はピタゴラス学派に起源があり、 最初に秘密を暴いた教徒がおぼれて死んだということのみである。 イアンブリカス (Iamblichus) は一連のつじつまの合わない報告をしている。 一つの話では、ピタゴラス教徒が無理数を暴いたことで単に追放されたことを 説明しているが、 球の中に正十二面体を作図する方法を暴いたことで、海でおぼれたピタゴラス教徒 の伝説を引用している。 別の話では正十二面体の作図法を世に知らしめて、 それを自分がしたかのように言って (その結果) 海でおぼれたのはヒッパソスであるとしている。 しかし、別の話では、同じ罰が無理数を暴露したピタゴラス教徒に下されている。 イアンブリカスがはっきり述べていることは、海でおぼれたのは不敬な行動によっている点である。 これらの話は通常、いっしょくたにされて、無理数の発見がヒッパソスによるものと されている。しかし、彼が発見したかどうか不明である。 原理的には話は結びつけることができる。 というのは正十二面体の作図をするときに無理数の発見をすることが可能であるからである。 正五角形の黄金比において互減法が無限に続くことから、 無理数であることが容易に読み取れるからである。

ボイヤー、「数学の歴史 1」、p 101 には次のように書かれています。

メタポントム (またはクロトン) のヒッパソスは、フィロラオスとほぼ同時代で、 もともとはピタゴラス学派だったが、のちに教団から追放されたといわれる。 一説では、ピタゴラス学派はヒッパソスが死んだものとして墓石を建てたと いわれている。別の話では、かれの背信行為は船の難破による死で罰せられたことに なっている。このような教団との決裂の確かな理由はわからないが、 一つには教団の秘密主義のせいもあったと思われる。しかし、 次の三つの可能性も示されている。その一つは、ヒッパソスは保守的なピタゴラス学派 のやりかたに反抗して民主的な運動の先頭に立ったため、政治的不服従のかどで追放されたのだと する説。 2 番目は、その追放を五角形か十二面体の幾何学 -- そのどちらかの作図であろう -- を暴露したせいであるとする説。 3 番目は、ピタゴラス学派の哲学にとってとんでもない意味を もつ数学上の発見 -- 通約不能量の存在 -- を暴露したため追放されたのだとする説である。
7. 古代ギリシャの数学はどのようにして現代に伝わったのか

古代ギリシャの数学のことには次のページが参考になります。

  1. History Topics Index
  2. Index of Ancient Greek mathematics
  3. How do we know about Greek mathematics?

一番最初が目次で、次が「古代ギリシャの数学」に関しての目次で、 次が「古代ギリシャの数学をどのようにして知ることができるのか」という表題のページです。 ここでは主にこのページから紹介したいと思います。 但し、一部信頼できない部分があります。 それは古代ギリシャ文字がいつできたのかという点です。このページでは BC 450 年ごろまでは ギリシャに文字がなく「口伝えの伝承」(oral tradition) しかなかったとしてあります。しかし 英語版の Wikipedia

  1. Greek alphabet - Wikipedia
  2. ギリシア文字 - Wikipedia

には紀元前 8 世紀頃にかけてギリシャ文字ができたとしています。 日本語の Wikipedia にも類似の記載がありますから、多分信頼できそうです。 しかし、この違いは無視できるかもしれません。その理由は古代ギリシャは 1 つの国ではなく、 都市国家の連合体のため、都市国家ごとに事情が違っていたと考えることもできるためです。 また文字があったにせよ、文字を記述するための媒体が広く使用されていないといけないはずです。

さて「古代ギリシャの数学をどのようにして知ることができるのか」の ページの内容に戻ります。古代のギリシャ文字が記載されたもので現在まで保存 されているものはほとんどないようです。部分的に陶器の破片に残されたものなどが あるだけのようです。 当時はエジプトで使用されたパピルスに文字が記載されたとしており、 ユークリッド原論も、パピルスの巻物に記述されたことが想定されるとしています。 この場合 1 巻は 10 メートル程度の巻物となったようです。

パピルスはもろいため何度も読めばすぐにも損傷を受けてしまいます。 また何もしなくても、パピルスはエジプトのように極めて乾燥した場所以外であれば、 簡単に腐ってしまうようです。 そのため、傷んできたら書き写す必要が出てきます。 後世になり、羊皮紙に書き写されて始めて長期間の保存に耐えることが できるようになったようです。この頃には巻物ではなく現在の書籍の形態をとっています。

ところが羊皮紙に書き写されても、 古代ギリシャの数学には受難が待ち受けていたのです 羊皮紙は高価であったため、文字が記載されている羊皮紙を洗い流して、 別の文字が記載されることもあったようです。 これをパリンプセスト (palimpsest) と呼びます。 パリンプセストでは、最初に書かれた文字は判読することができます。 アルキメデスの本にはパリンプセストとして現在に伝わっているものがあるそうです。

いずれにせよ、羊皮紙が登場するまでは書籍は始終書き写す必要がありました。 そのため、余りに多くの本を保存することが困難で、重要とされた本のみが 後世に伝えられたのです。

だからピタゴラス学派が書いたものは残っていないのです。 が無理数であることのより簡単な証明が、 素因子分解とその一意性で示されるからであり、これはユークリッド原論から 読み取れるからです。 また各種の計算法 (とりわけ連分数展開) に関しての教科書も残っていないのです。 計算方法などを書籍の形で残すことは重要ではなかったからです。 最低限重要なことを膨大な労力をかけて書き写し続けたのです。 もっとも実際の書き写しは身分の低い人がわずかな賃金をもらってしたことのようです。