以下の文書は次の翻訳です。 太陽や月までの距離を地球の半径で表示し、太陽や月の半径も地球の半径で表示する話です。 使用している絵も英語版の Wikipedia の絵から作ったものです。

On the Sizes and Distances (Aristarchus) - Wikipedia (大きさと距離について (アリスタルコス))

このページの表題が妙に見えたのですが、ヒッパルコスにも同名の本があるから、このようにしているようです。

大きさと距離について (ヒッパルコス)

こちらの方はプトレマイオスのアルマゲストに吸収されて、現物が残っていませんが、 主にトゥーマーにより再構成されています。 ヒッパルコスは三角法を発明しており、その成果がいかんなく発揮されています。

「(太陽と月の) 大きさと距離について」 は 唯一つ現存するアリスタルコスの著書である。 彼は BC 310 - BC 230 年頃に生存した古代ギリシャの天文学者である。 この著書で、彼は太陽と月の大きさ、および地球からの距離を計算し 地球の直径の式で表示した。

紀元前 3 世紀におけるアリスタルコスの相対サイズの計算
左から太陽、地球、月
10 世紀のギリシャの写本から

アリスタルコスの方法は幾つかの観察に基づいた。

• 空における太陽と月の見かけの大きさ
• 月食のときの月に対しての地球の影の大きさ
• 半月の時の太陽と月の角度が 90° に極めて近いこと

以下でアリスタルコスの方法を詳細に再構築する。 再構築には次の変数を使用する。

アリスタルコスは 半月 の時、太陽と地球が月に関して直角となることを 前提にした。 太陽と地球のなす角を観測することによって、 太陽と月の距離の比 φ は三角関数で求めることができる。

図と三角関数から次のように計算できる。

図は随分誇張したものである。 というのは、実際は S = 360 L で φ は極端に 90° に近いのである。 アリスタルコスは φ が直角よりは 1/4 円の 30 分の 1 (現代の言葉では 3°) だけ小さいこと (現在の言葉では 87°) を決定した。 三角関数はまだ発明されておらず、 アリスタルコスはユークリッド幾何の方式で次を決定した。

言い換えると、 太陽までの距離は月までの距離の 18 倍から 20 倍の間にあるということである。 この値 (あるいはこれに近い値) が これに続く 2000 年の間天文学者に受け入れられていたが、 望遠鏡の発明により太陽の視差のより正確な評価が可能となった。

アリスタルコスは 太陽と月の 角直径 も同じであるとした。 しかし太陽までの距離が 18 倍から 20 倍遠方にあつため、 太陽の大きさが 18 - 20 倍大きくなければならないとした。

アリスタルコスは次に月食を考察した。

三角形の相似により

2 番目の式を最初の式で割り、太陽と月の見かけ上の大きさが 等しいという事実

を適用すると

最後の式は ℓ/t に関して解くと

あるいは s/ℓ に関して解くと

これらの等式は n = d/ℓ, x = s/ℓ を使用すると、次のように表示が簡単になる。

上の等式は月と太陽の半径を完全に観測できる量で与える。

次の公式により、月と太陽までの距離が地球の半径で与えられる。

但し θ は月と太陽の見かけ上の半径 (角度) である。

アリスタルコスがこの公式をそのまま使用したことはあり得ない。 というのは彼は π の正確な値を知らなかったからである。 しかしながら、π = 3 のような単純な近似でも、 5% よりも少ない誤差しか引き起こさない。 この値は当時の測量における誤差よりもずっと小さな値である。

上の公式によりアリスタルコスの結果を再構築できる。 次の表は n = 2, x = 19.1 (φ = 87°), θ = 1° として再構築した結果である。 また現代で受け入れられている値もつけている。

この計算における誤差は主に x と θ の貧弱な値に起因している。 θの貧弱な値はとりわけおどろくべきことである。というのは 「アリスタルコスが太陽と月の見かけ上の半径が 1/2° であることを決定した最初の人である」とアルキメデスが書いているからである。 こうであれば θ=0.25 となり月までの距離は地球の半径の 80 倍となり、もっと良い評価となる。

類似の方法は ヒッパルコス によっても使用され、月までの平均の距離は地球の半径の 67 倍としており、 また プトレマイオス によっても取り上げられ、この値が地球の半径の 59 倍としている。