「火薬」や「鉄」のように一箇所で発明されて、世界中に伝播したものは 随分ありますが、古代では数学のような抽象的なものでは、 世界中に伝播することは少し難しいようにも見えます。 現代では誰かが英文で論文を書けば世界中の人が目を通すことが でき、よいものであればすぐにでも広まってしまいますから事情は 随分違います。 そこで数学における文化交流ではっきり歴史に残っている例として、アラビア数字のことを まとめることにしました。これはほぼボイヤーからの抜粋です。 少々不正確かもしれません。

今日のアラビア数字は 400 BC 頃から 400 AD にかけて、 インドで使用されていたもので、まず西アジアに広まり、 その後 10 世紀にヨーロッパに伝わった。

0 を最初に扱ったのはブラーマグプタ (Brahmagupta, 598--668) で 0 を含む算術計算 を実行したが 0/0=0 という妙なことを記述している。

0 には 2 つの意味があり、一つは数値としての 0 もう一つは、例えば 405 の中に 中間の桁に表れる 0 である。古代バビロニアでは後者の場合には空白の桁にしており意味が違う。 後者のための 0 を意味する別の記号が 6 世紀頃のインドで使用されているが、 数値としての 0 を空白の桁に使用するようになったのは 9 世紀頃である。 この時点でようやく今日の数字と同じ扱いとなったのである。

ヨーロッパにインドの数字や計算法が伝わるきっかけを作ったのが 数学者であったアルクワリズミ (Al-Kwarizmi, 780 頃 -- 850 頃) などによる インド数字の計算法を記した本である。ヨーロッパ人はアラビア人の本で知ったため アラビア数字と呼ぶようになった。

ヨーロッパで普通に使用されるようになったのは 15 世紀のことである。 それ以前はローマ数字を使用していた。(ローマ数字も空白の桁を使用した。) 従って、伝播する速さは随分遅かったことになるが、 これはそれ以前に、別の表記があったため、中々変化しなかったためである。 もしも、古代に (きわめて原始的な) 平面幾何学を誰かが発明したとして、 それ以外の場所で、それに変わるものがなければ、もう少し速く伝播したかもしれない。

インドの加法、乗法は今日の計算とほぼ同じである。 次は 34 × 456 = 15504 の計算である。書き方が少し違っているが基本的には同じである。(斜めに加える。)

この方法で注意する点は、九九を知っていないとスムースに計算できないという点です。

引き算、割り算に関しては、場所によってやり方が違っているようである。 ヨーロッパとアメリカで方法が少し違う。日本の方式はアメリカの方式である。 ある場所で発明されて世界中に伝播することもあるし、 そうでないこともあるようです。「三平方の定理」は果たしてどうなのでしょうか ?

参考までにバビロニアでの掛け算、割り算の方法を紹介しよう。 主に表を使うようですが、掛け算に関しては次の式を使用することがあるようです。

そのため、平方の表が必要となります。また割り算は次の式を使用します。

そのため、1/b の値を記した逆数の表が必要となりますが、1/7, 1/11, 1/13 などは 60 進数で無限小数となるので、これらは逆数の表にはありません。 そのため例えば次のような計算をすることになります。(1/90 は逆数の表にある)

随分面倒なことをしていますが、実のところ古代エジプトでの計算よりも随分効率がよいです。 古代エジプトでの掛け算は例えば 13 × 7 をする場合に、13 を 7 回加える、 あるいは 7 を 13 回加える、などのことをしていました。しかし、若干工夫して 次のようにしていたようです。(これは単に考え方だけで具体的な方法ではありません。) また、10 進法では 10 倍するには桁を上げるだけですから、実際には 7 を 13 回加える必要がなく、 3 回加えるだけで十分です。

以上のことからすぐわかることですが、古代では計算はとても大変だったので 実際に計算することができる人は scribe (書記) と呼ばれる特別な人だけでした。