三平方の定理 (ピタゴラスの定理) の歴史 - 現代数学における実数の定式化

ユークリッド原論の実数の扱いを理解するには、「デデキントの切断」を知っていないといけません。またこれだけでは少し不自由なので「基本列」(コーシー列) による実数の定式化にも触れることにします。

現代的観点から、実数を最初に定式化したのはデデキント(Dedekind, 1831--1916) で

に書かれたのだそうです。ドイツ語はとても読めませんが、参考にしたのは、英訳で Dover からでているペーパーバックの本です。これに両方が掲載されています。あわせて 115 ページになります。日本語訳 (岩波全書 ?) もあるそうですが、詳しく知りません。

デデキント自身の説明はかなり判読が難しいので、高木貞二の「解析概論」の付録を少々修正して説明すると

デデキントの切断

有理数の集合 Q を次のように (A, A') に分割するときに (A, A') を有理数の切断と呼ぶ。(A を下組, A' を上組という)

Q = A ∪ A'　　(A, A' の和集合が有理数全体になる)
a ∈ A, a' ∈ A' ⇒ a＜a'　　 (A の中のどの要素も A' の中のどの要素より小さい)
A には最大値がない

A' に最小値がある場合は切断は有理数を定める。A' に最小値がない場合が問題で、このとき切断 (A, A') は 無理数を定めるという。

注意

例えば、3 の平方根という数は決まるかどうかですが、有理数で 2 乗すると 3 より大きなもの全体を A' とし、。有理数で 2 乗すると 3 よりより小さいもの全体を A とします。但し、負の数は A に含める。こうすると、有理数の切断が定まり、その理由から「3 の平方根」が決まると考えるわけです。有理数からなる数直線を切り落として、上組と下組に分けたものが切断です。
デデキントの切断の巧妙な点は、有理数のみを使用して実数を定義している点です。
デデキントの本は眺めただけで、読んだわけではありません。以前どこかで、最初のほうの本で実数の定義をしたが、四則演算の結合法則などの証明がなかったため、クレームが出て 2 冊目も書くことになった、ということを読んだことがあります。

を考える。これが基本列 (あるいはコーシー列) とは任意の微少量 ε＞0 に対して自然数 N が存在して

注意

基本列を今まで勉強したことがない人には、理解しづらい定義ですが、次のように考えると良いです。

a₁, a₂, a₃,...

という数列があったとき、点の位置を計算機の画面に表示したとします。 (黒い背景に明るい点のほうがよいです。) そして n 秒後に a_n の位置に点を表示する。数列が基本列であるとは時間とともに点の移動距離が小さくなるという意味です。だから無限の時間の経過後、点が確定します。減衰していく振り子を考えてもよいかも知れません。

基本列 (a_n)_{n = 1,2,3,..} が零列とは任意の微少量 ε＞0 に対して自然数 N が存在して

となることを言う。 (零列とは、要するに 0 に近づく基本列のことです。)

と決めます。2 つの基本列の差が零列のときに、2 つの基本列は同じ実数を定めるとみなします。(集合論的には「同値関係で割る」ということをしないといけませんが、単に「同じとみなす」でも間違いではありません。)

カントールの定義は無限小数表示に限定して考えるほうがわかりやすいです：

が 0 に近づくときに同じ数を定めるとみなす。これだけのことである。すると次の 2 つの数は等しくなる。

実数が 2 通りの少数表示を持つのはこのような場合しかありません。ホームページの中には

を証明しているものがあるが、これは間違いです。デデキントの実数論にせよ、カントールの実数論にせよ、両者を同じとみなすように議論を組み立てているのです。念のため付け加えますが

あとで見るように、古代ギリシャでは「有理数の切断」(「デデキントの切断」)で 2 つの実数が等しいかどうかを決めています。従って、古代ギリシャ人は 0.9999... = 1 となることを当然知っていた。

注意

複素数は人間が作った数体系です。2 乗して -1 になる数はないからです。あまり広く知られていないことですが、実数も人間が作った数体系です。自然界ではひょっとすると、長さの最小単位があるかもしれません。私はあまり物理に詳しくありませんが、一時期素粒子が物質の最小構成単位であると言われていたときもあります。今ではもっと小さなものが最小構成単位とされていると思いますが、もしも本当に物質の最小構成要素があるのであれば、いくらでも小さな長さは自然界には存在しないことになります。しかし、人間が構成した「実数」にはいくらでも小さな要素が存在します。これに関して、クロネッカーの有名な言葉があります。
神は整数を造った、それ以外のものはすべて人間が造った。
(God made the integers; all else is the work of man)
日本語版の Wikipedia レオポルト・クロネッカー - Wikipedia には載っていませんが英語版の Wikipedia Leopold Kronecker - Wikipedia には載っています。ここでは、ここまでは問題にしませんが、「実数とは人為的に構築されたものである」と考えられているという点だけに触れておくことにします。つまり、デデキントの方法にせよ、カントールの方法にせよ、「これで実数が決まると考えよう」なのです。
0.99999... とは次の数列の極限です。

{0.9, 　0.99, 　0.999, 　0.9999, ...... }

これは、次のようにも書き直せます。

{1 - 0.1, 　1 - (0.1)², 　1 - (0.1)³, 　.... }

従って、0.9999... = 1 であることと、次は同値です。

lim_{n →∞} (1 - (0.1)ⁿ) = 1

デデキントの実数論にせよ、カントールの実数論にせよ、このような極限があり、それが 1 であると見なすだけなのです。

デデキントによる実数論もカントールによる実数論も同値なものです。以下一応説明を付け加えますが、ここは読み飛ばしてもらっても結構です。

有理数の切断が与えられれば、この切断にどんどん近づくように有理数の列 (基本列) を選ぶことができます。例えば次のようにします。

(A, A') が有理数の切断であれば、A から要素 a₁ を選び、 A' から要素 a'₁ を選びます。このとき (a₁ + a'₁)/2 は A もしくは A' に含まれています。そこで

逆に基本列 a₁, a₂, a₃ ... が与えられたときに、有理数の切断を決めることができます。例えば次のようにします。

有理数 x に対して、十分大きな自然数 N が存在して n＞N であれば常に x＜a_n を満たす x 全体の集合を A とします。また十分大きな自然数 N が存在して n＞N であれば常に a_n＜x を満たす x 全体の集合を A' とします。基本列 a₁, a₂, a₃ ... が有理数の中で収束しないときには (A, A') がデデキントの切断となります。また基本列 a₁, a₂, a₃ ... が有理数 a に収束するときには A' に a を付け加えたものを A' と置きなおせば、(A, A') がデデキントの切断となります。

ここでは「実数」の定義だけを述べましたが「実数論」とするためには四則演算を定め、それが結合法則などの基本的な関係式を満足することを証明する必要があります。自然数の範囲ではこれは明らかです。例えば

を示すには、まず掛け算の意味から考えます。3×2 は 3 を 2 回加えた数です。

ですから、確かに (3+4)×2 = 3×2 + 4×2 です (数え方の順番を変えただけです)。この事実は有理数にも拡張することができ極限を考えれば実数でも成立することになります。(カントールの実数論を使用。)

デデキントの切断では定義は簡単ですが、そのあとの証明が大変となります。高木貞二の「解析概論」では定義はデデキントの切断でしていますが、結合法則などの証明には、基本列を使用しています。従って、デデキントの実数論とカントールの実数論をまぜこぜにした議論を展開しています。デデキントの切断だけだと証明が非常に長くなるため、カントールの議論を取り入れたのでしょう。代数的な準備があると、カントールの方法は更に簡単になります。これがファン・デル・ヴェルデンの現代代数学に展開されている方法です。

集合論的なことにも言及しておきます。要素がはっきりしているものが集合であると、集合論の本の最初の部分には書いてありますが、これだけではまずくなります。

個々の集合は非常にはっきりしていますから、要素がはっきりしているものが集合であるとすれば、すべての集合からなる集合 A を考えることができます。これも集合ですから A は A を含むことになります。これは自己矛盾でパラドックスと呼ばれます。

従って、得体の知れない集合らしきものを考えてはいけないのです。 (ちなみに集合の集合とは呼ばずに集合の族とよびます。) 新たに集合を作るためには既存の集合から、決められた手順で作る方法が一番安全です。

たとえば、与えられた集合の部分集合全部は集合とみなしてよいです。デデキントの切断はその下組を考えると有理数の部分集合ですから切断全体はれっきとした集合です。

また与えられた集合に対して、これの無限個の直積を考えてもよいです。有理数の点列全体は有理数の加算個の直積なので、基本列全体もまたれっきとした集合です。

従って、どちらの方法を採用するにせよ、集合論的には、ゆるぎのないものになります。

デデキントの切断やコーシー列以外による実数の定義以外にも、もっと別の定義があります。これも紹介することにします。これは次の本の第 9 章で扱われていることです。

無限列全体は集合になります。無限列で、任意の正の有理数 ε にたいして、自然数 n が存在して

基本列全体には次のようにして、加法と乗法を項ごとの足し算、掛け算で定義します。

和、積の結果も基本列であることを示す必要がありますが、これは省略。これにより、基本列全体は加減と乗法が定義でき環と呼ばれるものになります。さて、基本列 (*) に対して、どのような ε＞0 に対しても、適当な n＞0 が存在して

を満たす時に、基本列 (*) を零列と呼ぶ。零列全体を N とする。 2 つの基本列が与えられたときに、その差が零列であれば、これを同一視すると実数が構成できます。こうすればカントールの方法と同じですが、零列全体が環 R のイデアルであることを示すことができ、剰余環 R/N を構成できます。R の足し算、掛け算から R/N に自然に足し算、掛け算が定まり、 R/N は環の構造をもちます。あとは R/N の零でない元が乗法の逆元を持つことを示せば、実数が構成できたことになります。

このような構成法を取れば、実数において四則演算に関しての結合法則や、分配法則が成立することは自明なこととなります。

ファン・デル・ヴェルデンの「現代代数学」はファン・デル・ヴェルデンの先生であるエミー・ネーターの講義録で、その内容はエミー・ネーターがそれ以前の内容を整理したものとされています。