三平方の定理 (ピタゴラスの定理) の歴史

ファン・デル・ヴェルデンは、以上のような理由から、文字がない時代から「口伝えの数学」(oral mathematics) があったに相違がない、と考えています。「口伝えの数学」に関してはボイヤーにも言及があり、例えば古代ギリシャのホーマーは実在したかどうか不明の人であるが、その作品が「口伝え」で後世に伝わり、文字ができた時点で書き下ろされたと書いています。

参考

ホーマー (Homer) はイリヤッド (Iliad)、オデッセイ (Odyssey) を書いた人です。イリヤッドを知らなくてもイリヤッドの「トロイの木馬」は誰もが知っている話でしょう。オデッセイはトロイ戦争の後の話です。イリヤッドもオデッセイもどちらも詩です。これはちょうど平家物語が琵琶法師によって語られたと同じようにして、広められていた。 (歌の形にすると長い叙事詩が記憶できるようです。) 「口伝えの数学」も叙事詩の形をしていた可能性があります。

日本でも「古事記」、「日本書紀」は「口伝え」で後世に伝わり、文字が伝来した後で本になっていますから、とても自然な発想です。

さて、ではもともとの三平方の定理の証明はどうであったのでしょうか ? ユークリッド原論にある証明ではとても「口伝え」で伝わると思えない難しいものです。書かないとわかりません。

古代中国における三平方の定理の証明はユークリッド原論の証明ほど複雑でないので「口伝え」で伝わったとしても不思議ではありません。ファンデル・ヴェルデンの解説を紹介することにしましょう。三平方の定理が載っているのは周髀算経 (しゅうひさんけい, Chou Pei Suan Ching もしくは Zhou Bi Suan Jing) で、次のような図 (弦図) が載っています。

元の図は 3 辺の長さが 3, 4, 5 ですが、3 辺の長さを a, b, c (c が斜辺) にしても同じことです。要は、同じ形の直角三角形を 8 つ図のようにならべて、正方形を作ればよいだけです。三平方の定理の証明は、具体的な数値計算の内容から汲み取る必要があります。ファンデル・ヴェルデンは次のように解釈しています。

注意

古代中国の数学には記号がありません。だから 3 辺の長さを a, b, c のように置くことができません。しかし 3, 4, 5 としているからといって、この場合のみに特化して扱っているわけではなく、常に他の数値で置き換えることができるように書かれています。幾つか類似の問題を見てみれば、このように書かれていることがすぐわかります。従って、古代中国の数学の本を読むには 3, 4, 5 のような具体的な数値を文字で置き直して読み返さないと本当の意味がわからないことになります。
この三平方の定理の証明は中学校の教科書に載っているそうです (2010 年 1 月)。中学校の教科書にある図は 1 辺が a+b の正方形と 2 辺が a, b の直角三角形 4 個が描かれているようです。つまり上の図の外側の部分だけです。
またこの証明は古代インドの数学者かつ天文学者でもあるアリヤバーター (Aryabhata, 476-550) によっても与えられているようです。次の本の p 88 に書かれています。

W.W.Rouse Ball and H.S.M.Coxeter, Mathematical Recreations and Essays, Dover
日本の中学校の教科書の三平方の定理の証明はどうも古代中国の証明に徹しているようです。上の図の中の図 (1 辺 c の正方形の中に 4 個の直角三角形を描いた図) も書かれています。それにも関らず、中学校の教科書には三平方の定理が古代中国で登場していることに全然触れていません。古代中国の証明に完全に依存した形で教科書が作成されている以上、何らかの言及があってしかるべきです。(文献の無断引用) 極めて恣意的に教科書が作成されている。(2010 年 5 月)

一番大きな正方形は一辺が a+b の正方形です。ここから 3 辺が a,b,c の直角三角形を 4 個取り除くと、一辺が c の正方形ができる。よって

が知られていないといけないのですが、古代バビロニアでは図からこれが知られていたから中国でも同様であろうと述べられています。またユークリッド原論にもあるそうです。 (一辺 a + b の正方形から、一辺 a, b の正方形を切り取ると、2 辺が a,b の長方形 2 個が残る)

また、次のように考えれば、最初の図で (a+b)² の展開式がわかるとも述べています。(緑が一辺 b の正方形、赤が一辺 a の正方形で、残りが 2 辺が a, b の長方形 2 個)

また、ファンデル・ヴェルデンは最初の図で、一辺 c の正方形から, 三辺が a,b,c の直角三角形 4 個を除くと、一辺が b - a の正方形が得られ、ここからも証明できるように図が描いてあるとも述べています。この証明のためには

が必要となりますが、これも図から示すことができます。古代バビロニアでもユークリッド原論でも知られていたことです。

ファン・デル・ヴェルデンの本を読んでから、いつの頃かわかりませんが、あるとき、何気なく Mathematical Intelligencer という雑誌に目を通していました。読む気はなかったのですが、英文の記事で簡単に読めたので、そのまま引きずられて読んでしまいました。記事 (あるいは論文) は高校の先生が書いたもので「口伝え」の時代の「三平方の定理」の証明とは例えば次のようなものではないかという内容でした。

「口伝え」の時代の「三平方の定理」の証明と想定されるもの

△ABC で角 A が直角であるとします。A から BC に垂線を下ろし、その足を H とする。

このとき △ ABH, △ AHC, △ ABC はすべて互いに相似な直角三角形です。従って、その面積の比は斜辺の二乗の比

AB² : AC² : BC²

になります。ところが、△ ABH と △ AHC の面積の和は △ ABC の面積となります。よって

AB² + AC² = BC²

となる。

この証明は書くと、まどろこしいですが、話しながら説明するにはうってつけです。英語版の Wikipedia のピタゴラスの定理の項目に以上の証明が載っていますから、多くの人が、「口伝え」の時代の証明らしいと考えているのではないかと思います。

この証明は厳密な「ユークリッド幾何学」の証明ではありません。「ユークリッド幾何学」の証明では「公理」しか使ってはいけないので、上の証明は間違いとなります。比例を使っているためです。

ユークリッドは厳密に「公理」なるものを考え、証明の手段としてこれに基づくものだけを正しいとしています。

念のため付け加えますが、この三平方の定理の証明は厳密な「ユークリッド幾何学」の証明では間違いですが、現代の数学では正しい証明です。

この絵がユークリッド原論に載っているもので、ユークリッド原論には「したがって、BΓ上の図形も BA, AΓ上の相似でかつ相似な位置に描かれた図形の和に等しい」とあります。日本語が理解できにくいですが、長方形ではなく、正方形を直角三角形の辺の上に描けばまさしく三平方の定理に他なりません。ここから考えるとユークリッドは Naber の証明を熟知していたことが確実で、 Naber の主張はほぼ間違いないと思われます。

ユークリッドは「実数」を明白に認識することができなかったためでしょうか、第 1 巻から第 4 巻までの幾何学では、比例を避けており、第 5 巻にようやく「比例」が登場します。厳密な「ユークリッド幾何学」では「三角形の相似」を使用することさえ望ましくないのです。長さが「等しい」ことや「三角形の合同」から示すのがもっとも厳密な方式であったようです。

つまり、ユークリッド幾何学は素朴に考えれば、当たり前に思われる「三平方の定理のもともとの証明」を排除したわけです。「実数」を明白に認識できなかったためです。

このように考えると古代ギリシャ人がどのように実数を考えていたか非常に疑問になることになります。「ユークリッド原論」の「解説」を片端から見ていくことにしましょう。すると第 5 巻の「解説」に「デデキント」という名前が登場するではありませんか。これはとても新鮮な驚きでした。結局、「ユークリッド原論」を完全に理解するには現代数学を理解していないといけないようです。少しここで脱線せざるを得ません。