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　ピタゴラス数
文献
  1. B.L.van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, 1983, Springer Verlag (ISBN 3-540-12159-5)
  2. ユークリッド原論、中村幸四郎など訳・解説、共立出版

直角三角形の三辺の間には 

x2 + y2 = z2

の関係が成立し、 この方程式を満たす自然数の組をピタゴラス数 (pythagorean triple) と呼び、方程式をピタゴラス方程式と呼びます。

注意
三平方の定理に関しての歴史を理解するためには、まず「ピタゴラス数」のことを 理解しないといけません。これがないと、三平方の定理が何故、古代バビロニアにさかのぼることが できるかの理由を理解できないためです。

一般のピタゴラス数を求めるには (x, y, z) に共通の素因子がない場合に求めれば十分です. (それ以外のピタゴラス数は倍数をとればよい. 例えば (3,4,5) から (6,8,10) などが得られる. ) このようなピタゴラス数を原始的と呼びます.

(x,y,z) が原始的であれば, x, y の一方が奇数でもう一方は偶数になります.

x, y のどちらも偶数とすると z も偶数となって、(x,y,z) が原始的であることに反します。 x, y のどちらも奇数とすると (2n + 1)2 = 4n (n+1) + 1 ですから、奇数の平方は 4 で割ると 1 余る数となります。従って、奇数の平方 2 個の和は 4 で割ると 2 余る数になります。これは平方数になりません。(奇数の平方は 4 で割ると 1 余る数、 偶数の平方は 4 で割り切れる数) よって、x, y の一方が奇数でもう一方が偶数です。

2 通りの方法で、整数解を求めることができます。

方法 1 : x を奇数とし, 方程式を 

x2 = (z + y)(z - y)

の形に変形します. このとき z + y と z - y には共通因子がありません.

もしも素数 p が z - y と z + y を割りきれば, その和 2z とその差 2y を 割りきります. p は x の素因子ですから, 2 ではありません. よって p は z と y を共に割りきり, しかも x を割りきることになります. 以上から (x,y,z) が原始的であることに矛盾し, z - y と z + y には共通の素因子が ないことになります.

z + y と z - y には共通の素因子がなく、掛け合わせると平方数となるので、 z + y と z - y は共に平方数となります : 

z + y = a2,   z - y = b2
注意
原始解であるためには a と b が互いに素でないといけません. 素因数分解のことを知っていないと、厳密な議論はできませんが、 z + y, z - y が平方数であれば、ピタゴラス方程式の解であることはわかります。

よって 

z =(a2 + b2)/2,   y =(a2 - b2)/2,   x = ab
但し、a, b は共に奇数で  a > b > 0,  gcd(a, b) = 1

となりました。 (a,b のいずれか一方のみが偶数であれば (a2 + b2)/2 は整数になりません。 又、a,b のどちらも偶数であれば z が偶数となり矛盾します。) 次のようにして議論することもできます。

方法 2 : y が偶数であれば次のように変形できる。(z±x が偶数であることに注意) 

(y/2)2 =  ((z + x)/2)((z - x)/2)

方法 1 と同様にして、次が解であることがわかる。 

z = a2 + b2,   x = a2 - b2,   y = 2ab
但し a, b の偶奇が異なり   a > b > 0,  gcd(a, b) = 1

(z は奇数ですから、a,b の一方のみが奇数です。)

方法 1 も方法 2 も基本的に同じです。 方法 1 は古代中国の『九章算術』にも書いてあるそうです ( 古代中国には文字式はありませんでしたが, 具体的数値 a,b に 関しての計算法が与えられていると考えてよい). また方法 2 はヘレニズム時代のディオファントスの 『算術』で利用されているそうです (文献 1)。 初等数論では方法 2 によって証明されるのが普通です。

さて上の証明では、z2 - y2 の因数分解をしています。 これは古代の人は計算できたのでしょうか ? これは実は簡単に出来ます。 問題としているのは次のように一辺の長さが z の正方形から一辺の長さが y の正方形を引いた残りの 図形の面積です。

今この図形から、下のように赤の部分を切り取り、緑の部分に持って行きます。すると 縦が z - y で横が z + y の長方形ができます。

これで z2 - y2 = (z - y)(z + y) が示されたことになります。 これは古代バビロニアで扱われていた方法です。類似の方法で次の等式も示すことができます。 



 x2 + y2 =2xy + (x - y)2


 4xy + (x - y)2     =(x + y)2


 (x + y)2 + (x - y)2 = 2(x2 + y2)

「ユークリッド原論」の「解説」には 第 2 巻にある式をこのように読み取ることができると書いてあります。