三平方の定理 (ピタゴラスの定理) の歴史

正多面体のことを考えるためには、平面幾何のことは熟知していないといけないし (だから三平方の定理を知っていないといけないような気がします)、またユークリッド原論のことを思い出せば、厳密に議論するには無理数に関しても知っていないといけないような気がします。そんなこともあって、正多面体のことを調べてみることにしました。

この正多面体の箇所も書き始めた当初からは随分違うことになりました。私の考えが変化したというよりは、正多面体のことを扱っている英文のページが随分増えたことによります。英語版の Wikipedia もますます充実してきており、また英文による検索でも随分色々なページがヒットするようになっています。大いなる変化です。

正多面体が 5 個しかないことはユークリッド原論に証明されています。プロクロスによるとピタゴラスが正多面体を発見したことになっていますが、ピタゴラス (Pythagoras, BC 569 頃 - BC 475 年頃) は 3 個 (正四面体、正六面体、正12面体) しか知っていなかったようです。 5 個の正多面体を記述したのはプラトン (Plato, BC 428 頃 - BC 348 頃) でその名称もプラトンに由来しています。参考までに英語の綴りを書くと次のようになります。

そのため、正多面体 (regular polyhedron) のことをプラトンの立体 (Platonic solid) と呼ぶことがあります。プラトンは証明なしに正多面体のことを書き、ユークリッド原論では 5 個しかないことが証明されています。

正 12 面体は自然界には存在していませんが、これに極めて近いものがあります。黄鉄鉱 (パイライト、Pyrite - Wikipedia) の結晶は色々な形になり、擬似的な正 12 面体をしているものもあるそうです (パイライトへドロン、Pyritohedron - Wikipedia)。北イタリアからスイスにかけて産出されます。

ピタゴラスは、その生涯の大半を、シシリア (Sicily) と南イタリアのギリシャの植民地で過ごしたそうです。シシリアには、この黄鉄鉱の結晶が見つかるそうです。そのため、ここからピタゴラス (あるいはピタゴラス教団) が正 12 面体のことに気がついたのではないかと考えている人がいます。箇条書きで紹介します。

またプラトンもシシリアに行っている可能性があるようです (Plato - Wikipedia)。古代ギリシャの正多面体とシシリアは密接に結びついているのかもしれません。

注意

黄鉄鉱の結晶の作る 12 面体は正 12 面体ではありませんが、これをみれば、ほぼ確実に正 12 面体の存在に気が付いたと思います。

Stellations of Pyritehedron (deformed dodecahedron)

には、VRML によるパイライトへドロンの 3D グラフィックスがあります。(「deformed dodecahedron」と書いた場所をクリックすると、別頁で VRML のページが登場し、色々な方向から眺めてみると、なるほどという気になります。

なお VRML のページを見るためには VRML プラグインをインストールしていないといけません。インストールページは英文ですが、英語があまり得意でなくても何とかなるのではないかと思います。 (自動インストールなのでボタンに気が付けば十分です。) 何度かボタンを押す必要があります。インストールしたければ

VRML - Wikipedia (日本語の Wikipedia)

の中の「Cortona VRML Client」のリンクをたどってください。

エトルリア人は少なくとも幾つかの正多面体に関しては、ギリシャ人よりは先に気が付いていた可能性もある。というのは、1800 年代の後半に、石鹸石でできた正 12 面体が (北イタリアの) パドアで発見されており、これは 2500 年以上もさかのぼるためである (Lindemann, 1987)。黄鉄鉱の結晶は北イタリアで見つけられる。

そのため、エトルリア人と接点を持ったピタゴラス (あるいはピタゴラス教団) が正 12 面体のことを知ったと考えることもできます。(上の部分の 1987 は原文のミスタイプなのですが、これはあとで議論します。)

注意

Pythagoras biography によると、ピタゴラス (BC 569 年頃 - BC 475 年頃) は BC 518 年頃に南イタリアに住むようになったそうです (別の説ではもっと早い)。色々なページから判断すると、エトルリア文明の正 12 面体は BC 500 年頃 (正確にはこれより少し前) のものだそうです。だから同じ頃です。
エトルリア文明の正 12 面体のことに言及している日本語のページもありますが、正確ではありません。英文のページでも不正確なものがあります。不正確な点の一つには、エトルリア文明の正12面体が作られた時期です。もっと古い時期に作られているような記述がされています。この理由は発見された当初 (19 世紀) には年代測定ができなかった (あるいは不正確であった) ためのようで、古い文献を引用すれば間違いとなるのだとほぼ断言できることになりました。これはあとで、もう一度取り上げます。
もう一点は多くのページでは「エトルリア文明の正 12 面体」は「石鹸石」でできていると書かれていますが、、一方で一部のページで「青銅でできている」という記述も見られ、写真も掲載されているものがあります。これも後で再び取り上げますが、写真から「青銅製の正 12 面体」は「古代ローマの正 12 面体」であることがはっきりします。しかしこれは 2, 3 世紀頃のものです。恐らく発見された当時は随分古いものと考えられた可能性があり、そのため「エトルリア文明の正 12 面体」と誤解されたのではないかと思います。また「エトルリア文明の正 12 面体」は 1 つしか見つかっていないのだと思います。信頼できる英文のページでは常に単数形で使用しています。

注意 -- エトルリア

「エトルリア文明」 (Etruscan civilization - Wikipedia) から抜粋をすることにします。

エトルリア文明 (Etruscan, 1200 BC - 100 BC) はローマ帝国ができるまで中部イタリアで繁栄した文明です。エトルリア (Etruria) と呼ばれる地域があり、ここにはエトルリア人の都市国家群がありましたが、1 つの国ではありませんでした。エトルリア人の都市国家は時代と共にエトルリアに限定されなくなります。 (下の地図を見ればわかりますが、かなり食い違ってしまっている。)
BC 650 年頃にはエトルリア文明の影響はエトルリア内のみならず、広範囲に影響があったようです。南イタリア (シシリアを含む) のギリシャの植民地とも接点を持ち、エジプトとも直接貿易をしたり、ギリシャを通じて貿易をしたりしたようです。ローマもエトルリア文明の影響を強く受け、エトルリア人の王が支配していましたが、 BC 509 年に、エトルリア人の王が権力の座を失い、ローマ共和国が建国されます。しかし、BC 396 年に Veii (下の地図を参照、ローマのすぐそば) がローマの手に落ちるまで、エトルリア人の方が優勢であったようです。エトルリア人は最終的には古代ローマに同化することになります。

エトルリア文明の正 12 面体の石のことは、ボイヤーの数学の歴史 1 の 69 頁にも言及があります。ボイヤーの本では「エトルリア文明の正 12 面体」のことに触れて、ピタゴラス教団が正 12 面体のことを知っていたのは本当であろうと議論しています。

色々調べていくうちによく知られた本にも「黄鉄鉱の結晶」、「エトルリア文明の正 12 面体」が登場することに気がつきました。

手元には訳書しかなく、その 73 頁から 74 頁にかけて、そのまま引用することにします。 (なお、著者の Weyl は通常英語読みをして、ワイルと書くのが普通です。)

5 つというのは、正 4 面体、立方体、正 8 面体と、そのほかに表面が 12 の正多角形からできている 5 角 12 面体と、20 の正 3 角形で囲まれた正 20 面体とがある。最初の 3 つが存在することは、はなはだ平凡な幾何学的に事実であるといってもよかろう。しかしあとのふたつの発見は、数学史全体のなかでももっとも美しく、もっとも特異な発見のひとつである。それが発見されたのは、南イタリアのギリシャの植民地でのことらしいことが、かなり確実に知られている。シシリー島で多く産出する硫化物の黄鉄鉱の結晶から、正 12 面体を抽象したのだという意見がだされている。しかし、まえにのべたように、正 12 面体の特徴をなす 5 のシンメトリーは、結晶学の法則に矛盾するし、また事実、黄鉄鉱の結晶がつくる 12 面体は、4 つの辺だけが等しく、残りひとつはちがっていることがわかる。5 角正 12 面体の正確な作図は、おそらくテアエテトスに負うている。12 面体は、大昔、イタリアではサイコロとしてつかわれ、またエトルリア文化ではなんらかの宗教的意味をもっていたらしい証拠がある。プラトンは、対話編 (ティマイオス) で正 4 面体、正 8 面体、立方体、正 20 面体を、火、空気、土、水の 4 元素に対応させ。他方 5 角 12 面体の中には、ある意味で宇宙全体のすがたを見たのである。

12 面体のサイコロのことが触れられていますが、これはあとで触れる古代ローマの正 12 面体のことではありません。

英文のページで少し問題がある部分があるので、前にも引用した英語版の Wikipedia の正多面体 (Regular polyhedron - Wikipedia) の関連する部分を思い出してみましょう。

少し妙なことに気が付くと思います。1800 年代の後半と言いながら 1987 年としています。だから、これはミスタイプで 1897 年のはずです。ところが、これと類似のミスタイプが英文のホームページで随分たくさんあります。だから、誰かが書いたのを多くのページでそのままコピーしたのです。これでは少し信頼ができないので、別の言葉が書いてあるページを探さないといけません。

上の発表年度が 1897 年であることに注意します (私の独語はお粗末ですから訳はあまり信用しないでください)。そして更に、次のように続けています。

正 12 面体が石鹸石ではなく、焼き物だと述べています。また新石器時代と言っていますが、実際は BC 500 年で、とうの昔に鉄器時代です。 19 世紀には現在ほど色々なことが正確にわからなかったのでしょう。しかし一応、 1897 年は L. Lindemann が報告書を書いた年である事は確かなようです。

をご覧ください。ここにエトルリア文明の正 12 面体の展開図が載っています。確かに表面には円錐形の点と線形の溝が見えます。だから、これでエトルリア文明の正 12 面体がどのようなものであるか非常にはっきりし、事実関係も間違いでないことがはっきりします。

あと少しだけ疑問が残る部分があります。19 世紀の数学者の F.Lindemann という人は円周率が超越数であることを証明した人です。これで「ギリシャの三大作図問題」の「円の正方形化」の問題が不可能であることが証明されたのです。そこで

を見てみると、多面体の報告書のことはどこにも書いてありません。本当に同一人物であるかの確認がいま一つ取れません。

正 12 面体は古代ローマにも登場します。英文の頁にはエトルリア文明の正 12 面体と混同しているものもあります。例えば次の頁です。

この頁の真ん中よりも少し下の箇所で、印刷されている本からの写真を引用して、それをエトルリア文明の正 12 面体としています。しかし、これは古代ローマの正 12 面体です。ですから元の本が間違っている可能性があります。これに関しても紹介することにしましょう。

「古代ローマの正12 面体」(Roman Dodecahedron) とは 2 世紀から 3 世紀にかけての古代ローマの各地で見つかっているもののことで、下の写真のように中空になっていて、各面に丸い穴があります。青銅製です。なお、ページによっては少し時期がずれています。(1 世紀から 3 世紀、あるいは 2 世紀から 4 世紀などです。これは、年代測定の技術力の向上で変化した可能性があります。)

発見される場所は、古代ローマでケルト人が住んでいたところで、そのためケルト人が作ったものであろうとされています。しかし、どのような文献にも登場せず、ずっと秘密にされていたもののようです。用途は全く不明ですが、宗教的な意味を持っていたもののようです。

参考

Druidic Dodecahedra ? に「古代ローマの正 12 面体」の紹介があります。それによると、発見されている正 12 面体は

フランス	30 個
ドイツ	18 個
英国	11 個
スイス	8 個
オランダ/ベルギー	6 個
東欧	3 個

とのことです。

「古代ローマの正 12 面体」は「ケルト人の正 12 面体」として紹介されていることがあります。次の講義録ではケルト人とエトルリア人の正 12 面体のことに言及しています。著者のラングラン (Langlands) はワイルの「シンメトリー」のことにも触れ、ピタゴラスはケルト人やエトルリア人と接点があったかもしれないと述べ、ピタゴラスは彼らを通じて正 12 面体のことを知ったのかもしれないと述べています。

古代ローマの正 12 面体は AD 2 世紀から AD 3 世紀に見つかってはいますが、それ以前からケルト人が正 12 面体のことを知っていたかもしれないという議論があるのかもしれません。同様な考えは他の英文ページにも見られます。但し、発掘物の年代測定の技術が以前はかなりお粗末であったため、色々な意見が錯綜しているのかもしれません (これは私個人の憶測)。

注意

古代ギリシャ人は一般的にケルト人やエトルリア人とは友好的であったようです。そのためギリシャ人がケルト人やエトルリア人から色々教わることがあっても不思議ではありません。

ギリシャよりもずっと古く、 紀元前 2000 年頃のスコットランドで正多面体の形に彫った石がたくさん見つかっています。 (直径が 3 インチ程度で、スコットランドの北西部の島々で何百個も見つかっているそうです。) スコットランド博物館 (Museum of Scotland)やオクスフォード大学のアッシュモール博物館 (Ashmolean Museum) にあるようです。次の 1, 2, 3 で写真を見ることが出来ます。1, 2 はそのまま写真を見ることが出来ますが、 3 つ目のものは数学の論文 (PDF) で 3 ページ目に写真が載っています。 (1, 3 の写真は同じもののようです。)

2 番目の文献の最初の部分で、正多面体の石には同時に双対多面体も彫りこんであることが指摘されています。双対多面体のことを知っていれば、誰もが写真からこのように判断するのではないかと思います。但し、双対多面体の辺が若干長くなっているようで、問題なしというわけではないようです。いずれにせよ、新石器時代に正多面体も双対多面体もどちらも知られていたことになります。古代ギリシャでは双対多面体は登場していないようですから、実に驚くべきことです。

追加

もともと、この正多面体の石のことを知ったのは何かを検索している最中に偶然に上のページに行き着いたためです。しかし現在では英語版の Wikipedia の正多面体の項目に、以上の事実が含まれています。従って、紀元前 2000 年のスコットランドで、「正多面体及び双対多面体が知られていた」と広く認められているようです。

Regular polyhedron - Wikipedia (正多面体)

双対多面体とは (追加)

正多面体の 2 つの面が辺を共有しているときに、2 つの面の中心を順番に結んでいきます。そうすると正多面体ができます。中心を結んだだけではワイヤーフレームにしかなりませんが、よく見れば正多面体ができているのがわかります。これが双対多面体です。もとの正多面体の面の中心が新しい多面体の頂点となり、もとの正多面体の頂点の下に新しい正多面体の面ができ、もとの正多面体の辺の下に新しい多面体の辺ができます。

見やすいように元の多面体をワイヤーフレームで表示しています。

スコットランドの正多面体に彫り込まれた双対多面体は以上の方法より少し大きめに作られ、頂点が面から飛び出すようになっています。この場合に同じ球面に内接するように作ってあればある意味で完全なものとなりますが、少し双対多面体を大きく作ってあるようです。

ユークリッド原論では、正12面体の存在を次のようにして、正六面体に屋根をつけることによって証明しています。ユークリッド原論では正20面体の存在を示してから、正12面体の存在を示しているようですから双対多面体のことを知っていたわけではないようです。

私は「原論」をまともに読んだわけではありません。一松信の「正多面体を解く」に「原論」での構成法が示されており、そこから読み取ったまでです。式が使えるかどうかは大違いで、「正多面体を解く」では手短に解説してあるだけですが、それでも十分に理解できます。基本的には、正六面体につけた屋根の傾きを計算して、それが同一平面になっていることを確認するだけです。三平方の定理を使用することは石器時代の人でもできたと思いますが、少し面倒なため、書き言葉がないと証明が少し難しくなりすぎるようにも思えます。

ここまで書いて、その後進展がなかったのですが、次のようにすれば比較的簡単に正20面体の存在を示すことができることに気がつきました。そのため、文字がない世界でも、正20面体を構成することは可能であると結論できることになりました。また双対多面体のことに気がついていれば、正12面体を発見することも容易であったことでしょう。(正12面体は正20面体の双対多面体です。)

正12面体は正20面体と同様な方法で構成ができますが、お手本がないと無理ではないかと考えましたが、黄鉄鉱の結晶のことに気がつき、これも同様な方法で構成できた可能性があると判断できたのでこれも付け加えることにしました。

最初に底面が正5角形となる正多角錐を作ります。高さを調節すれば、側面がすべて正三角形となります。これを『笠』と呼ぶことにします。この側面はすべて隣の側面と同じ角度でつながっていることに注意します。このため『笠』を張り合わせることが可能となります (張り合わせられるように底面をつけないでおきます)。以下の議論が理解できなければ模型を作ってみましょう。

「3D アプレットの表示」と書いたボタンを押すと、JOGL (= Java OpenGL) によるアプレットが表示され、マウスでオブジェクトを回転させることができます。

『笠』を何枚も張り集めると正20面体となります。例えば、『笠』２個を次の赤い面で張り合わせることができます。

1つの『笠』の周囲に 5 枚の『笠』を張り合わせることができます。次は 2 枚目の『笠』を張り合わせる場合です。赤い部分で張り合わせます。

2 枚目から 4 枚目の笠の張り方はまったく同じです。 5 枚目の笠を首尾よく貼り付けることができるか少し疑問になりますが、 4 枚目の笠を張り合わせた直後の状態は次のようになっています。従って 5 枚目も張り合わせることができます。

1つの『笠』の周りに 5 枚の『笠』を張り合わせると、最初の『笠』の下に帯状の部分が付いた形なります。これを『深い笠』と呼びます。

『深い笠』の帯の部分は、次のように正三角形を張り合わせた形をしており、裏返しても同じ形となります。

従って、『深い笠』を 2 つ用意して、反対向きにしてから、帯状の部分を同一視すると一つの多面体ができます。これが正多面体となることはすぐにわかり、従って正20面体の存在を示すことができました。

正12面体を構成するには、ユークリッド原論のように難しい議論をする必要性はありません。但し、先に正12面体の大体の形がわかっていないと見当が付きにくいです。ピタゴラス (あるいはピタゴラス学派) が黄鉄鉱の擬似正 12 面体 (パイライトへドロン) から正 12 面体の存在に気が付いたのではないかとの、指摘に気が付いたので途端に現実味を帯びました。基本的には「正20面体の簡単な構成法」と同じことをすれば十分です。

正五角形の板を 3 枚用意して、3 枚を 1 つの頂点の周りに張り合わせ、頂点の周りが三角錐になるようにします。

こうすると隣り合う面の成す角がすべて等しくなります。これを正20面体と同様に「笠」と呼びます。正20面体の「笠」はボール紙で作ると、形がゆがんでしまう可能性がありますが、正12面体の「笠」はゆがむことがありません (ボール紙が十分強いとします)。これを貼り付けるだけです。面の成す角がすべて等しいので順に貼り付けていけます。

貼り付け方は、赤の部分が底 (あるいは蓋) になるようにして周りに順番に貼り付けます。次の図が最初の笠を貼り付けるときの様子です。張り合わせる面を赤く塗っています。一番手前の面が底になります。

2 枚張り合わせると次のようになります。底を赤く塗ってあります。

3 枚目を張り合わせると次のようになりますが、辺 OA の部分で面がつながっていません。しかし辺 OB, OC の部分では面がつながっており、ここでは面の成す角が、最初の「笠」の隣り合う面の成す角に等しくなっています。従って、O を中心とした 3 つの正五角形は最初の「笠」とまったく同じ形をしています。だから、これで辺 OA の部分がつながっていると思ってよいことになりました。

構成できた立体は、正五角形の各辺に 5 つの正五角形を張り合わせてできており、裏返すと、ちょうど器のようになっております。更にこの縁に最初の「笠」を貼り付けていきます。次の図が最初の笠を貼り付ける様子です。張り合わせる面を赤く塗っています。

次が 2 枚目の「笠」を張り合わせたときの状態です。2 枚目の「笠」を張り合わせたときの、張り合わせた面を赤く塗っています。面 S ができた後に面 T ができた状態です。

この場合、辺 OC、OB で隣り合う面はつながっていますが、辺 OA では隣り合う面がつながっていません。しかし、これも前と同じ議論によって、O の周りに「笠」ができていることがわかります。このように続けていけば結局、次のような形になります。

11 個の正五角形から構成された図形で、あと一枚正五角形を貼り付ける必要があります。これを「深い笠」と呼びます。「深い笠」の底の正五角形をはずすと、上下対称の帯状のものになります。だから、「深い笠」を 2 個用意して、帯の部分で同一視すると、正 12 面体が完成します。

正 20 面体よりは構成が複雑なので、お手本になるもの、つまり黄鉄鉱の擬似正 12 面体 (パイライトへドロン) がないと頭の中だけで考えるのはかなり難しくなります。

正 20 面体も正 12 面体も一応、何とか書き言葉がなくても構成できそうでなのですが、振り返ってみると、もっとも難しいのは恐らく正 5 角形の存在ではないかと考えることになりました。定規とコンパスで正 5 角形が構成できれば、正 20 面体も正 12 面体も構成できそうだとわかったことになります。新石器時代のスコットランドの人たちは正 5 角形の作図をできたのでしょうか ?

どうやら可能性がかなり大きいようです。しかし調べるのに随分大変になりそうです。 pentagon (正五角形) と neolithic (新石器) でかなりヒットする。例えば、次のようなページがあります。どうも天体観測に関連している。

正四面体	tetrahedron
正六面体	hexahedron
正八面体	octahedron
正12面体	dodecahedron
正20面体	icosahedron