ここの内容は、次の一松信の本の内容のことがきっかけでした。

一松信の本は縦書きで書かれた妙な本です。いつごろ買った本か覚えていませんが、私の自宅の 本棚にありました。全然読んでいなかったのですが、ユークリッド原論と デデキントの切断のことを考えているときにふとこの本に目が届きました。 ひょっとしたらこの本に言及しているかもしれないと考えて、少し目を通してみました。 ちゃんと書いてありました。しかしこの本は縦書きなのでとても読みにくい。多分、何気なく買った後で 縦書きであることに気がついて、読む気がしなかったのだと思います。ぱらぱらページを めくっていると、最初のほうに (p 8) に次のようなくだりがありました。

じつは有理数、無理数という用語は、誤訳ないしは不適切な訳語である。英語の rational number は、 元来は ratio (比) になる数の意味であった。比とは整数の比を意味する。したがって「有比数」 「無比数」と訳すのが適切であった。しかしもはやこの用語は定着しているので、 その背景を心得た上で、この本でも使用することにする。

そこでウェブスターで調べてみることにしました。一般的に英々辞書には語源がちゃんと書いてあります。 英語の rational は確かにラテン語の ratio から来ています。しかし、ラテン語の意味は reason と 書いてあります。英語の rational, ratio はどちらもラテン語の reason を意味する ratio に 由来しています。だから一松信の書いていることは不正確です。 しかしラテン語の ratio の意味はなんと考えればよいのでしょうか ? reason は「理由」ですが、 「理 (ことわり)」とでも言うような意味と考えるほうがよさそうです。 すると、「比」は「理 (ことわり)」ということになります。

弦楽器の弦には共鳴周波数があり、弦を n 等分した長さの波長の音がこの共鳴周波数です。 そんな難しい言葉を持ち出すまでもなく、弦の長さを半分にすると倍音、3 等分するとその上の倍音になります。 このような音の性質はギリシャ時代に知られており、ピタゴラスがこのようなことに 言及していているようで、これを自然の摂理と考えたようです。 従って、等分することは調和することを意味し、 それゆえ「比」が「理 (ことわり)」となるようです。

英語の rational は通常は「理にかなった」の意味で使われるのが普通で、 rational number は「理にかなった数」であり、これを有理数と訳するのは正しいことです。 「理にかなった数」という考えはピタゴラス (あるいはそれ以前) に由来すると考えてよいようです。 歴史的には「無理数」の発見はピタゴラス学派によるとされているようですが、 ピタゴラス自身は「理にかなった数」を自然の摂理のように捉えていたのですから 無理数の存在を認識することは随分難しかったのではないでしょうか。

新石器時代の西ヨーロッパにはストーンヘンジなどの 遺跡があり、この中にはピタゴラス三角形が潜んでいるものがあります。ファン・デル・ヴェルデンの 話はここまでだったのですが、その後 Alexander Thom の考えを以下で知ることになりました。 このページから巨石時代の数学を説明したページへのリンクがあり、 そのトップのページに、ピタゴラスの話と倍音の説明があります。ともかく関連があるわけです。

Megalithic sites of Great Britain

前にも書きましたが、巨石文化を作った人は、楕円状に石を配置することもあったのですが、 「円をつぶしたような形」(flattened circle) や「卵型」(egg-shaped) に石を配置することもありました。 その絵の描き方は大体、半円を描き、その後で互いに接する円弧をつないでいます。 何でこんなことをしているのかの理由があります。(Alexander Thom の説明です。) これをもし円とみなしたときの円周率ですが、 ほぼ 3 になるものもあるようです。Alexander Thom はどれも周囲の長さがほぼ整数になるように描いてあることに 気がついたのです。無論、最初の半円の半径の長さも整数です。但し長さの単位は「巨石ヤード」(megalithic yard) です。

巨石文化を作った人たちは円周率が「理にかなっていない数」である認識を持っていたのでしょう。 円周率を無理やり「理にかなった数」にしたのです。長さの単位があったことは円の半径の長さの度数分布表を 見れば一目瞭然です (Alexander Thom の考えを述べたページ参照)。しかし、実は少し、変動があります。 絵を描くときの長さの単位を少し小さくしたり大きくしたりしているのです。 妙なことをしている理由は、最終的にできる「円もどき」の周囲の長さが整数になるようにしたいためのようです。 巨石文化を作った人達は倍音のことを知っていたのでしょうか ? その理由から「有理数」を「理にかなった数」と考え、無理やり円周率を 「理にかなった数」にしようとしたのでしょうか ? 少なくとも巨石文化を作った人たちの言語は現在のヨーロッパの言語に近いことが想像できます。 つまり、インド・ヨーロッパ言語を話していたと考えて矛盾がないようです。 これでファン・デル・ヴェルデンの話に結びつくことになります。 (ファン・デル・ヴェルデンの本にはこの話はでてきませんが、多分、このようなことに ヒントを得て本を書いた可能性もありそうです。) 巨石文化を作った人たちと古代ギリシャには何らかの接点、多分共通のご先祖がありそうです。

少し問題がある部分があります。 平方根 2 が無理数であることは「ユークリッド原論」に載っています。 これは平方根 2 が有理数と仮定して、矛盾に導けばよいので随分簡単です。 ところで、円周率ですが、これが無理数であることの証明は普通の数学の教科書には ないと思います。通常は円周率が超越数であることの証明があるくらいだと思います (例えば スチュアート、ガロアの理論)。 これで確かに無理数であることはわかりますが、少し難しすぎます (微積を使用します)。

言いたいことは、Alexander Thom の考えが正しければ (事実正しいと思いますが) 巨石文化を 作った人たちは円周率が無理数であると知っていたはずです。では比較的簡単に円周率が 無理数であることを証明できる方法がないといけません。そこでインターネットを検索したのですが、 例によって英語版の wikipedia がヒットし、Pi の項目に「円周率が無理数であることの証明」を 書いたページへのリンクを探すことが出来ました。しかし、この証明は微分を使っていました。 この件に関してはここでやめることにしましょう。

以上まで書き上げて、しばらく放置していたのですが、再度読み直してみると非常に簡単なことを 忘れていたことに気がつきました。ギリシャの三大作図問題と称するものがあります。

これはどれも不可能で、厳密にはガロア理論が必要となりますが、経験的には不可能であることが 知られていたのではないでしょうか ? 最後の「円の正方形化」に関して述べると、平方根 2 は 定規とコンパスで作図できますが、それ以前に有理数は定規とコンパスで作図できます。 n が自然数であれば、任意の線分を n 等分することは簡単にできるからです (平行線を使用すればよい)。 つまり、「円の正方形化」の問題は「円周率が無理数であること」(ギリシャ時代の言葉を使えば 「円周率が通約不能量 (incommensurable) であること」) を示す問題を含んでいます。

つまり、「ギリシャの三大作図問題」と称するものもそれ以前から知られていたことで、 恐らくは不可能であると信じられていたとすれば、巨石文化を作った人たちの 行動にも説明が付くように思われます。