(太陽と月の) 大きさと距離について

(太陽と月の) 大きさと距離について (ギリシャ語 : Περὶ μεγεθῶν καὶ ἀποστημάτων [ἡλίου καὶ σελήνης、ローマ字表記 : Peri megethon kai apostematon) は古代ギリシャの天文学者であるヒッパルコス (BC 190 年頃 - BC 120 年頃) によるテキストで、ここで太陽と月の半径、更には地球からの距離の近似値が与えられた。これは現存していないが、この中身の少々がプトレマイオスと彼の注釈者であるアレクサンドリアのパップスの本に保存された。何人かの現代の歴史家は利用可能なテキストを使用して、ヒッパルコスの方法を復元しようとした。

何人かの現代の歴史家は利用可能なテキストを使用して、ヒッパルコスの方法を再現しようとした。ヒッパルコスの教科書に関して知られていることの大半は 2 つの古代の情報源から来ている : プトレマイオスとパップス。ヒッパルコスの本はスミュルナのテオン (Theon of Smyryna) などによっても言及されているが、その説明はヒッパルコスの手順の復元にはそれほど有益でないことが示されている。

アルマゲスト V, II で、プトレマイオスは次のように書いている。

今や、ヒッパルコスはこのような調査を、主に太陽からした。太陽と月のこれ以外の性質 (これに関しては以下で実施する) からわかることは : 2 つの発光体 [訳注; 太陽と月] の一方の距離がわかれば、もう一方の距離もわかるため、彼は月の距離を知るために太陽の距離を予想しようとする。最初に太陽の距離を知るために、太陽が視認できる視差が最小であると仮定する。この後で、彼は提示する日食の利用で、最初は太陽が視認できる視差がないかのように利用し、まさしくこの理由から、設定する仮定の各々で、月の距離の比率が違って見えるように利用する。しかし、太陽に関しては、視差の大きさのみならず、何らかの視差があるか否かも全く疑わしい。

このくだりは、ヒッパルコスがしたことの一般的な輪郭を与えるが、詳細を与えていない。プトレマイオスはヒッパルコスが使用した方法に同意せず、従って詳細に触れていない。

パッパスがアルマゲストの注釈を 4 世紀に書いたときには、ヒッパルコスの本はまだ現存していた。彼はプトレマイオスが省略している詳細の幾つかを満たしている。

さて、ヒッパルコスはそのような調査を主に太陽から実施し、正確ではなかった。月が朔望 [syzygy, 訳注: 太陽・月・地球が一直線上にあるとき] で、最大距離に近ければ、月は太陽と同じように見え、太陽と月の直径の大きさが与えられれば (この研究は以下でする)、これにより 2 つの発光体の 1 つの距離が与えられれば、もう 1 つが与えられ、定理 12 のように、月までの距離が与えられれば、太陽と月の直径、及び太陽までの距離が与えられる。ヒッパルコスは視差と太陽までの距離を予想することで、月までの距離を実証しようとする。しかし、太陽に関しては、視差の量のみならず、何らかの視差があるか否かも全く不明であった。このようにして、ヒッパルコスは太陽に関しては、単に視差の量に関するのみならず、何らかの視差があるかないかも全く疑問であった。このようにして、ヒッパルコスは太陽に関しては、視差の量のみならず、何らかの視差があるか否かも、まったく疑問であった。最初の本である「大きさと距離について」で、地球は太陽に対して点の比率と中心であることを仮定し、彼が提示する日食に対して実施する。

「大きさと距離について」の巻 1 で、彼は次のように観察している : 日食はヘレスポント (Hellespont) の周辺地域では太陽円盤が完全に見えない完全食であったが、エジプトのアレクサンドリアではおよそ 4/5 が食になった。これにより、彼は巻 1 で示したことは、地球の半径を 1 とすれば、月の最小距離は 71、最大は 83 である。従って平均は 77 である。.... 従って再び、彼自身が「大きさと距離について」の巻 2 で、多くの考察から示すことは、地球の半径を 1 とすれば、月までの最小距離 62, 平均は 67 ¹/₃、そして太陽までの距離は 420 である。明らかに月までの最大距離は 72 ²/₃ である。

このくだりは再現を可能にする十分な詳細を提供している。とりわけ、明らかにしていることが、2 つの別な手順があり、各々正確な値を与えている。これが提供する手掛かりは日食を識別し、ヒッパルコスが定理 12 の公式を使用することである。この定理はプトレマイオスのもので、これは現存している。

訳注

ヘレスポントないしはヘレスポントスとはダーダネルス海峡の古い呼び名。「地獄の海」という意味。
定理 12 がどの定理のことか不明。あとで復元される内容では正弦定理を利用しているので、これが定理 12 なのかもしれません。 (但し正弦定理は後世の呼び名です。)

何人かの科学史家は「大きさと距離について」に含まれる計算を復元しようとした。最初の試みは 1900 年にフリードリッヒ・フルチュ (Friedrich Hultsch) によってなされたが、 1969 年にノエル・スワードロー (Noel Swerdlow) により排斥され、 G.J.トゥーマー (G.J.Toomer) は 1974 年に彼の努力を拡張した。

フリードリッヒ・フルチュ (Friedrich Hultsch) が 1900 年の論文で決定したことは、パップスの情報源に写し間違いがあるとしたことで、ヒッパルコスにより計算された太陽への実際の距離は地球半径の (490 倍ではなく) 2490 倍であることである。英語と同様に、ギリシャ語でこの 2 つの結果には一文字の違いのみしかない。

彼の分析はスミュルナのテオン (Theon of Smyrna) のテキストに基づいていた。これが述べることは、ヒッパルコスが発見したことは、太陽が地球の大きさの 1880 倍で、地球が月の大きさの 27 倍の大きさであることであった。これが体積を言及すれば、

太陽と月が大空で同じ見かけの大きさで、月までの距離 [訳注: = L] が地球の半径の 67¹/₃倍であることを仮定すれば

この結果は、ノエル・スワードロー (Noel Swerdlow) がこれを再調査するまで、続く 70 年間に一般に広く受け入れられた。

スワードローが決定したことは、ヒッパルコスはプトレマイオスの本にある作図を使用して、太陽までの距離と月までの距離を関連させたことである。この計算が元々ヒッパルコス自身によって開発されたとしても驚きではない。彼はアルマゲストの主な情報源であったからである。

訳注

上の図は原文の図に少し説明を追加している (元々の図は絵をクリックすると表示される)。「地球の影」は月食の時に月面に表示される地球の影のこと、一部分しか表示されないが、全体像が推察できる。

この計算を使用してスワードローはヒッパルコスの 2 つの結果を関連させることができた (月には 67¹/₃, 太陽には 490)。この結果を得るには、次のとても正確な近似式の組がまさに必要である。

ヒッパルコスが、これらの変数に採用した値はプトレマイオスのアルマゲストの IV, 9 に見出される。プトレマイオスによれば、ヒッパルコスは次のことを発見した。月 (の角直径) は全円周に対して 1/650 で、地球の影の角直径は月の角直径の 2.5 倍である。パップスによれば、ヒッパルコスは月の平均距離を 67¹/₃ とした。これにより

定数	値
2θ	360°/650 = 0.554°
φ	2.5θ = 0.6925°
L	67 ¹/₃

スワードローによれば、ヒッパルコスは今やこの式を次のように丸めて評価した (値は 60 進数)。

スワードローはこの結果を使用して、490 はパッパスのテキストの正しい解釈とし、従ってフルチュの解釈を無効とした。この結果は特別な近似と丸めにひどく依存するが、これは一般に認められている。しかしながら、月までの距離の 67¹/₃ がどこから来たのかに関しての問題が残った。

パップスとプトレマイオスの記述にしたがって、スワードローが提案したことは、ヒッパルコスは太陽の可能な最小距離が地球の半径の 490 倍と評価したことである、この距離は 7' の太陽の視差に対応し、これを (視差に) 気が付かないと彼が思ったものの最大かもしれない (人間の目の典型的な解像度は 2' である)。太陽への距離として上で与えた公式は逆転して、月への距離を決定できる。

上と同様に各角度に同じ値を使用して、地球の半径の 490 倍を太陽への距離の最小値として使用すれば、月への最大距離の平均は次で与えられる。上で与えた角度の値をそのまま使用し、太陽の最小距離を地球の半径の 490 倍とすれば、月への平均距離の最大が得られる。

トゥーマーはこの結果を拡張して、太陽の距離が無限に増大すれば、公式は月の平均距離の最小に近づくことを示した。【訳注：490 を無限大で置き換える】

ヒッパルコスが獲得した月までの距離の最小値の説明に付け加え、トゥーマーは巻 1 の方法を説明することができ、これには日食が使用された。パップスの述べる所では、この日食はヘレスポント (Hellespont) の地域では完全日食で、アレクサンドリア (Alexandria) では完全日食の 4/5 であった。

もしもヒッパルコスが、太陽は無限に遠くにある (即ち「地球は太陽に対して中心にあり、比例としては点である」) ことを仮定すれば、日食の大きさの違いは、月の視差の大きさの違いに完全に依存することであろう。観測データを使用すれば、ヒッパルコスは視差、従って月までの距離を決定できたことであろう。

ヒッパルコスはアレクサンドリア地域の緯度 φ_A とヘレスポント地域の緯度 φ_H をそれぞれ知っていたことであろう。彼は日食の最中の月の赤緯 δ と μ ―― これは 2 つの地域の間の食の完全性の違いと関係する ―― も知っていたことであろう。

但し Crd は弦 (chord) の関数を言及し、角度表示の角を、単位の直径を持つ円の対応する弦の長さに写像する。又、R はヒッパルコスが弦の関数を計算するために使用した基礎円 (base circle) の半径で、 t は地球の半径である。月はとても遠くにあるため、

。この近似を使用すると

AH と θ がわかるので、D' を得るには μ を決定すればよい。日食は H では完全日食で、A では完全日食の 4/5 であったから、 μ は太陽の見かけ上の直径の 1/5 である。ヒッパルコスは太陽の見かけ上の直径を良く知っており、彼はこれを全円周の 1/650 としていた。地球の中心から月までの距離は

から得られる。

トゥーマーはヒッパルコスが小さな角度に対する弦をどのように求めたのかを決定した ( 弦 (数学)を参照)。ヒッパルコスが使用したヘレスポントの緯度 (41 度) とアレクサンドリアの緯度 (31 度) はストラボンの地理学に関しての本で知ることができた。 (月の) 赤緯を決定するためには、ヒッパルコスが利用した日食を特定する必要があった。

訳注

ストラボン (BC 63 年頃 - BC 23 年頃) はヒッパルコス (BC 190 年 - BC 120 年) よりも後世の人です。ストラボンの「地理誌」(Geographica) にはヒッパルコスが決定した緯度が残されている。 (以上は Hipparchusからの引用。)

トゥーマーはヒッパルコスが最終的に月への距離として与えた値 (地球の半径の 71 倍) と日食のおよその場所を知っていた。トゥーマーはヒッパルコスが BC 190 年の 3 月 14 日の日食を利用したことを決定できた。この日食は全ての数学のパラメーターにすべて適合し、歴史的な観点からも意味がある。日食はニカイア ( Nicaea, 現在のイズニク) では完全日食で、ここはヒッパルコスの生まれた場所であり、彼はこの話を聞いていた可能性がある。この日食はまたストラボンの Ab Urbe Condita の VIII.2 にも解説がある。この時の月の赤緯は δ = -3° であった。従って弦の三角法を使用すれば以下のようになる。

これはパッパスが報告している地球の半径の 71 倍の値に十分に一致している。

前節の最後の一連の式変形から判断すると、ヒッパルコスは次の式を使用したようです。 α が微小角の時に

注意すべき点は円周率を 3.1416 とすると上の計算値になることです。プトレマイオスのアルマゲストでは円周率を 3.1416 としていることが Piに書かれており、アルキメデス (BC 287 頃 - BC 212 頃) やペルガのアポロニウス (BC 262 - BC 190) の結果から得たかもしれないとしています。上の公式の意味する点はヒッパルコス (BC 190 - BC 120) も円周率を 3.1416 としていたことです。

もう一点、注意する必要があります。それは前節の最後の式変形の中に Crd(102°) (= 2 sin(51°)) があり、この値を決定しないと、最終的に全体の値を評価できないことにあります。しかし、これを決めるためには次が必要です。

3 番目の加法公式はアルマゲストでは「プトレマイオスの定理」として扱われており、トォーマーの推論には「正弦の加法公式に相当する定理がヒッパルコスによってすでに知られていた」ことも含まれることになるのです。

Crd(α) = 2 sin(α/2)

のように現代的に読み換えていますが、ヒッパルコスによる元々の弦の定義は少し違い、半径を R = 3438/60 に選んだ時の中心角 α の弦の長さを「弦」と呼んでおり、この定義では

ヒッパルコスの弦 = (3438/60) × 2 sin(α/2)

となります。しかし色々なページではこの繁雑な「弦」を使用せずに、現代的な読み換えをしています。

ヒッパルコスが「大きさと距離について」 (On sizes and Distances) に書いたことを、これらの復元が正確に反映しているのであれば、この本は顕著な業績である。不明な物理量に限界を設定するこのアプローチはヒッパルコスに始まるものではない ( サモスのアリスタルコス (Aristarchus of Samos) を参照。アルキメデスは π でも同じことをした)、しかしこれらの場合では、限度は数学定数を任意精度で決定できないことを反映しているのであって、物理観測における不確定性ではない。

ヒッパルコスは彼の 2 つの結果の間の矛盾点をそのうち解決したように思える。月までの距離を計算する彼の目的は月の視差の正確な値を得ることであり、これにより日食・月食をより正確に予測することであった。この目的のためには彼は距離/視差の特定の値に決着を付ける必要があり、値の区間ではなかった。

彼がこのようにしたことの幾分かの証拠がある。第 2 巻の計算とスミュルナのテオンの説明を合わせると月の距離が地球の半径の 60.5 倍であることが得られる。同じことをクレオメデスの説明と共にしてみれば、距離が地球の半径の 61 倍であることが得られる。これらの値はプトレマイオスの値にも、現代の値にも随分と近接したものである。

この方式は、私が正確に復元しているのであれば、実に見事である..... 驚くべき点は、2 つのまったく異なる方法によって問題に取り組む精巧さにあるし、ヒッパルコスがつじつまの合わない結果を明かす完璧な率直さにもある... 矛盾点はいずれにせよ、同程度の大きさの問題であり、(天文学の歴史においては始めて) 正しい領域にあった。