(太陽と月の) 大きさと距離について

これは元々ヒッパルコスによって書かれた本の題名で、アリスタルコスによる同名の本 (太陽と月の) 大きさと距離と同じことを目的とした本です。つまり、太陽と月の大きさ、及び太陽と月までの距離を地球の半径で表示したのです。残念なことにヒッパルコスの元々の本はプトレマイオスのアルマゲストに組み込まれてしまい、現存していません。ここでは元々のヒッパルコスの本の内容を復元する経緯が書かれており、これは主にトゥーマーによる推論です。

注意

トゥーマーは日本ではあまり知られていないようですが、著名な歴史学者です。彼はプトレマイオスの「アルマゲスト」の英訳をしており、文章がとても読みやすく「アルマゲスト」を完全に理解していることが明白です。「アルマゲスト」にかかわる論文も多々あるようで、以下の内容でトゥーマーにかかわる部分は原論文からの引用と思われます。

ヒッパルコスは次の 2 つの異なる仮定をして、各々の場合に「月までの距離」を推測しています。

ヒッパルコスがした仮定と得られた数値やおよその方法も「アルマゲスト」や「パップスによるアルマゲストの注釈」から知ることができ、復元が可能となっています。

2 番目の仮定は日食に適用します。使用する事実は (1) 地球上の異なる二点の日食の見え方と緯度 (二点の経度がほぼ一致していることが必要)、 (2) 円周率が 3.1416 であること、(3) 三角法 (弦 Crd) の使用、(4) 正弦定理、です。日食の観測はアレクサンドリアとヘレスポントにおけるもので、トゥーマーはヒッパルコスが利用した日食が BC 190 年の 3 月 14 日のものであることを決定でき、ここからヒッパルコスがしたであろうことを計算することにより、ヒッパルコスが得た数値を導き出しています。この計算には (記録に残されている) ヒッパルコスが利用したアレクサンドリアとヘレスポントの緯度が含まれます。議論は相互に関連していますが、確度の高い推測と思われます。

以上から、わかるようにヒッパルコスによる「月までの距離」の決定には、随分多くの事実が含まれているのです。つまりヒッパルコスは三角法の導入と同時にそれを非常に多くのことに利用した。

「(太陽と月の) 大きさと距離について」 (Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων – Peri megethon kai apostematon) は古代ギリシャの天文学者であるヒッパルコスによる本である。現存していないが、内容の幾つかはプトレマイオスや彼の本の注釈をしたアレクサンドリアのパップスの著作の中に残されている。現代の何人かの歴史家は利用可能なテキストを使用して、ヒッパルコスの方法の復元を試みた。

ヒッパルコスの本のことに関して知られていることの大半は 2 つの古代の情報源 -- プトレマイオスとパップス -- に由来している。ヒッパルコスの本はスミュルナのテオン (Theon of Smyrna) にも言及されているが、その記述はヒッパルコスの手順を再現することにはそれほど有効でないことが判明した。

アルマゲストの巻 V, 第 11 章でプトレマイオスは次のように書いている。

さて、ヒッパルコスはそのような調査を主に太陽でした。太陽と月のこれ以外の性質 (これに関しては以下で研究する) から、 2 つの発光体 (luminary) の 1 方の距離がわかれば、もう 1 方の距離がわかるため、ヒッパルコスは月の距離を知るために太陽の距離を予想しようとする。最初に彼は、距離を知るために、太陽の視認できる視差が最も少ないと仮定する。この後で、彼は彼が提示する日食を利用するが、その際に最初は太陽の視認できる視差がないと仮定する。まさしくこの理由から、月の距離の比率は彼が提示する仮設の各々で異なるように見えるのである。しかしながら、太陽に関しては、視差の大きさのみならず、太陽が全く視差を表示しないと言うことも、まったく疑わしいものである。

ヒッパルコスの本は、パップスが 4 世紀にアルマゲストに注釈を加えた時にはまだ現存していた。彼はプトレマイオスが省略した細部の幾つかを埋めている。

さて、ヒッパルコスはそのような調査を主に太陽で実行し、しかも正確ではなかった。というのは月が朔望 (syzygy, 太陽・月・地球が一直線上にあるとき) の時に、ほぼ最も遠くにあれば、太陽と同じ大きさに見える理由から、更には、太陽と月の直径の大きさがわかるため (これに関しては以下で研究する), 2 つの発光体のうちの 1 つの距離がわかれば、定理 12 のようにして、他方の距離がわかる。ヒッパルコスは視差と太陽の距離を予測して、月の距離を決めようとした。しかし太陽に関しては視差の大きさのみならず、視差が全くないとすることは疑問である。このようにして、視差の大きさのみならず、視差が全くないとする太陽に関してのヒッパルコスの考えは疑問である。「大きさと距離について」の第 1 巻では地球は太陽に対して中心にあり、比例としては点であると仮定している。彼により提示された日食により,.....

「大きさと距離について」の第 1 巻で彼は次のように述べている：ヘレスポント (Hellespont) の周辺の日食は太陽の円板が完全に隠れる日食で、太陽のどの部分も見えなかった。しかしエジプトのアレクサンドリアでは太陽のおよそ 4/5 が日食となった。彼は第 1 巻で、これにより地球の半径を 1 とすれば、月の距離は最小で 71, 最大で 83 であることを示した。従って、平均は 77........ そして「大きさと距離について」の第 2 巻で、再び次のことを示している：多くの考察から、地球の半径を 1 とすれば、月の最小距離は 62 で、平均は 67¹/₃, そして太陽の距離は 490 である。明らかなことに月の最大距離は 72²/₃ である。

この文章の一節は復元を可能とするに足る詳細を提供している。とりわけ、2 つの別の手段があったことと、どちらも正確な結果を与えていたことが明白である。日食を特定する証拠を提示し、ヒッパルコスが -- 現存するプトレマイオスの (本の) 定理である -- 定理 12 の公式を使用したことを述べている。

訳注

ヘレスポントないしはヘレスポントスとはダーダネルス海峡の古い呼び名。「地獄の海」という意味。
定理 12 がどの定理のことか不明。アルマゲストの邦訳では定理に番号を振っていませんが、アルマゲストは写本なので版によっては番号を振ってあるのかもしれません。あとで復元される内容では正弦定理を利用しているので、これが定理 12 なのかもしれません。 (但し正弦定理は後世の呼び名です。)
62 と最大の平均が 67¹/₃ となるように最大を決めています。

何人かの科学史の研究者が「大きさと距離について」の計算を復元しようとした。最初の試みは 1900 年のフリードリッヒ・フルチュ (Friedrich Hultsch) によるものであるが、 1969 年にノエル・スワードロウ (Noel Swerdlow) により否定された。 G.J.トゥーマー (G.J. Toomer) は 1974 年に彼の結果を拡張した。

フリードリッヒ・フルチュ (Friedrich Hultsch) は 1900 年の論文で決定したことは、パップスの情報は写し間違いであり、ヒッパルコスにより計算された太陽の実際の距離は、地球の半径の (490 倍ではなく) 2490 倍であることであった。この 2 つの値の違いはギリシャ語でも 1 文字の違いでしかない。彼の分析はスミュルナのテオンのテキストに基づくものであり、これによればヒッパルコスが発見したことは太陽の大きさは地球の大きさの 1880 倍で、地球の大きさは月の 27 倍であることである。これが体積を言及しているとすれば

太陽と月が天球で同じ見かけ上の大きさを持つことと、月の距離が地球の半径の 67¹/₃ であることを仮定すれば、次が得られる。但し S と L は太陽の距離と月の距離である。

この結果は 70 年間、一般的に受け入れられていたがノエル・スワードロウ (Noel Swerdlow) が再調査した。

スワードロウが決定したことは、ヒッパルコスはプトレマイオスの本に見出される作図を利用して、太陽と月の距離の関係を導いたことである。この計算が元々ヒッパルコスにより開発されたことは驚くに当たらない。というのはヒッパルコスはアルマゲストの主要な情報源であったからである。

この計算を使用して、スワードロウはヒッパルコスの 2 つの結果 (月の距離が 67¹/₃, 太陽の距離が 490) を関連させることができた。この結果を得るためには、一連の非常に正確な近似をその通りに実行する必要がある。

ヒッパルコスが、これらの変数に採用した値はプトレマイオスのアルマゲストの IV, 9 に見出される。プトレマイオスによれば、ヒッパルコスは次のことを発見した。月 (の角直径) は全円周に対して 1/650 で、地球の影の角直径は月の角直径の 2.5 倍である。パップスによれば、ヒッパルコスは月の平均距離を 67¹/₃ とした。これにより

スワードロウによれば、ヒッパルコスはこの式を次のように丸めて評価している (値は 60 進数である)。

スワードロウはこの結果を使用して、パップスの本の 490 が (写し間違えではなく) 正しいことを論じ、フルチュの解釈を無効にした。この結果は特別な近似や、丸めの適用にひどく依存しているが、一般的に (正しいと) 受け止められている。しかしながら、月の距離の 67 ¹/₃ がどこから来たのかに関しての問題が残った。

パップスとプトレマイオスの記述にしたがって、スワードロウは次のように示唆した：ヒッパルコスは太陽の最小可能距離が地球の半径の 490 倍であると評価した。この距離は太陽の視差が 7' であることに対応し、ヒッパルコスが (視差を) 視認できない最大角と想定した可能性がある。 (人間の目の典型的な解像度は 2' である)。上で与えられた太陽の距離の公式は月の距離を決定する公式に逆転できる。

上で与えた角度の値をそのまま使用し、太陽の最小距離を地球の半径の 490 倍とすれば、月の平均距離の最大値が得られる。

トゥーマーはこの結果を拡張して、太陽の距離が無限に増大すれば、公式は月の平均距離の最小に近づくことを示した。【訳注：490 を無限大で置き換える】

ヒッパルコスが成し得た月の距離の最小値の説明に加え、トゥーマー (Toomer) は第 1 巻の方法を説明することができた。これには日食が使用されていた。パップスの述べる所では、この日食はヘレスポントでは完全日食で、アレクサンドリアで観測された日食は完全日食の 4/5 であった。

もしもヒッパルコスが太陽が無限に遠くにある (即ち、地球は太陽に対して中心にあり、比例としては点である) ことを仮定すれば、日食の違いは月の視差に完全に依存することになる。観測データを使用すればヒッパルコスは視差、ひいては月の距離を決定することができた。

ヒッパルコスはアレクサンドリア A 及びへレスポント H の緯度 φ_A, φ_H を知っていたことであろう。彼は日食の最中の月の赤緯 δ も、角度 μ も知っていたことであろう。角度 μ は 2 つの場所の日食の度合いの違いに関連する量である。

但し Crd は弦の関数を意味する【訳注：弦の関数に関しては三角法の歴史を参照。 t は地球の半径】。月は非常に遠いので

としてよい【訳注：太陽に視差がないことの仮定】。この近似を使用すれば

AH と θ がわかるので、D' を得るには μ を決定すればよい。日食は H では完全日食で、A では完全日食の 4/5 であったから、 μ は太陽の見かけ上の直径の 1/5 である。ヒッパルコスは太陽の見かけ上の直径を良く知っており、彼はこれを全円周の 1/650 としていた。地球の中心から月までの距離は

から得られる。

トゥーマーはヒッパルコスが小さな角度に対する弦をどのように求めたのかを決定している。ヒッパルコスが使用したヘレスポントの緯度 (41 度) とアレクサンドリアの緯度 (31 度) はストラボンの地理学に関しての本で知ることができた。 (月の) 赤緯を決定するためには、ヒッパルコスが利用した日食を特定する必要があった。

訳注

ストラボン (BC 63 年頃 - BC 23 年頃) はヒッパルコス (BC 190 年 - BC 120 年) よりも後世の人です。ストラボンの「地理誌」(Geographica) にはヒッパルコスが決定した緯度が残されている。 (以上は Hipparchusからの引用。)

トゥーマーはヒッパルコスが最後に行き着く月の距離 (地球の半径の 71 倍) の値を知っており、日食のおよその場所を知っていた。トゥーマーはヒッパルコスが利用した日食は BC 190 年の 3 月 14 日のものであることを決定できた。この日食の全ての数学的パラメーターが非常に良く一致し、歴史的な観点からも意味があることがわかった。日食はニカイアでは完全日食で、ニカイアはヒッパルコスの生まれた場所であり、彼はこの話を伝え聞いた可能性がある。この日食はまたストラボンの Ab Urbe Condita の VIII.2 にも解説がある。その時の月の赤緯は δ = -3° であった。従って弦による三角法を使用すれば以下のようになる。

訳注

ニカイアの場所：
上で引用している Ab Urbe Condita は Ab Urbe Condita Libri ( ローマ建国史) のことで、これはストラボンによる本ではなく、リウィウスの本です。日食の話が載っているのはストラボンの本か、ローマ建国史のどちらであるかは不明。

これはパップスが書いている 71 の値に非常に良く一致する。【訳注：一連の式変形に関しては次節を参照のこと】この分析は日食が真昼に起き、太陽と月が子午線の上にあることを仮定している。 BC 190 年の日食では実際にはこうではなかった。【訳注：つまりトゥーマーはヒッパルコスがある仮定の下に計算をしたと想定した。】

前節の最後の一連の式変形から判断すると、ヒッパルコスは次の式を使用したようです。 α が微小角の時に

注意すべき点は円周率を 3.1416 とすると上の計算値になることです。プトレマイオスのアルマゲストでは円周率を 3.1416 としていることが Piに書かれており、アルキメデス (BC 287 頃 - BC 212 頃) やペルガのアポロニウス (BC 262 - BC 190) の結果から得たかもしれないとしています。上の公式の意味する点はヒッパルコス (BC 190 - BC 120) も円周率を 3.1416 としていたことです。

もう一点、注意する必要があります。それは前節の最後の式変形の中に Crd(102°) (= 2 sin(51°)) があり、この値を決定しないと、最終的に全体の値を評価できないことにあります。しかし、これを決めるためには次が必要です。

3 番目の加法公式はアルマゲストでは「プトレマイオスの定理」として扱われており、トォーマーの推論には「正弦の加法公式に相当する定理がヒッパルコスによってすでに知られていた」ことも含まれることになるのです。

Crd(α) = 2 sin(α/2)

(1)

のように現代的に読み換えていますが、ヒッパルコスによる元々の弦の定義は少し違い、半径を R = 3438/60 に選んだ時の中心角 α の弦の長さを「弦」と呼んでおり、この定義では

ヒッパルコスの弦 = (3438/60) × 2 sin(α/2)

となります。しかし色々なページではこの繁雑な「弦」を使用せずに、現代的な読み換えをしています。

ところで、ウィキペディアの原文の式変形には誤りがあります。恐らく、この式変形はトゥーマーの論文の式変形を写したものと思われます。トォーマーの論文では「ヒッパルコスによる弦」が使用されていると思われ、それをウィキペディアのページに写すには弦の箇所を読み換えないといけないのですが、それをやりそこなっている。一応、関数電卓を使用して、式の評価に間違いがないことを確認しています。

これらの復元がヒッパルコスが「大きさと距離について」に著したものを正確に反映しているのであれば、この本は顕著な偉業である。不明な物理量に限界を与える方式はヒッパルコスにとって目新しいものではない。 ( サモスのアリスタルコスを参照せよ。アルキメデスも円周率 π に関して同じことをしている。) しかしながら、このような場合には、限界は数学的定数を無限精度で決定できないことを反映しているのであって、物理観測における不確定性を反映しているのではない。

ヒッパルコスは彼の 2 つの結果の間の矛盾点をそのうち解消したように思われる。彼が月の距離を決定する目的は月の視差の正確な値を得ることであり、これにより日食・月食をより正確に予測することであった。この目的のためには距離／視差の特定の値に決着を付ける必要があり、値の区間ではなかった。

彼がこのようにしたことの幾分かの証拠がある。第 2 巻の計算とスミュルナのテオンの説明を合わせると月の距離が地球の半径の 60.5 倍であることが得られる。同じことをクレオメデスの説明と共にしてみれば、距離が地球の半径の 61 倍であることが得られる。これらの値はプトレマイオスの値にも、現代の値にも随分と近接したものである。

この方式は、私が正確に復元しているのであれば、実に見事である..... 驚くべき点は、2 つのまったく異なる方法によって問題に取り組む精巧さにあるし、ヒッパルコスがつじつまの合わない結果を明かす完璧な率直さにもある... 矛盾点はいずれにせよ、同程度の大きさ (order) の問題であり、(天文学の歴史においては始めて) 正しい領域にあった。