三角法の歴史 (History of trigonometry)

プトレマイオスは「太陽の黄経から、太陽の赤緯と赤経」を求めるために球面三角法を使用していますが、現代の三角法では直接これが可能ではないかと思い、確かめたものが訳注 2 です。

訳注 3, 4, 5, 6, 7 はティコ・ブラーエが「天文学の観測装置」(あるいは「天体機器」) の中で、始終言及している三角法の利用がどのようなものかを確認するために実際に計算したものです。現代ではティコ・ブラーエの時代になかったベクトルや線形代数があり、内容的にはそれほど高度なものではなく、理系の大学 1 年生の知識で事足ります。但し、関数電卓を使用しなければ三角関数の数表が必要となり、少し面倒な計算となります。ティコ・ブラーエの「天文学の観測装置」に関しては、ティコ・ブラーエの観測装置で紹介しています。

訳注 3 の内容は訳注 2 の内容の拡張となっています。これはプトレマイオスの時代から、ティコ・ブラーエの時代までに三角法が飛躍的に進展したことを意味しています。内積も線形代数も必要となりますが、三角法のみに限定すれば「飛躍的に進展した三角法」とは現代の高校で学ぶ三角法のことです。

訳注 4 の内容から日の出、日の入りの方向がわかります。「カッツ、数学の歴史」によればプトレマイオスはアルマゲストの中で、球面三角法を利用して日の出、日の入りの方向を決め、日照時間を決めているそうですから、訳注 4 の計算もプトレマイオスには、あるていど可能であったことがわかります。

いずれにせよ三角法なしの古代の天体観測はおよそありえないことも明らかで、ここから三角法が発展し、現代の高校で学ぶ三角法となったのです。(数学が好きでない受験生にとっておぞましいことかもしれませんが...)

三角法は数学の一分野で、紀元前 2 世紀にギリシャの数学者であるヒッパルコスにより始めてまとめられた。三角法と三角関数の歴史は、数学の歴史の一般的な系譜に従っている。

三角形の最初の研究は紀元前 2000 年のエジプトの数学 (リンド数学パピルス) とバビロニアの数学にさかのぼることができる。三角関数の系統的な研究はヘレニズム数学に始まり、ヘレニズム天文学の一部としてインドに到達している。インドの天文学においては、三角関数の研究はグプタ時代に繁栄し、とりわけアリヤバータによっている。中世の間、三角法の研究はイスラム数学で継続され、ここからラテン語圏 (Latin West) で分離した分野として採用された。これはルネッサンスのレギオモンタヌスに始まる。現代的な三角法の発展は啓蒙時代 (Age of Enlightenment) に起き、 17 世紀の数学 ( アイザック・ニュートン (Isaac Newton), ジェームズ・スターリング（James Stiring)) と共に始まりレオンハルト・オイラー (1748 年) により現代的な型式に到達した。

"trigonometry" (三角法) はギリシャ語の "τριγωνομετρία" ("trigonometria") に由来し、これは "τρίγωνο" (triangle, 三角形) と "μετρεῖν" (to measure, 測定) の合成で三角形測定 (triangle measuring) を意味する。

現代の言葉であるサイン(正弦, sine) はラテン語の sinus に由来し、 sinus は「湾 (bay)、奥まった所 (bosom), くぼみ (fold)」の意味があり、アラビア語の jayb の訳である。アラビア語の jayb は元々はサンスクリット語の jīvā (弦) がなまったものである。サンスクリット語の jīvā は博学な使用法では jyā (弦) と同意語で、元々「弓のつる」(bow-string) の意味である。サンスクリット語の jīvā (弦) は借用されてアラビア語の jiba となった。次に、この言葉は「湾 (bay)、奥まった所 (bosom), くぼみ (fold)」の意味がある本当のアラビア語の jayb に変化した。変化した理由はアラビア人によるものか、あるいはチェスターのロバートのような翻訳家が (単語が母音なしで記述されるという理由から) 間違えて jayb をラテン語の sinus に翻訳した。とりわけ、フィボナッチの sinus rectus arcus は用語としての sinus が確立される上で影響があることが示された。

用語の「分」(minute) と「秒」(second) はラテン語の表現法である minutae primae と partes minutae secundae に由来する。これらは大雑把に翻訳すれば「最初の小さい部分」(first small parts) と「二番目に小さい部分」(second small parts) となる。

訳注

古代のエジプト人とバビロニア人は相似三角形の辺の比に関する定理を何世紀もの間知っていた。しかし、ヘレニズム時代以前には角度の概念がなく、その結果、代わりに三角形の辺が研究され、これは三角形幾何学 (trilaterometry) とでも呼ばれる分野である。

バビロニアの天文学者は日の出、日の入り、惑星の運行、日食、月食を詳細に記録している。この記録には天球上で測定される角距離に慣れている必要がある。楔形文字の刻板である Plimpton 322 (BC 1900 頃) の解釈に基づいて、古代バビロニアにはセカント (sec) の数表があったと断言する者もいる。しかしながら、それがピタゴラス数の数表であるか、二次方程式の解法であるか、あるいは三角関数の数表であるかに関しては多くの議論がある。

一方でエジプト人は BC 2000 年頃のピラミッドの建設で原始的な三角法を使用している。リンド数学パピルスはエジプトの書記官であるアフメス (Ahmes, BC 1680 年頃 - BC 1620 年頃) により書かれ、三角法に関連する次の問題を含んでいる。

ピラミッドが高さ 250 キュービット (訳注：中指の先端からひじまでの長さ) で、底面の 1 辺が 360 キュービットとする。 seked は幾つか ?

アフメスの問題に対する解答は、ピラミッドの底面の 1 辺の半分と高さの比で、面の傾きの比 (の逆) (run-to-rise ration) である。別の言葉で言えば、彼が seked として求めたものは、ピラミッドの底面と表面の成す角のコタンジェントである。

古代ギリシャとヘレニズム時代の数学者は弦 (chord) を利用した。円弧が与えられた時に弦は円弧に対する直線である。円弧の垂直二等分線は円の中心を通り、角度を 2 等分する。弦の半分は二等分角の正弦 (sine) である。すなわち

chord(θ) = 2 sin(θ/2)

そのため、sin 関数は「半弦」(half-cord) とも呼ばれる。この関係式により、今日知られている幾つかの三角関数の等式や定理はヘレニズム時代の数学者にも知られていたが、同等な弦の形で知られていた。

ユークリッドやアルキメデスの本には三角法が登場しないが、三角関数の法則や公式に同等ではあるが、(三角法の方法ではなく) 幾何学的な方法で提示されている定理がある。例えば、ユークリッド原論の巻 2 の命題 12 と 13 は鈍角と鋭角に対しての余弦公式である。弦の長さに関しての定理は正弦公式の応用である。アルキメデスの「折れた弦」の定理は、 sin の加法公式と同等である。弦の数表がないことの埋め合わせをするために、アリスタルコスの時代の数学者は以下のような事実を時々使用している。現代の言葉では、

0°＜β＜α＜90° であれば

＜

これは現代ではアリスタルコスの不等式として知られている。

最初の三角法の数表はニカイア (現在のイズニク) のヒッパルコス (BC 180 年 - BC 125 年) によってまとめられたと思われ、これによりヒッパルコスは現代では「三角法の父」を呼ばれている。ヒッパルコスは、一連の角度に対して円弧 (の角度) と弦の長さの数表を作成した最初の人である。

円周が360° であることの系統的な使用がいつ数学に登場したのかは知られていないが、サモスのアリスタルコスが「 (太陽と月の) 大きさと距離に付いて」 (On the size and Distance) (BC 260 年頃) を著した少し後に円周が 360° であることの系統的導入が起きたことは知られている。というのは、アリスタルコスは 4 分儀の分割で角度を測定したからである。円周が 360° であることの系統的な使用は主に、ヒッパルコスと彼の弦の数表によっている思われている。ヒッパルコスの分割の考えはヒュプシクレス (Hypsicles) によるものかもしれない。というのはヒュプシクレスはそれ以前に 1 日を 360 に分割しており、この 1 日の分割方法はバビロニアの天文学によって示唆されたものかもしれない。古代の天文学では黄道帯 (zodiac) は 12 の星座 (sign) あるいは 36 のデカン (decan) に分割されていた。およそ 360 日の周期は 12 の星座や 36 のデカンを各々 30 等分あるいは 10 等分することに対応している。バビロニアの 60 進法では 1 度は 60 分に分割され、1 分は 60 秒に分割される。

アレクサンドリアのメネラウス (AD 100 年頃) は 3 巻からなる「球面論」(Sphaerica) を書いている。巻 I では、ユークリッド原論における平面三角形の基礎と類似な球面三角形の基礎を樹立している。彼はユークリッド幾何学に類似物がない次のような定理を樹立している： 2 つの球面三角形はすべての角度が等しければ合同である (彼は合同球面三角形と対称球面三角形を区別していない) 。彼が樹立したもう一つの定理は球面三角形の内角の和は 180° より大きいことである。「球面論」の巻 II は球面幾何学の天文学への応用である。巻 III はメネラウスの定理を含んでいる。彼は更に有名な「6 量の規則」を与えている。

訳注

少し、原文がわかりにくいので、「ボイヤー数学の歴史」を参照しました。

のような図に対して、次が「メネラウスの定理」と呼ばれる式です。(平面幾何学のメネラウスの定理)

しかし、メネラウス自身は最初の図が球面三角形の場合に次の式 (球面幾何学のメネラウスの定理)

を示すことを目的とし、このために最初に平面三角形のメネラウスの定理を証明したとのことです。なお「カッツ数学の歴史」ではアルマゲストのことが解説され、プトレマイオスが (球面幾何学の) メネラウスの定理を使用して、どのようにして、太陽の黄経から、太陽の赤緯、赤経を決定したかを解説しています。この頁の後の方で「中国の数学」の解説がありますが、郭守敬も同じようなことをしていることがわかります。
イスラム世界においても (球面幾何学の) メネラウスの定理を適用する話があとで登場しますが、どうもこれは不自由であったらしく、本当の三角法が開発されていくようです。そこで、少し疑問となり「太陽の黄経から、太陽の赤緯、赤経の決定」には普通の三角法で十分ではないかと考え、このページの末尾に訳注として付け加えることにしました。

後に、クラウディオス・プトレマイオス (Claudius Ptolemy, AD 90 年頃 - AD 168 年頃) は「アルマゲスト」 (Almagest) あるいは「数学全書」(Mathematical Syntaxis) の中で、ヒッパルコスの「円周における弦」を発展させた。アルマゲストは主に天文学の本で、天文学は三角法に依存した。プトレマイオスの弦の数表は、直径 120 の円の弦の長さを角度 n の関数として与えるもので、 n が 1/2 から 180 まで変化し、増分は 1/2 であった。アルマゲストの 13 冊の本は古代すべてにおいて、最も影響があり、最も重要な三角関数の本である。プトレマイオスの弦の計算で中心となった定理は今日でもいまだにプトレマイオスの定理として知られているものであり、これは：円に内接する四角形の対辺の積の和は対角線の積に等しい。

プトレマイオスの定理の特別な場合がユークリッドのダータ (Data) に命題 93 として登場する。プトレマイオスの定理から、sin と cos に関しての 4 つの公式 -- 今日プトレマイオスの公式と呼ばれる -- と同等なことが得られる。もっとも、プトレマイオス自身は sin や cos の代わりに chord (弦) を使用した。

訳注

ユークリッドの「ダータ」(Data) は「デドメナ」とされることがあります。前者がラテン語名、後者がギリシャ語名です。「デドメナ」は東大出版会の「エウクレイデス全集」に含まれています。元々読みにくい本のようで、翻訳でも命題 93 は非常にわかりにくい。解説を読めば
「特別な場合に対してのプトレマイオスの定理と等価である」
としており、更に次のように書いています。
「プトレマイオスは『アルマゲスト』において、この定理を 2 つの弧に対する弦が既知のとき、その差の弧に対する弦を計算するのに使っている。たとえば中心角が 72 度と 60 度の弧に対する弦の長さから、中心角が 12 度の弧に対する弦を計算するのである。」
ここで述べている 4 つの公式とは sin, cos の加法定理のことです。

sin(α + β)	=	sin α cos β + cos α sin β
sin(α - β)	=	sin α cos β - cos α sin β
cos(α + β)	=	cos α cos β - sin α sin β
cos(α - β)	=	cos α cos β + sin α sin β

sin²(x/2) = (1 - cos(x))/2

プトレマイオスはこれらの結果を使用して、三角関数の数表を作成している。しかし、これらの数表がヒッパルコスの本に由来するかどうかは決定することができない。

ヒッパルコスの数表も、プトレマイオスの数表も現存していない。しかしながら、他の古代の著者の記述から、かって存在したことは疑いの余地がない。

訳注：三角法の公式と平面幾何

1. アルキメデスの「折れた弦」の定理と正弦の加法公式

図 1 の絵のように、円の弦 AB, BC が与えられ、BC の長さが AB の長さより大きいとする。点 E が円弧 AC の中点とし、 E から BC におろした垂線の足を D とする。そのとき

折れた弦の定理

AB + BD = DC

図 3 のように、円の中心を O として、O と A, B, E, C を結び、 ∠EBC = x, ∠ECB = y とする。

弧 EC の円周角は x であるから EC = 2 sin x, DC = 2 sin x cos y。弧 BE の円周角は y であるから EB = 2 sin y, BD = 2 sin y cos x。点 E は弧 AC の中点であるから ∠AOB = 2x - 2y, よって AB = 2 sin(x - y)。 AB + BD = DC であるから、

2. ユークリッド原論の命題 12, 13 と余弦定理

以下の図から、ユークリッド原論の命題 12, 13 は余弦定理と同等であることは明らか。

3. 正弦定理に関して

最初に ⊿ABC が直径 1 の円に内接し、∠A = A とすると、BC = sin(A) であることに注意する。これは円周角の定理から直ちに得られる。

次に任意の⊿ABC を考え a = BC, b = AC, c = AB, ∠A = A、∠B = B、∠C = C とする。 ⊿ABC と相似な三角形で直径 1 の円に内接するものがあるため、相似比から直ちに

4. sin, con の加法公式に関して

トレミー (プトレマイオス) の定理とは「円に内接する四角形の対辺の長さの積の和が、対角線の長さの積に等しい」ことであり、これを特別な場合に適用すれば sin, cos の加法公式がすぐに得られる。直径を弦とする円周角は 90° であるが、以下では図に書き込んでいない。(図が煩わしくなるから)

一般的に平面幾何で色々なことが証明されるが、大きさの大小により、図が異なることが多く、場合分けが増えて少しやりにくいが、一応証明自身は単純である。なお最終的な式もギリシャ数学では負の数がないため、引き算は必ず大きい数から小さい数を引かなければならないことも制約とはなるが、これは認識の困難さを意味することではない。

次に三角法が著しく進展したのはインドである。 4 世紀から 5 世紀の影響があった本でシッダーンタス (Siddhantas) と呼ばれるものがあり (これには 5 つの著作があり、その中で最も完全に生き延びたものはスーリャ・シッダーンタ (Surya Siddhanta) である), ここで始めて sin が半分の角度と半分の弦の間の現代的な関係として定義されている。更に、cos, versin, 逆 sin も定義されている (訳注：versin(θ) = 1 - cos(θ), 今日ではほとんど使用されない)。このすぐあとに、インドの数学者で天文学者であるアリヤバータ (Aryabhata, 476 年 - 550 年) はシッダーンタスが展開したことを、収集、発展させて重要な本である「アーリヤバティーヤ」(Aryabhatiya) にした。シッダーンタスとアリヤバータには sin と versin (= 1 - cos) の最も初期の現存する数表が含まれている。数表は 3.75° 間隔で、0° から 90° まであり、精度は 4 桁である。 sin の代わりに jya の用語を使用し、cos には kojya、versin には utkrama-jya、逆 sin には otkram jya の用語を使用した。 jya と kojya の用語はそのうち前述した翻訳ミスにより sin, cos となった。

7 世紀にはバースカラ I 世 (Bhāskara I) は数表の助けなくして、鋭角の sin を計算する公式を得た。彼は sin(x) に関しての次の近似式も得た。これは相対誤差が 1.9% 以内である。

(前述したように、これはそれ以前に知られている。) そして sin を計算するためのブラーマグプタの補間公式が得られている。これ以外で三角法のことを書いたインド人に、 12 世紀のバースカラ II 世がいる。バースカラ II 世は球面三角法を発展させ、多くの三角法の結果を発見している。

バースカラ II 世は sin(a + b) と sin(a - b) の公式を最初に導いた人である：

sin(a + b) = sin(a)cos(b) + cos(a)sin(b)
sin(a - b) = sin(a)cos(b) - cos(a)sin(b)

マーダヴァ (Madhava, 1400 年頃) は三角関数の解析と無限級数展開に初期の進展をもたらした。彼はベキ級数やテイラー展開の概念を発展させ、 sin, cos, tan, arctan のベキ級数展開を得た。 sin, cos のテイラー近似を使用して sin の数表を 12 桁の精度で、cos の数表を 9 桁の精度で計算した。彼はまた、三角関数によって、 π、θ、半径、直径をベキ級数で表した。彼の成果は 16 世紀に至るまで、ケーララ学派 (Kerala School) における彼の支持者により拡張された。

インドの本「ユクティバーシャ」(数学解明, Yuktibhāṣā) にはマーダヴァの sin, cos の展開式の証明と arctan の微分とベキ級数展開の証明が載っている。「ユクティバーシャ」には 2 つの角の和と差の sin, cos を求める規則も載っている。

インドの本は後に中世イスラム世界でイスラム数学者により翻訳されて、拡張された。イスラム数学者の多くはペルシャやアラブ出身であり、多くの定理を明白にし、三角法を完全四辺形 (complete quadrilateral) に依存することから開放した。これによりメネラウスの定理を適用するヘレニズム数学とは異なることになった。 E.S.ケネディー (E.S.Kennedy) によれば、イスラム数学でこの進展があった後で、「真の三角法が登場した。これの意味することは、この時になって始めて、研究対象が、球面あるいは平面の三角形、辺そして角度となったのである」。

インドの業績に付け加え、球面三角法を取り扱うヘレニズムの方法も知られていた。とりわけ、球面問題を取り扱うための「メネラウスの定理」を発見したアレクサンドリアのメネラウスの方法が知られていた。しかしながら、E.S.ケネディーが指摘するように、イスラム数学以前の方法で球面図形の大きさを計算することは可能で、原理的には弦の数表とメネラウスの定理を使用するだけではあるが、定理を球面問題に適用することは事実上非常に困難である。イスラムの暦の中に聖なる日を見出すためには、月の相によって決定する必要があり、天文学者は当初は月と星の位置を計算するためにメネラウスの定理を使用した。しかしながら、この方法は扱いにくく困難であった。このためには、2 つの交差する直角三角形を設定する必要があり、メネラウスの定理を適用することにより 6 つの辺の一つを求めることは可能であるが、このためには残りの 5 つの辺がわかっていないといけない。例えば、太陽の高度から時間を知るためには、何度もメネラウスの定理を適用する必要がある。中世イスラム世界の天文学者にとって、より単純な三角関数の方法を見出すことは明らかな努力目標であった。

級数	名前	西洋における級数の発見とおよその日付
sin x = x - x³/3! + x⁵/5! - x⁷/7! + ...	マーダヴァの sin 級数	ニュートン (1670) ライプニッツ (1676)
cos x = 1 - x²/2! + x⁴/4! - x⁶/6! + ...	マーダヴァの cos 級数	ニュートン (1670) ライプニッツ (1676)
tan^-1x = x - x³/3 + x⁵/5 - x⁷/7 + ...	マーダヴァの arctan 級数	グレゴリー (1671) ライプニッツ (1676)

9 世紀初期にアル・フワーリズミ (Muhammad ibn Mūsā al-Khwārizmī) は正確な sin と cos の数表を作り、始めて tan の数表を作った。彼は、球面幾何学の草分けでもあった。 830 年に Habash al-Hasib al-Marwazi は始めて cot の数表を作った。バッターニ (Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī, 853-929) はセカントとコセカントの相互関数を発見し、1° から 90° まで 1° おきのコセカントの数表を始めて作った。

10 世紀になるまでに、アブル・ワファー (Abū al-Wafā' al-Būzjānī) の本から、イスラム世界の数学者は 6 個の三角関数の全てを使用していたことが分かる。アブル・ワファーは sin の数表を 0.25° 間隔で作成し、これは 8 桁の精度があった。また正確な tan の数表も作成している。彼は次の三角関数の公式も発見している。

sin(2x) = 2 sin(x) cos(x) (プトレマイオスの加法公式の特別な場合)

本の中でアブル・ワファーは次のように述べている『望むのであれば、微小角の sin に cos をかける。その結果は 2 倍角の sin の半分となる。』またアブル・ワファーは和と差の等式を樹立し、完全な証明を与えている。

2 つめの式に関して本では次のように述べている。『2 つの弧の sin に別の微小角の cos をかける。もしも和の sin を知りたければ積を加えればよい。もしも差の sin を知りたければ差を取ればよい。

10 世紀末期から 11 世紀初頭にかけて、エジプトの天文学者のイブン・ユーヌス (Ibn Yunus) も多くの注意深い三角関数の計算をして、次の三角関数の等式を証明した。

アル・アンダルス (Al-Andalus) の Al-Jayyani (989 - 1079) は「球面の弧を求める本」を書いた。これは現代的な形では「球面三角法の最初の専門書」とみなされている。これには、右回りの三角形 (right-handed triangle) の公式、 sin の一般法則、極三角形による球面三角形の解法が含まれている。この専門書は後に「ヨーロッパの数学に大きな影響」を与え、彼の「比を数と定義とすること」や「すべての辺が不明な時に球面三角形を解く方法」はレギオモンタヌスに影響を及ぼした可能性がある。

三角測量の方法は最初はイスラム数学者によって開発され、彼らはこれを測量やイスラム地理学のような現実的な用途に応用した、と 11 世紀初頭のアブー・ライハーン・ビールーニー (Abu Rayhan Biruni) が述べている。ビールーニー自身も地球の大きさや、色々の場所の間の距離を測定する三角測量の技術を導入している。 11 世紀後半にはウマル・ハイヤーム (Omar Khayyám, 1048-1131) は三角関数の数表における補間法により見つけることができる近似的な数値解により三次方程式を解いた。 13 世紀にはトゥースィー (Nasīr al-Dīn al-Tūsī) は三角法を天文学とは独立な数学の分野として始めて扱い、球面三角法を現代の形に発展させた。彼は球面三角法において、直角三角形の 6 つの異なる場合を列挙し、「扇形に関して」(On the Sector figure) の本の中で、平面及び球面上の三角形に関しての正弦定理 (the law of sines) を述べ、球面三角形の正接定理 (the law of tangents) を発見し、これらの証明を与えている。

15 世紀にアル・カーシー (Jamshīd al-Kāshī) は三角測量に適した形で、始めて余弦定理を明示している。フランスでは余弦定理を、いまだに「アル・カーシーの定理」と呼んでいる。彼はまた、正弦関数の関数値の数表を 1° 毎に 4 桁の 60 進数 (10 進では 8 桁) で与え、 1° の 1/60 ごとに差を与えている。同じ頃、ウルグ・ベクも 10 進 8 桁まで正確な sin と tan の数表を与えている。

訳注

ナースィル・アッ・ディーン以降、アラビアの数学は衰退の一途をたどったが、イスラムの貢献についての説明は、15 世紀初頭の一人物の著作に言及しない限り十分とはいえないであろう．その人物アル・カーシー (al-Khashi, 1436 年頃没) は蒙古の征服者ティームールの孫のウルグ・ベク皇太子に庇護を求めていた．ウルグ・ベクはサマルカンドに宮殿をおき、その地に天文台を設けたが、アル・カーシーはそこに集まった科学者の集団に加わった。そこでアル・カーシーはおびただしい数の著作をペルシャ語とアラビア語で書くことによって、数学と天文学に貢献した。

この人物はカーシーの研究を活用し、弧の 1 分毎につき、60 進法で 5 桁までの正弦表と正接表とを計算しているが、表の項目数全体はなんと 5400 にものぼっている。

中国ではアリヤバータの正弦表は中国の数学の本である「開元占経」 (718 年に編纂) に翻訳されている。中国は立体幾何学、二項定理、複雑な代数式などには優れているが、初期の三角法はギリシャ、ヘレニズム、インド、イスラム世界のように広く受け入れられなかった。その代わりに、初期の中国では chong cha として知られる実験的な代用物を使用した。しかしサイン、タンジェント、セカントを使用した平面三角法の実用的な使用は知られていた。しかしながら、中国の未発達の三角法は次第に変化し、宋の時代 (960 - 1279) に前進し始める。この時代に、中国の数学者は暦の科学と天文計算のための球面幾何学の必要性に、より重要性を表明するようになった。博識な中国の科学者、数学者で官吏でもあった沈括 (Shen Kuo, 1031 - 1095) は弦と円弧の数学の問題を解くのに三角関数を使用した。カッツ (Vicotr J.Katz) は以下のように述べている：沈括の公式である「交差する円の技術」において、直径 d, sagita v, 円弧に対する弦の長さを c とすると、円弧の長さ s の近似は次で与えられる。

Sal Restivo は次のように書いている。円弧の長さに関しての沈括の業績は 13 世紀に、数学者で天文学者であった郭守敬 (Guo Shoujing, 1231 - 1316) によって発展された球面三角法の基礎を提供した。歴史学者として、L. Gauchet とジョセフ・ニーダム (Joseph Needham) は次のように述べている。郭守敬は計算で球面三角法を使用し、暦の編成と中国の天文学を改善した。後の 17 世紀に郭守敬の数学的証明の中国の解説があり、この解説に沿って、ニーダムは次のように述べている。

郭守敬は基底四角形を使用している、これは、1 つが赤道の弧で、もう一つが黄道の円弧であり、これと一方が夏至の点を通過する 2 本の子午線の円弧から構成されている。...... このような方法によって、郭守敬は次の値を計算できた： du lü (黄道の角度に対応する赤道の角度)、 ji cha (与えられた黄道の弧の弦の長さ) cha lü (弧が 1 度違った時の弦の長さの違い)。

沈括と郭守敬の三角法における偉業にもかかわらず、中国の三角法に関しての重要な業績がこれ以後 1607 年に至るまで出版されることがなかった。 1607 年には中国の官吏で天文学者であった徐光啓 (Xu Guangqi, 1562–1633) とイタリアのイエズス会士であったマテオ・リッチ (Matteo Ricci, 1552–1610) の共同翻訳による「ユークリッド原論」が出版された。

1342 年にゲルソニデス (Gersonides) として知られるレヴィ·ベン·ゲルション（Levi ben Gershon) は「正弦と弦、そして弧について」(On Sines, Chords and Arcs) を著し、平面三角形の正弦法則を証明し、5 桁の sin の数表を与えている。

単純化した三角関数の数表トレタ・デ・マルテロイオ (toleta de marteloio) が航路を計算するために、 14 世紀から 15 世紀にかけて、地中海の船乗りによって使用された。この方法は 1295 年にマヨルカ (Majorca) のライムンドゥス・ルルス (Ramon Llull) によって記述され、 1436 年に、ベニスの船長アンドレア・ビアンコ (Andrea Bianco) によって地図帳に掲載された。

レギオモンタヌス (Regiomontanus) は恐らくヨーロッパで三角法を異なる数学の分野として扱った最初の数学者である。 1464 年に書かれた「あらゆる種類の三角形について」 (De triangulis omnimodus) で、このように扱われ、後年の Tabulae directionum でもそうなっている。後者においてはタンジェントが命名されずに使用されている。

コペルニクス (Copernicus) の弟子であったゲオルク・レティクス (Georg Joachim Rheticus) の著作「三角法の宮殿」(Opus palatinum de triangulis) の中で、恐らくヨーロッパで最も最初に円の代わりに直角三角形によって、三角関数が定義された。この本には 6 つの三角関数全ての数表が含まれていた。この仕事はレティクスの弟子であったヴァレンティン・オト (Valentinus Otho) によって完成した。

訳注

「弟子」の訳語を使用していますが、原文では student (学生) です。従って、徒弟制の下における弟子ではないようです。
ティコ・ブラーエは微小円弧に対して、横断線を使用することの正当性を主張する際にレティクスの 10 桁の sin の表を使用しています。 (ティコ・ブラーエの観測装置の装置の再分割と照準板に関しての補遺を参照。)
ティコ・ブラーエ以後の三角関数の主な発展はテーラー展開にあります。テーラー展開を使用すれば、三角関数の数値計算が、従って表の作成が容易となります。しかしティコ・ブラーエは三角関数の表を使用しているだけですから、三角関数の使用に関しては現代の使用とさほど変わらない条件で使用できたと思われます。ティコ・ブラーエに可能であったと思われる訳注 3, 4, 5 の計算を見てみれば当然このような結論が得られるはずです。そして、このような条件下で始めて精密な観測結果を残すことができ、ケプラーの法則につながることになるようです。
「ボイヤー数学の歴史 3」の p 35 によると「レティクスが正接と正割の表をつくり始めていたが、完成を待たずに没したため、それは弟子のヴァレンティン・オト(Otho, Valentin, 1550～1605 年頃) による加筆・編集のうえ、1596 年に完成している。」

17 世紀には、アイザック・ニュートン (Isaac Newton) とスターリング (James Stirling) は三角関数に関しての「一般化されたニュートン・スターリングの補間公式」を開発した。

18 世紀には、レオンハルト・オイラーの著作「無限解析入門」(Introductio in analysin infinitorum, 1748 年) はヨーロッパで三角関数の解析的取り扱いを確立したものであり、このような取り扱いは、その大半がこの本によっている。この本では、三角関数を無限級数として定義し、オイラーの公式

e^ix = cos x + i sin x

を提示している。オイラーは近世 (near-modern) の省略形 sin, cos, tang, cot, sec, cosec を使用した。これに先立って、ロジャー・コーツ (Roger Cotes ) は「調和計量」(Harmonia Mensurarum, 1722 年) で sin の微分を計算している。

このページの冒頭で用語としての sin がどのようにしてできたのかが分かりますが、それ以外の cos, tan, cotan 等がいつどのようにしてできたのかが分かりません。そこで、これを調べてみることにしました。直ちに次がヒットしました。これは出版年が古くなったため著作権がすでに消滅しているものです (Google によってデジタル化された本です)。

画像ファイルも見ることができますが、テキスト変換したものも読めます。テキスト変換したものは、所々誤変換していますが (発音記号など)、それでも読め、検索エンジンでヒットしたのはテキスト変換したページでした。画像では検索エンジンでヒットしないし、テキストではページ内を検索することもできます。 Google によるデジタル化の恐るべき威力を目の当たりにすることになりました。

幾つかの箇所を翻訳してみましょう。以下すべて umbra versa で検索して登場した箇所です。

p 105

バッターニ (Al-Battani) はプトレマイオスの忠実な支持者であったが、その通りに従ったわけではなかった。彼は良くするために重要なステップを歩んだ。彼はプトレマイオスの「弦」(cord) の代わりに、インド人のサイン、すなわち「半弦」 (half cord) を導入した。彼はコタンジェントの表を作成した最初の人である。彼は水平日時計、垂直日時計を扱い、「水平の影」 (ラテン語の翻訳では umbra extensa) と「垂直の影」(umbra versa) を考察した。これらは (後に) コタンジェント、タンジェントと呼ばれるものである。前者はラテン語の翻訳家により、umbra recta と呼ばれるようになった。バッターニは恐らくサインの法則を知っていたであろう。ビールーニ (Al-Biruni) に知られていたことは確実である。

次が umbra versa と umbra recta です。棒の影の長さで、棒の長さを 1 にすると、それぞれ tan(α), cot(α) となります。「カッツ、数学の歴史」の原文から判断をすると、「水平の影」は元々単に「影」と呼ばれ、「垂直の影」は「逆の影」と呼ばれたようです。

umbra は英和辞書に載っています。英語ではアンブラと読み、umbrella (アンブレラ、傘) の語源です。

p 132

レギオモンタヌス (Regiomontanus) は高い精度を確保するために、半径を 600000 の部分に分割してサインの表を完成し、一方で半径を 10 進的に 10000000 に分割した表も作成した。彼は師の幾つかの考えにしたがい、タンジェントの表を作成した。この関数 (tan) を使用したのはドイツの数学者が最初ではない。英国では 1 世紀も前にブラッドワーディン (Bradwardine) に知られており、タンジェント (umbra versa) とコタンジェント (umbra recta) のことが書かれており、又、ジョン・モーディス (John Maudith) にも知られていた。もっと以前の 12 世紀にも、クレモナのジェラルド (Gerard of Cremona) が「トレドの表」をアラビア語からラテン語に翻訳した時にも umbra versa と umbra recta が使用された。「トレドの表」とはアッ＝ザルカーリー (Al-Zarkali) が著したもので、彼は 1080 年頃トレドに住んでいた。

訳注：元の本に書き込みをした奴がいて、1080 の 8 の部分が少し読めなくなっています

p 151

ガンター (Gunter) はコサインとコタンジェントの用語を発明した人である。
コサインの用語は「余角のサイン」(complemental sine) の省略である。タンジェントとセカントの用語を発明したのは、フレンスブルク生まれの医者で数学者であったトーマス・フィンク (Thomas Finck) で、彼の著書の「円形幾何学」(Geometria rotundi, Basel, 1583 年) で使用した。ガンターは技術者にはガンター氏測鎖 (Gunter's chain) で知られている。

「カッツ数学の歴史」の p 175 から p 176 にかけて、プトレマイオスが球面三角法を使用して「太陽の黄経から、太陽の赤経、赤緯」を求めていることが記述されています。

以下、三角法のみを使用して「太陽の黄経から、太陽の赤経、赤緯」を求めてみましょう。

地球は太陽のまわりをまわっているのですが、見かけ上は太陽が地球のまわりをまわっており、太陽から地球を見た場合の動きと点対称に動きます。間違いやすいので黄道の絵を参考にして絵を描いております。

図において、O が天球の中心で、A が太陽の位置、扇形 OAC の定める平面が黄道面、扇形 OAB の定める平面が子午線の平面、扇形 OBC の定める平面が赤道面とする。従って C が春分点です。なお、弧 AC は黄道の一部、弧 BC は天球の赤道の一部です。 ABC が球面三角形となりますが、ここではこれを使用しません。

このとき、太陽の赤緯は∠AOB, 赤経は∠BOC, 黄経は∠AOC となる。赤緯を α, 赤経を β, 黄経を γ とする。

A から赤道面に垂線を下ろし、その足を H とする。子午線の平面と赤道面は直交しているので H は OB 上にある。更に、H から OC に垂線を下ろし、、その足を K とする。証明したいことは∠AKO が直角であることです。

構成法から AH は赤道面に直交しています。従って、AH は赤道面の任意の直線と直交し、特に線分 OK と直交する。 AH と HK は OK と直交するから、⊿AHK の定める平面は OK と直交する。よって AK は OK と直交する。これが証明したいことでした。

従って天球の半径を r とすれば AK = r sin γ, OK = r cos γ となる。直角三角形 OHK を考えれば、HK = OK tan β = r cos γ tan β を得る。一方で、図から AH = r sin α となる。 ⊿AKH の定める平面と OK が直交しているから、 ∠AKH は黄道面と赤道面の成す角 (=地軸の傾き) で、これを δ とする。 ⊿AHK は∠AHK を直角とする直角三角形なので, 次の関係式が得られる。

r sin α =	AH	= AK sin δ = r sin γ sin δ
r cos γ tan β =	HK	= AK cos δ = r sin γ cos δ

δ=23.43° ですから、これで γ から α, β が決定できることになります。整理をすると

式 P

α = 赤緯、β = 赤経、γ = 黄経、δ = 地軸の傾き = 23.43°、とすると

sin α	=	sin γ sin δ
tan β	=	tan γ cos δ

これは「カッツ数学の歴史」(共立出版, p 175 - p 176) におけるプトレマイオスの結論と一致しています。

3 次元空間の直線 L と平面 S を考え、S 上の一次独立なベクトル u, v を与える。このとき、 L が S と直交するためには L が u, v と直交することが必要十分である。

以上をまとめると、太陽の黄経から、太陽の赤緯、赤経が三角法のみで決定できることがわかり、球面三角法を使用しなくてもよいことがわかりました。三角法の歴史には球面三角法が必ず登場するようですが、現在の形に三角法が整理されていれば、あえて球面三角法が必要でないのかもしれません。

プトレマイオスの結論 (式 P) から、次のこともわかります。太陽の南中時の太陽の高度を h とし、測定地点の緯度を z とすれば太陽の赤緯 α は次で与えられます。

式 P の最初の式から太陽の黄経 γ が決定できます。これで太陽の黄道上の位置が正確に決定できたことになります。なお、時間と角度を同一視すれば、子午線の赤経 β は (地方) 恒星時に一致するので、式 P の第 2 の式から恒星時も同時に決定されます。

夏至や冬至に近い時には無効 (地軸の傾きがわかる)

以上の方法は γ が ±90° に近い時 (つまり夏至や冬至に近い時) には有効ではありません。

α = sin^-1((sin γ)・(sin 23.43))、　　(-90≦x≦90)

グラフの左右の端は γ=±90 の点です。このあたりでは α がほとんど変化しないのです。数値で見てみると次のようになります。

太陽の黄経は 1 日あたり、1° ほど動きますから、それに応じた赤経 α の変化がおよそわかります。上の数値は角度の単位は「度」なので、60 倍すると「分」になります。分の単位で判別がつくのは、夏至あるいは冬至の 4 日前から 3 日前までの変化までだと言うことがわかります。

γ	α	α の差
90.0	23.430
89.0	23.426	0.004
88.0	23.415	0.011
87.0	23.396	0.019
86.0	23.370	0.026
85.0	23.336	0.034

なお夏至・冬至の時期には太陽の赤緯はほとんど変化しないので、逆に地軸の傾きや緯度を測定できます。夏至の前後では赤緯がほとんど変化しないので、夏至の前後で太陽が南中するときの高度を夏至の時の太陽の赤緯と思ってよく、これで夏至の時の太陽の赤緯がわかります。同様にして、冬至の時の太陽の赤緯がわかり、これで地軸の傾きと緯度が決定できます。これは al-Khjandi の方法です (天文用六分儀を参照)。緯度の決定は北極星の高度を測定する方が簡単に見えますが、裸眼による角解像度は 1 分なので望遠鏡がなければ、これより高い精度で緯度を決定することができません。一方、太陽の影あるいは像を観測すれば、1 分よりも高い精度で決定することができます。

なお、地軸の傾きを角度の秒の単位で測定しようとした時に al-Khjandi の方法には問題が出てきます。それは冬至・夏至の前後で赤緯が変化しないと言っても多少変化するからです。例えば冬至の前後の観測から、ある日の太陽の南中時にはまだ冬至点に達しておらず、翌日の太陽の南中時にはすでに冬至点を過ぎていることがわかったとします。黄経が 1 日あたり、1° ほど増大するため、冬至点における赤緯の決定で最も都合が悪いのは冬至点の直前の太陽の南中時における太陽の赤経がほぼ 89.5° で冬至点の直後の太陽の南中時における太陽の赤経がほぼ 90.5° の場合です。この前後の γ、α の値を表にすると次のようになります。

冬至点の前後の太陽の南中時における太陽の赤緯は 23.4291° となり、 0.0009° の誤差があり、秒に直すと 3.2'' の違いとなります。しかし、1 年の長さが 365 日と 1/4 日に等しいことを知っていれば、翌年にもう一度冬至の前後に観測すれば、冬至点の直前の太陽の赤経はほぼ 89.75 ° になるはずで、0.0002° の誤差で、秒では 0.720'' となります。しかし、丸めると 1'' の誤差となります。より精密にする方法はあると思われ、その 1 つの方法を後で議論します。 (郭守敬による 1 年の長さの求め方)

地軸の傾きはなるべく高精度に決定しないといけません。これは春分点・秋分点の決定に重大な影響を及ぼします。

春分や秋分に近い時には有効 (1 年の正確な長さ)

以下の目的

1 年の正確な長さを決めるには、正確な歴史が記述されていれば十分です。ヨーロッパではグレゴリー暦が制定される前はユリウス暦が使用され、ユリウス暦では 1 年が 365 + 1/4 日でした。しかし、これでは 400 年の間に 3 日進んでしまい、グレゴリー歴が制定される頃には 10 日進んでいました (春分が 10 日速く起きた)。だから、ここから暦を正常にすることは極めて容易なことになります。以下、どのようにして天体観測のみで 1 年の長さを決定できるのかを調べ、基本的には式 P を評価することのみであることを確認します。なお、以下では 1 太陽年を春分点から春分点までの期間とします。春分点は移動するためこれは正確ではないのですが、古代の考え方をたどるにはこの方が都合がよい。なお地軸の傾きを高精度で決定するには一応問題がありそうですが、これはすでにできていると仮定します。

春分や秋分に近ければ、太陽の高度を分の精度で観測すれば、太陽の赤経が分の精度で決定できます (式 P)。従って角度を時間で読み換えれば、恒星時を 4 秒の精度で決定できます。

24×60×60 秒	=4 秒
360×60

精度が非常に高いように思われますが、実は 1 年の正確な長さを決定するには、これでは不十分なのです。太陽は 1 日あたり、赤経で 1° 弱移動します。そのため、太陽が春分点に到達する正確な時刻 (何時何分) を決定するには 1° を 24×60 で分割する必要があります。つまり

(1/(24×60))° = (60×60/(24×60))'' = (60/24)'' = 2.5''

を測定できないといけないのです。通常は、これを測定できないので、何年か、あるいは何十年かの観測で決定しないといけなくなります。もう少し詳しい議論をしましょう。

式 P だけを見ていると感覚的に捉えにくくなるので、角度 γ が非常に小さい時にどうなるかを考えます。この場合には ⊿AKH は球面三角形 ACB にほぼ一致します。天球の半径を 1 とし、角度をラジアンで表示すれば

弧 AC の長さ	= γ
弧 AB の長さ	= α
弧 CB の長さ	= β

ラジアンによる表示と角度による表示は比例していますから、次が得られます。

γ が小さい時の式 P の近似

α	= γ sin δ
β	= γ cos δ

太陽が春分点を通過した直後を考えましょう。黄経 γ は 1 日あたり、1° (= 60') 弱増加します。 δ = 23.43° ですから, α の 24 時間当たりの増加は次のようになります。

(sin δ)° = (60 sin δ)' = 23.8577...'

この値は 24 弱なので、太陽が春分点の通過直後は赤緯 α は 1 時間当たり 1' (= 1/60°) 弱の速度で増加します。従って 1' を観測できる壁面四分儀があれば、太陽が春分点を通過した後の最初の太陽の南中時における太陽の高度から、太陽が何時間前に春分点を通過したのかを計算できます。ティコ・ブラーエの壁面四分儀のように (1/6)' を観測することができれば、 10 分単位で太陽が春分点を通過した時刻を決定できます。

無論角度の秒が測定できれば、1 分単位で太陽が春分点を通過した時刻を決定できます。恐らくは、これを目的としてイスラム世界の巨大な壁面六分儀が製造された。 (天文用六分儀を参照。)

1 年の正確な長さを求めるには、ある年に春分の数日前から太陽の南中時に太陽の高度の観測を始めます。最初の頃は太陽の赤緯が負ですが、ある日の正午に太陽の南中時に赤緯が正となります。 (つまり太陽が天球の赤道面を通過した。) この時に、太陽が春分点を通過したのが何時間前か決定できます。同じことを、翌年の春分の時に繰り返せば、1 年の長さを恒星時で決定することができます。 N を 1 年の恒星日とすれば、

1 年の太陽日 = N × (N-1)/N = 365.242...

のような数値が得られるはずです。 N は次のようにすれば計算できます。

一年の長さの測定法

ある年に太陽が春分点を過ぎた後の最初の南中時に、太陽が m 時間前に春分点を越えたことが観測され、翌年にも同様な観測を行い、m 時間の代わりに n 時間が観測されたとします。 n＞m 　(あるいは n＜m) であれば N = 366 + (n-m)/24 　　(あるいは　 N = 366 + (24 + n -m)/24)

このように計算できるのは、 1 年の恒星日は 1 年の太陽日に 1 日加えた数値なので、 1 年は恒星日では 366 日 + 端数だからです。

1 年 = 365.25 日 - 11 分

1 分 (= 1/60°) の精度しかない壁面四分儀では、端数の 11 分が観測できません。ティコ・ブラーエの壁面四分儀では 1/6 分の精度で観測でき、また 1/6 分の半分の角度も認識できたそうですから、端数の 11 分までは得られなくても、およそ 10 分 (あるいは 10 分以上15 分未満) の数値が得られそうです。

なお当然のことですが、観測の期間を長くすれば (例えば 1 年の代わりに 6 年にすれば) 精度が上がります。

しかし、プトレマイオスは 1 年の長さを決定するのに以上の方法は使用せずに、歴史上の春分の日付から、1 年を推測しており、間違った結論になっています。これはグレゴリー暦が定められた時とかなり事情が違っています。プトレマイオス以前の暦は恐らく何度も変更されて、実際の経過年月日を正確に追跡できなくなっていたのだと思われます。

プトレマイオスは式 P を知っており、おそらくその近似式も知っていたと思います。しかし、以上の議論を精密にして、正確に 1 年の長さを決定するためには角度の秒が測定できないといけません。だからこの方法を採用しなかった。

プトレマイオス自身が式 P により、正確な 1 年の長さを決定しなかったにせよ、巨大な装置を作って、式 P を利用しようとする人が現れても不思議ではありません。そして、恐らくこの理由から巨大な壁面六分儀がイスラム世界で製造されたのだと思われます。詳細は天文用六分儀を参照のこと。

上の議論ではわずらわしさを避けるために式 P の近似式を使用しましたが、実際に 1 年の長さを決めるためには、式 P を使用した方がよいと思います。

1 年の正確な長さ -- もう少し厳密な議論

正確な 1 年を決定するために、春分点を正確に決定する必要がありますが、これは困難です。太陽が赤道面を通過する時 (春分点を通過する時) は、一般に太陽が南中してから次に南中するまでの中間に起きる。このときの時間を決めるために次のことを考える。

24 + β₂ - β₁ 恒星時　　　(1 度 = (24/360) 時間)

である。太陽が I から II まで動く時に、黄経の増大量が時間によって変化しないとすると、 II が起きた時点で、太陽が春分点を通過してからの経過時間 m は次で与えられる。

m = (24 + β₂ - β₁)

γ₂

γ₂ - γ₁

　恒星時

上の数値で β₂ - β₁ と γ₂ - γ₁ は、春分点においてほぼ一定と思われる数値で、γ₂ のみが観測のたびに変化する値です。 γ₂ - γ₁ は春分点における太陽の黄経の 1 日あたりの増分で、これは観測により別途予測がつくかもしれないし (例えば春分の前後数日間の平均を取る)、前項で考えた近似を適用すれば

β₂ - β₁≒(γ₂ - γ₁) cos δ

となる近似式も得られるので、これも利用可能かもしれない。

もしも精密な時計があれば、24 + β₂ - β₁ は別途測定可能で、この測定には江戸時代の垂揺球儀 (すいようきゅうぎ) で十分です。

以上のように考えると γ₂ の観測精度が問題となる。観測装置が巨大であれば γ₂ は簡単に求めることができるかもしれません。そして、この理由から古代のイスラム世界で巨大な壁面六分儀を太陽の観測に使用した可能性があります。しかし、観測装置を単純に巨大にしても精度が上がらない可能性がある (天文用六分儀を参照) ので、以下では精度が 1 分程度の四分儀を使用する場合を考えることにします。

直接観測されるのは南中時における太陽の赤緯であり、ここで誤差が生じる。誤差がどれだけになり得るかは次のような計算をすれば分かる。

γ を 1' から 60' まで 1' 間隔で変化させて、誤差 γ - γ' を出力すると次のようになる。β - β' に関しては出力していない。

見てわかるように、精度 1' の装置では誤差が 1' を越えることがある。しかし、このような場合は α の少数以下が 0.5 に近い所なので、目盛の半分を読みとれば誤差を 1' 以下 (ひょっとして 0.5' 以下) にできそうである。 (これは経験的に知られていることだと思う。上で計算機で計算をしたのはこのような経験知を得たいためであった。) 精度 (1/6)' の装置では誤差はほぼ (1/6)' 以内である。精度が (1/6)' の装置ではかなり有利となるので、以下では精度が 1' の装置 (江戸の大象限儀) を考えよう。

太陽の黄経の変化は 1 日あたり 1° 程度なので、1' の誤差はその 1/60 程度となり、時間にして

24/60 時間 = 24×60/60 分 = 24 分

である。従って、1 年後の春分に再度観測した場合の差を考えれば、誤差は最大で更にこの倍の 1 時間程度となる。従って、1 年の正確な長さを測定しても、正確な長さ

1 年 = 365.25 日 - 11 分

の 365.25 日ぐらいまでは可能性があるが、端数の 11 分を観測することが困難である。間隔を 1 年の代わりに 2 年にすると誤差は半減するが、端数の 11 分を測定するにはかなり長期間の観測が必要である。

なお秋分点でも春分点の時とほぼ同じことが起きると想定される (つまり太陽の春分点と秋分点の角速度は同じ程度と想定される) ので、秋分点でも同様に観測すれば、チャンスが倍増することが確実です。

観測回数を増やして平均を取れば精度は確実に向上します。あたりまえですが、念のため次の事実の証明を付け加えます。

これが横にいくつも並んでいるわけです。長さ y の棒をランダムに置いて、両端の位置を四捨五入してその差を取ることにします。長さ y の棒の左端が区間 A にあれば、両端の物差しにおける値は共に切り捨てられて差が 0 になります。長さ y の棒の左端が区間 C にあれば、再び差が 0 になります。長さ y の棒の左端が区間 B の内部にある場合のみ、左端が切り捨てられ、右端が切り上げられて、差が 1 となります。従って、何度も繰り返し試行した時の平均の長さは、基準の長さ×(y/x) となり、これは y に等しくなります。これが知りたかったことです。

アストロラーベの製造においても、太陽の黄経から太陽の赤経を求める必要があり、これにより黄道の分割をすることが可能となります。詳しいことは、アストロラーベの訳注：アストロラーベの作り方を参照のこと。

以上から判断すれば、太陽の黄経から赤緯と赤経を求める方法は古代の天文学では極めて基本的なことだったことがわかります。

郭守敬による 1 年の長さの求め方は以上の方法とは違っています。正確なことはわかりませんが、断片的な情報から推測してみました。この方法では三角法は必要なく、また誤差の評価もできませんが、一応 1 年の長さを求めることは可能です。

この方法を適用すると地軸の傾きを角度の秒の単位で正確に求めることができ、 1 年の長さを求める時の議論で不足していた部分を補うことができます。

蒙古による侵略はクビライの下で継続し、 1276 年には上海の南の現在の杭州市を奪取した。何年もの間、改暦の必要性が理解されていたが、クビライはこの時期に新しい暦を導入することの政治的な利点を認知していた。それは新政権が旧政権に取って代わることを強調するからである。助言を求められて、郭守敬は次のように説明した：

... 基本的な方法は天文の変化の領域において観測と試行を実施することである。

郭守敬は Wang Xun と共に新しい部署を設置して、必要な研究をして新しい暦を作るための提言をすることとなった。正確な暦は、根拠として使用される天文学のデータの質に依存し、郭守敬が最初にしようとしたことは 17 台の天文装置を製造することであり、これにより正確なデータが収集された。 17 台の装置のうちの 13 台はクビライの首都である大都 (Dadu, 現在の北京) の天文台に設置され、残りの 4 台は携帯用のもので、色々な場所で観測するためのものであった。

そのような装置の製造において郭守敬がした改善点を手短に述べておこう。もっとも単純な装置はノーモンで真っすぐに立ち上げた棒であり、影の長さを計る以外のものではなかった。 1 日における影の最短の長さは夏には短く、冬には長くなり、夏至には影の長さは減少から増大に転じ、冬至にはその逆となる。この時期を容易に決定するために、郭守敬はノーモンの上部に横棒を固定し、ピンホールカメラの原理を利用して、ノーモンの影を目盛り板に落とした。

クビライは 1279 年に北京に天文台を設置した。建設はこの年の 3 月に始まり、郭守敬の提言したデザインに基づき 2 ヵ月で完成した。郭守敬の友人である Zhang Wenqian が長官に任命され、郭守敬と同僚の Wang Xun は副長官に任命された。観測装置から収集されたデータを意味あるものにするためには球面三角法の知識が必要であり、郭守敬は幾つかの注目に値する公式を考案した。以下で、新しい暦の計画を着手する上で郭守敬が導入した巧妙な数学を見ることにする。

仕事は 1280 年までに完成し、郭守敬は 1 年の長さを 26 秒の誤差で計算した。翌年にクビライはこの極めて正確な暦を導入し、これは 364 年間使用され続けた。.....

太陽の南中時における太陽の影の長さを測定すれば太陽の赤緯が計算されますから、これで郭守敬が何らかの装置を製造したことがわかったのですが、その装置がどういうものかは以上の記事を読んだだけでは不明で、このまま放置しました。この装置がどういうものであるか、偶然にわかることになりました。中国語版の Wikipedia の北京古観象台のページ ( 北京古观象台) には英語版の北京古観象台にはない写真があります。

中国語の Wikipedia には、この各々に対応した項目があり、文章を全部読むことはできませんが、郭守敬の名前だけは読み取ることができ、中国の天文学の外国の影響 / イスラムの天文学における次の記述に対応しているものと思われます。

この後まもなくして有名な中国の天文学者である郭守敬により建造された天文装置の幾つかは、マラーゲの装置に形が似ていた。特に Gaochen 天文台 (登封観星台) における簡略渾天儀【訳注：簡儀のこと】と大きな日時計がイスラムの影響の痕跡を示している。 1281 年の授時暦の作成において、郭守敬の球面三角法の本はイスラム数学に部分的に影響されている可能性がある。

観測装置が登封観星台にあるように記述され、少し妙に思われますが、次の北京古観象台における記述から理由がわかります。

1279 年には、金を滅ぼしたモンゴルはクビライの支配のもとで、現在の天文台のすぐ北に新しい天文台を建設した。モンゴルの滅びた後に、明の創始者である洪武帝は装置を北京から南京に運んだ。永楽帝が権力を握ると、職人たちに南京の装置の複製品を作らせた。そして、複製品を北京の天文台で使用させた。

つまり北京古観象台の装置は登封観星台にある装置の複製品なのです。いずれにせよ、郭守敬が授時暦の作成においてマラーゲ天文台 (1259 年から 50 年ほど継続) の影響を受けていると思われ、その 1 つがノーモン (あるいは日時計) と思われます。(説は色々あるが、イスラム天文学と中国天文学の交流があったことは確実)

装置の概略とその背景を知ることができましたが、これだけでは仕組みを理解できません。そこで思い余って日本語で「圭表」を検索した所、思いもかけずにヒットしました。次のページです。

うまいことしている。ノーモンのトップの横木 (横梁) の影は半影の理由から不鮮明になりますが、影を落とす盤面の直前に、横木の幅と等しいスリットを入れた板 (景符) を挿入することで、ピンホール・カメラの原理を使用して像を鮮明にしている。恐らく、このスリットを入れた板は前後に少し移動して、像が一番鮮明になる位置を探す必要があるのではないかと思われます。目盛りはそのあとで読み取る。

これでようやくマック・チューターの記述がわかり、郭守敬が発明した装置がどのようなものであるかが、わかりました。「圭表の紹介」には、これが郭守敬の発明によるものとは書いてありませんが、これはマック・チューターの記述と中国語版の北京古観象台の圭表の写真から、ほぼ自明なことです。

「圭表の紹介」によると「圭表」の高さが約 9 m としてある。また北京古観象台の写真から判断しても、これよりそれほど大きいとは思えない。冬至には角度の 1'' が観測できるとしている。

さて郭守敬が球面三角法で達成した随分顕著な仕事と方程式の解法を見てみよう。彼は三角形 -- 二辺が直線で一辺が円弧 -- に関しての幾つかの公式を作った。これらの公式は近似式で、郭守敬は近似式であることをよく理解していた。ある意味では近似は中国では重要視されなかった。中国人は古代ギリシャの円の正方形化のような問題を決して考えることがなかった。というのは中国人は現実的で、公理的ではなかったからである。

AO = OB = OC = d/2
円弧 AB = 円弧 BC = a
NB = x

図において d は円の直径、a は円弧 AB の長さ、x は NB の長さで、郭守敬は x を決定しようとした。彼は次のような近似式を与えている。

x⁴ + (d² - 2ad)x² - d³x + a²x² = 0

この方程式を解くのに郭守敬はホーナー法と類似な数値的な方法を使用している。方程式には 2 つの実根があり、小さい方が問題の解で、大きい方は円弧の長さより大きいので棄却された。

この公式には魅惑的な事実があり、興味をそそられ調べたくなります。方程式の 2 つの係数、すなわち定数項と x² の係数には円弧の長さ a が含まれ、これには π の値を選択する必要がある。郭守敬は π = 3 としている。一見すればこれは妙なことである。というのは、例えば ²²/₇ はもっと正確な値として知られており、祖沖之による ²⁵⁵/₁₁₃ は更にもっと正確であることが知られていた。何故、郭守敬は π = 3 を選んだのであろうか ? 驚くことに、π のより正確な値よりは、この方がより正確な解を与えるからである。というのは公式はそれ自身、近似に基づいているからである。信じる必要がある点は、郭守敬が π = 3 を選んだのは、点 O における色々な角度に対して実際に直接測って知っていたからである。

数式処理システム (computer algebra system) を使用してみよう、こうすれば論点が明らかとなる。値は、半径が 100 の円で、90° までの増大する角度を計算したものである。最初のカラムは郭守敬の公式に、正確な現代の π の近似を適用した時の x の値であり、第二のカラムは π = 3 で公式を適用した時の値である。第三のカラムは三角法 (つまり余弦) を使用した時の正しい解である。

π= 3.141592654	π= 3
1.24018313	1.13043117	1.2311659
5.02134529	4.57325602	4.8943483
11.4521976	10.4253695	10.8993475
20.5459874	18.7159078	19.0983005
32.0790854	29.2893218	29.2893218
45.5479024	41.7514260	41.2214747
60.2936574	55.5434416	54.6009500
75.7085631	70.1045733	69.0983006
91.3723645	85.0063893	84.3565534
107.0799476	100.0000000	100.0000000

郭守敬は暦の計算に他にも抜け目のない数学的方法を使用している。彼はデータ・ポイントの間を補間しており、これを三次の補間公式でしている。この補間が必要とされる理由は、太陽の一年における動きが不規則だからである。これは 6 世紀に中国の天文学者により発見されている。郭守敬は累積した違い -- 即ち太陽が 1 日で動いた距離と動きが一定であった場合の角度の違い -- を注目した。彼は次に、累積した違いにおける一次、二次、三次の差分を表にした。これはニュートンの前進差分と似るものである。【訳注：ニュートン補間を参照】

三角関数に関しては、郭守敬は面白いことをしているかも知れませんが、精度が貧弱であることがわかります。一番最後の段落には、暦の計算に郭守敬が三次式による補間をしていることが書かれています。少し解説します。

三次式による補間

今、不明な一変数実数値関数 g(x) が与えられ、相異なる a_i (i = 1,2,3,4) における値がわかっているとします。 g(a_i) = c_i　　　(i = 1,2,3,4) このとき、 f(a_i) = c_i　　　(i = 1,2,3,4) を満たす 3 次多項式 f(x) が唯一つ定まります。この f(x) のことを g(x) の三次式による補間 (単なる近似のこと) といいます。 (多項式補間をする方法は色々あり、ニュートン補間もその一つです。) 経験的には、f(x) のグラフは g(x) のグラフに近くなります。

α = sin^-1((sin γ)・(sin 23.43))、　　(-90≦x≦90)

冬至点の直前 2 日間の太陽の南中時における太陽の高度と、冬至点の直後の 2 日間の太陽の南中時における太陽の高度から、それぞれの時点における太陽の赤経が定まります。これによって、太陽の赤経 α を γ の関数とみなした関数の三次補間 α = h(γ) を決めることができます。但し h は三次式です。これにより、この区間における α の最小値 (高校数学の極小値) とそれを与える γ を決めることができます。

以上の事実は高校の微分積分の範囲で扱われることですが、微分積分を使用せずに「α の最小値とそれを与える γ」を決定することができます。但し、極大・極小の概念は必要です。

定理

y = f(x) は極大値・極小値を持つ三次関数とする。このとき x --> ax + b, y --> cy の変換をすることで、

f(x) の二次の項を消すことができ f(x) = x³ - dx + e (d > 0) の形に変形できる。
この時 x =±(d/3)^1/2 において y = f(x) は極大、もしくは極小となる。

証明： 1 に関して。二次の項を消して f(x) = x³ - dx + e の形にすることができることは明らか。問題は d > 0 であることである。もしも d < 0 であれば、 y = x³ と y = -dx は常に増大する関数で、この 2 つのグラフを加えることで得られる y = x³ - dx のグラフも常に増大する。これは y = f(x) が極小値を持つことに矛盾する。

2 に関して。 t を定数とし、δ を微小変動量とし x = t + δ と置くと

f(t + δ)	=	(t + δ)³ - d(t + δ) + c
	=	(t³ + c) + δ(3t² - d) + (δ の 2 乗以上の項の和)

δ は微小量であるから、例えば 0.01 のような数値で δ の 2 乗以上の項は、 δ よりもはるかに小さな数となり、これは無視できる。よって微小量 δ が変動する時に 3t² - d が 0 でなければ、上の値は t³ + c より増えたり、減ったりする。従って、極大もしくは極小となるためには 3t² - d = 0 でなければならない。

以上のようにして、確かに太陽の赤経が最小となる時刻を決定できます。但し、三次補間では精度が保証されません。

以上が、郭守敬のおおよその方法と思われます。郭守敬は赤緯を黄経の関数とみなさずに、影の長さを時間の関数とみなした可能性もあります。郭守敬の三角関数がかなり貧弱なので、この方法の方が高いかもしれません。

郭守敬による方法で、最も問題がありそうな部分は冬至点の前後 6 時間では赤経の変動が角度の 1 秒以下である点にあります。このため冬至点の直前・直後における太陽の南中時の高度のわずかなエラーが冬至点 (赤経の最小点) の決定に影響する可能性があります。おそらくグラフの形状には目に見えた変動がないと思いますが、わずかなことで極小を与える黄経の値が変化しそうです。但し、極小値は多分あまり変化しないと思われるので、冬至点における太陽の赤緯は正確に求めることができると思われます。圭表では冬至にしか使用できませんが、壁面六分儀 (ファフル六分儀) では夏至の時にも使用でき、夏至点における太陽の赤緯も正確に求めることができると思われるので地軸の傾きも正確に求めることができます。

南中時の太陽の高度から黄経を求める方法で「1 年の正確な長さ」を求める可能性のある 1 つの方法を与えましたが、ここの議論で 1 箇所足りない部分がありました。それはあらかじめ地軸の傾きを正確に求める必要がある点です。従って、イスラム天文学では郭守敬の方法は知られていた可能性があります。少なくとも、郭守敬の三次補間による方法は、イスラム天文学の影響を受けた可能性があると、中国の天文学の外国の影響 / イスラムの天文学で指摘されています。もっとも、マック・チューターによれば、三次補間は 6 世紀の中国でも発見されているそうですから、何とも言えない。

なお線形補間 (直線によるグラフの近似) は古代バビロニアで随分と使用されており、プトレマイオスが弦の表で線形補間を利用しているのはバビロニアの影響であると思われます。但し、プトレマイオスは単に線形補間を適用したのではなく、恐らくはその誤差も評価した。

圭表の紹介では圭表が江戸時代に改良されたかの記述がありますが、この点は少し疑問です。一般に装置に関しての記述ないしは挿絵から、元の装置を判断するのに随分誤解があることがあるからです。例えば江戸の天文学の和蘭天説に関してを読めば、江戸時代の人は紀限儀のことをまるで誤解していたことがわかります。そのため、圭表の製造法を当初は誤解していたが、何度も製造するうちに本来の形に近づいていった可能性があります。

江戸時代の改暦に関しては更に問題があります。それは中根元圭がグレゴリー暦を翻訳していたとの記述があり、 1 年の正確な長さはこの時点で知られているからです。だから圭表による観測はグレゴリー暦の再確認に他ならなくなります。もうひとつ馬鹿げたことに、1 年の長さを測定した時代が遅すぎます。望遠鏡を使用しない天体観測は古代のものです。改暦によると

とのことです。郭守敬は 1280 年までに 1 年の長さを測定しています。これはグレゴリー暦よりも随分前で、望遠鏡が発明される以前のことです。それに比べると江戸時代の測定はずいぶん遅く、ほとんど意味がない。もうこの時期には天体観測は望遠鏡を使用した精密観測の時代に突入しているのです。古代には望遠鏡がなかったので、裸眼の角解像度である角度 1, 2 分を超えた観測には特別なことをしなければならなかったのですが、望遠鏡があれば裸眼の角解像度の上限は意味を持たなくなるのです。円周儀の訳注のメイソン・ディクソン線の測量を読めば、1760 年頃の英国王立天文台の装置では 1 秒の精度があり、望遠鏡なしの天体観測は時代錯誤となっているからです。

それと 1766 年には月距により、経度を決定できるようになっています (経度の歴史, 月からの距離を参照のこと)。これには正確な天体の軌道計算が必要なのです。つまり、正確な 1 年の長さのことはもう問題ではなく、軌道計算の方が問題となっているのです。おそらくこの理由から 1760 年頃の英国王立天文台の装置で 1 秒の精度が必要となったのだと思われます。ジョン・バードも参照のこと。

赤道座標では太陽の動きを観測するのに適切ではないようで、ティコ・ブラーエは「天文学の観測装置」の中で赤緯と赤経から黄緯と黄経を求めることを言及しています。 (ティコ・ブラーエの観測装置を参照。) 正確な一年を算出するには赤道座標よりは黄道座標の方が適切ではないかと思われます。中国の天文学における中国におけるイエズス会の活動にも関連しそうです。中国で昔、暦が狂ったのは太陰暦とか太陽暦とかの問題に起因するよりは、座標変換が自由に行えるかどうかという問題にも起因すると思われます。

それでは、赤緯と赤経から黄緯と黄経を求めるには、どのような計算になるか見てみましょう。

δ を地軸の傾きとし、赤道座標と黄道座標から、 2 つの直交座標系を決めます。

赤道座標に付随する直交座標 (x, y, z)

z 軸：赤道座標系の北極の向き
x 軸：春分点の方向
y 軸：赤道上の赤経 90° の方向

黄道座標に付随する直交座標 (x', y', z')

z' 軸：黄道座標系の北極の向き
x' 軸：春分点の方向 (x 軸と同じ)
y' 軸：黄道上の黄経 90° の方向

x 軸と x' 軸が一致しており、次のような座標の関係がある。(線形代数 !)

式 1

(

)

(

cos δ	- sin δ
sin δ	cos δ

)(

)

(

)

(

cos δ	sin δ
- sin δ	cos δ

)(

)

式 2

z	= sin α
x	= cos α cos β
y	= cos α sin β

式 3

z'	= sin α'
x'	= cos α' cos β'
y'	= cos α' sin β'

sin α'	= z'	(∵ 式 3)
	= - (sin δ) y + (cos δ) z	(∵ 式 1)
	= - (sin δ)(cos α sin β) + (cos δ)(sin α)	(∵ 式 2)

α, β, δ は既知の量であるから、ここから α' を求めることができる。一方 x = x' により

cos α cos β = cos α' cos β'

となる。α, β, α' は既知の量であるから、ここから β' が求められる。ティコ・ブラーエは以上の方法 (あるいはこれと同等なこと) を実行できたと思われます。

訳注 2 との比較のために (α', β') から (α, β) を求める式も出して見ましょう。 (とりわけ α' = 0, β = γ の時に最終的な式を求めます。) まず

sin α	= z	(∵ 式 3)
	= (sin δ) y' + (cos δ) z'	(∵ 式 1)
	= (sin δ)(cos α' sin β') + (cos δ)(sin α')	(∵ 式 3)

sin α = (sin δ)(sin γ)

が得られます。これは訳注 1 の (式 P) の最初の式です。また

cos α sin β	= y	(∵ 式 2)
	= (cos δ) y' - (sin δ) z'	(∵ 式 1)
	= (cos δ)(cos α’sin β') - (sin δ)(sin α')	(∵ 式 3)

式 A

(cos α)(sin β) = (cos δ)(sin γ)

(cos α)(cos β) = (cos α')(cos β')

式 B

(cos α)(cos β) = (cos γ)

(tan β) = (cos δ)(tan γ)

となり、これは訳注 1 の (式 P) の第二の式となり、ここの議論は訳注 1 の議論の拡張となっていることが確認できました。

最初は、赤緯と赤経から黄緯と黄経を求めることは、非常に古い時代から可能であったのではないかと、考えたのですが、プトレマイオスが黄道式渾天儀を使用していたことに気づき、どこまで可能であったのか疑問となりました。通常の赤道式渾天儀の方が使用しやすいと思われるので、プトレマイオスが黄道式渾天儀をあえて使用したのは、「赤緯と赤経から黄緯と黄経を求めること」が一般的には不可能か、あるいは著しく困難であったのではないかと思うようになりました。 (黄道式渾天儀と赤道式渾天儀に関してはティコ・ブラーエの観測装置/渾天儀を参照のこと。)

ティコ・ブラーエは黄道式渾天儀を製造しますが、これを使用しなかったようです。それどころか、それ以外の渾天儀もほとんど使用せずに、方位角四分儀や壁面四分儀を使用して、三角法を利用して必要なデータを計算しています。つまり、プトレマイオスの時代には困難であったことが、ティコ・ブラーエの時代には問題ではなくなったのです。この間に、三角法が随分と進展したことになります。

従って渾天儀を使用するのは三角法が未熟であることを意味しているのです。江戸時代に渾天儀が使用された話がありますが、これは威力を遺憾なく発揮する三角法の使用が一部の天文学者に限定されていたことを意味します。しかも、(赤道式) 渾天儀を使用する場合にせよ、三角法がないと太陽の黄経が決定できないので、天体観測はおよそ意味がない。江戸時代にはティコ・ブラーエのように自由に三角法を使用できる天文学者はほとんどいなかったことが確実で、同時に江戸時代に渾天儀が効果的に使用されたことは一度もなかったのです。

このページの本文のヨーロッパの数学に書かれているように、「三角法を異なる数学の分野」として扱ったのはレギオモンタヌスによる 1464 年の「あらゆる種類の三角形」(De triangulis omnimodus) が最初とのことですが、恐らくティコ・ブラーエ (1546 - 1601 年) はこの本を読んでいたことになります。また、訳注 1 の中に登場するカジョリの数学史の引用から、レギオモンタヌスは sin, tan の高精度 (6, 7 桁程度) の表を作成していますから、ティコ・ブラーエはこれも利用した可能性があります。

このように考えて、ネットで検索するとティコ・ブラーエが学生時代に購入した本にレギオモンタヌスの「あらゆる種類の三角形」が含まれていることが Tycho Brahe - Wikipdia に記載されていました。ティコ・ブラーエが購入した本には、これ以外に次があります。

またティコ・ブラーエはレティクスの 10 桁の sin の表を使用して、微小円弧を横断線で分割することの正当性を主張しています。 (ティコ・ブラーエの観測装置の装置の再分割と照準板に関しての補遺を参照。) しかし大型鋼製四分儀 (No. 7)では、装置の外枠の三角形の直角をはさむ辺に刻み込まれているのは 5 桁の正弦表であることが書かれており、装置自身の製造にはこの程度の表が使用された。レティクスの 10 桁の正弦表は 16 世紀末となるので、ティコ・ブラーエはほとんど使用しなかった可能性の方が高いと思います。

方位角と高度からなる座標を地平座標と呼ぶようです。ここでは地平座標と時刻から星の赤緯と赤経を求める方法を考えます。無論この逆も可能です。従って、日時がわかれば (つまり太陽の黄経がわかれば、赤緯、赤経がわかり) 日の出、日の入りの時刻も計算でき、更には日食が起きる時の太陽の高度や方位角も予測できる。但し、実際の計算はかなり大変になります。もっとも関数電卓があれば十分な計算で、古代であれば下働きに計算させればよいでしょう。

ティコ・ブラーエは「方位角四分儀 (azimuth quadrant)を使用して、天体の方位角と高度から、赤緯と赤経を三角関数により決定した」と『天文学の観測装置』に書いています。 (ティコ・ブラーエの観測装置の大型鋼製四分儀を参照) どのようにして計算できるか確かめてみることにしましょう。理解してほしいことは、この計算が三角法だらけということです。ティコ・ブラーエは「天文学の観測装置」の至る所でさりげなく「三角法を使用して」と言っていますが、どれもこれも大変な計算で、関数電卓でも使用しない限りやる気が起きないような計算です。ティコ・ブラーエの天体観測では、事後の計算が大変であったと思われます。あとで気が付いたことですが、ティコ・ブラーエは掛け算と割り算に関しては特別な方法を採用していました。訳注 7で説明しています。

z 軸：北極星の方向
x 軸：子午線の平面の中で z 軸に直交し、上方向にある軸
(春分、秋分の時の太陽の南中点)
y 軸：東の方向 (春分、秋分の時の日の出の方向)

この直交座標系を仮に「赤道座標に付随する地表座標」と呼ぶことにします。天球は回転しますが、この座標系は (観測者から見れば) 固定です。

以下ベクトルの長さを 1 とし、観測地点の緯度を θ とします。そうすると

天頂のベクトル = ( cos θ, 0, sin θ)
真北のベクトル = (-sin θ, 0, cos θ)

となります。原点を通り、天頂のベクトルに垂直な平面上の任意の点を (x, y, z) とすると

〈 (x,y,z), (cos θ, 0, sin θ) 〉 = x cos θ + z sin θ = 0

となります。但し〈 , 〉は内積です。従って原点を通り、天頂のベクトルに垂直な平面は次で与えられます。

x cos θ + z sin θ = 0 ...... (1)

この平面は観測点の地平面になります (地球の大きさを無視しています。)

今、星の方位角が α、高度が β とします。方位角は真北から計ることにします。星の方向にある地平面のベクトルを (x, y, z) とします。 (x, y, z) は (1) 式を満たしています。 (x, y, z) は真北のベクトルと角度が α なので次が成立します。

〈 (x, y, z), (-sin θ, 0, cos θ) 〉= cos α

-x sin θ + z cos θ = cos α ..... (2)

x	= - cos α sin θ
z	= cos α cos θ

ここで (x, y, z) は長さを 1 に取ってあるので、ここから y² = sin²α となり, 図から (あるいは 0＜α＜180 の時に y＞0, 180＜α＜360 の時に y＜0 であるから) 次が得られる。

従って、星の方向にある地平面のベクトル v は次で与えられる。

v = (- cos α sin θ, sin α, cos α cos θ)

u を天頂ベクトルとし、w を星のベクトルとすれば次の図が成立する。

式 1

w	=	(cos β) v + (sin β) u
	=	cos β (- cos α sin θ, sin α, cos α cos θ) + sin β (cos θ, 0, sin θ)

面倒なので時間と角度を同一視します (24 時 = 360°)。さて、星の赤緯を α', 赤経を β' とし、恒星時を t (= 子午線の赤経) とします。この時、天球の赤道上において、星の y 軸からの方位角は β'' = 90 - (t -β') となります。

従って、先に定めた「赤道座標系に付随する平面座標」で、星の座標を表示すれば次のようになります。

式 2

z	= sin α'
x	= cos α' sin β''
y	= cos α' cos β''

式 3

cos α' sin β''	= - cos α cos β sin θ + sin β cos θ
cos α' cos β''	= sin α cos β
sin α'	= cos α cos β cos θ + sin β sin θ

恒星時 t が既知であれば、β'' = 90 - (t - β') であるから、式 3 により、方位角 α と高度 β から、赤緯 α' と赤経 β' が求められる。この時 sin^-1 の表が必要であるが、sin の表を逆向きに読みとってもよい。

逆に (α', β') と t から (α, β) も決めることもできる。このためには、式 3 において

(1 番目の式)×cos θ + (3 番目の式)×sin θ

cos α' sin β'' cos θ + sin α' sin θ = sin β

となることに注意すればよい。これにより赤緯 α' と赤経 β' が既知の星に関しては、与えられた恒星時 t における方位角 α と高度 β が求められる。また高度 β が 0 になる時、即ち、星が地平線上に出る時、あるいは沈む時の恒星時 t を決めることもできる。

また当然のことながら、α, β, α', β' がすべて既知であれば、ここから恒星時 t が決まる (式 3 の 2 番目の式)。この際に、α' = 0 であれば、つまり天球の赤道上の星の観測から、とりわけ簡単に地方恒星時 t が決まる。

太陽に関しては、時間と共に赤緯、赤経が変化するが、1 日の間にこれが変化しないと仮定すれば、日の出、日の入りの時刻が決定でき、日照時間も決定できる。

「カッツ、数学の歴史」によればプトレマイオスはアルマゲストの中で、球面三角法を利用して日の出、日の入りの時刻と、日照時間を決定しているそうです。従って、ここでの議論はプトレマイオスにも可能であったかもしれない。無論、ティコ・ブラーエには可能であった。

北京古観象台にはフェルディナント・フェルビーストが使用したと思われる地平経儀 (altazimuth) があります。この装置は写真からは方位しか測定できないように思われます。しかし、このような装置も時刻 (恒星時) を決定することが可能と思われます。

天球の赤道上の天体であれば、赤緯 α' = 0 である。従って、式 3 の 3 番目の式を次のように変形できる。

0	= cos α cos β cos θ + sin β sin θ
0	= cos α + tan β tan θ
tan β tan θ	= - cos α

従って、方位角 α から、高度 β を決定できるし、高度 β から方位角 α を決定できる。 (但し、天体の南中時の前後に同じ高度になる時があるため、天体が南中前か後かを別に判断する必要がある。) よって、天球の赤道上の天体 (赤緯 α' = 0) で、赤経 β' がわかっていれば、天体の方位角もしくは高度から恒星時 t を決定することが可能である。具体的には式 3 の二番目の式に代入すればよい。 α' = 0 であるから、式は次のようになり、確かに t を決めることができる。

cos(90 - (t - β')) = sin α cos β

従って、天体の方位角もしくは高度を測定できる装置があれば、この装置は時計として使用が可能である。高度の観測をする場合、星が南中する前後で高度があまり変化しません。その点から考えると、方位角を観測する方が良いと思われます。しかしこれは陸上での話です。海上では方位角の観測は困難です。(装置を真南に固定することができない。) 従って、海上では高度を観測する。

方位角を観測する場合を考えます。計算が大変に見えますが、あらかじめ計算しておけば、かなり楽に処理ができます。しかも α として特定の方位にある場合だけ計算しておけばよいのです。時計として選択する星が真南の前後 ±15° にあるとします。この区間を星が移動するのに 2 時間かかります。例えば α の 1° ごとに t - β' をあらかじめ計算しておけばよいのです。こうすると時間にして 4 分ごとにしか、正確な時間がわかりませんが、これで十分です。つまり観測装置を (星の位置よりも少し先にある) 目的の角度 α に合わせておき、t - β' を求めて t を計算し、その後で「次に合図をしたら○時○分○秒です」と予告して、星が角度 α に達した時に「時刻!」とでも伝達すればよいのです。これで時刻合わせができます。

ティコ・ブラーエの方位角四分儀の場合にはこれだけで十分ですが、北京古観象台の場合の (地平経儀 + 地平緯儀) では少し面倒になります。 2 ステップ必要です。地平経儀で時刻を伝達してから、地平経儀の向きを変えて座標を決めたい星に照準を合わせて方位角を測定し、同時に地平緯儀で星の高度を測定する。だから 2 ステップ必要で観測精度は少し落ちることになります。

なお、以上の方法はティコ・ブラーエでは可能な方法ですが、プトレマイオスにも可能であったのかどうかは不明です。

日付がわかれば太陽の黄経がわかり、訳注 2 を使用すれば、ここから太陽の赤緯、赤経が決定され、更に式 C を使用すれば、与えられた時刻における太陽の方位角、高度が決定される。だから、これは日時計の製造に利用することができる。あるいはこのような計算ができないと日時計の形式によっては製造することができない。このような日時計には日時計に記述されているノーダスに基礎を置く日時計がある。

三角形の助けにより、星の赤緯から得られた赤経の差を加えると、全円周を含み、一周することになる。

これが何を意味しているのかを考えてみます。以下の考察は試行錯誤をしていますが、最後にティコ・ブラーエがしたであろうことを結論しています。ティコ・ブラーエの方法は球面三角法を使用するものかも知れませんが、通常の三角法でも同等なことができるはずです。

天文用六分儀のみで、すべてを決定することは少し難しいようなので、観測対象となる星の赤緯が決定されていると仮定します。星の赤緯は壁面四分儀のみで決定でき、時計を使用する必要がないので、このように仮定しても無理ではないと思います。

z	= sin α
x	= cos α cos β
y	= cos α sin β

となります。ここでは直交座標はこれしか使用しないので、ここでは単に「直交座標」と呼ぶことにします。

天球の半径を 1 としているのでこのベクトルの長さは 1 です。さて、天球上の 2 点 u₁, u₂ を与え、直交座標では次で与えられているとします。

u₁ = (x₁, y₁, z₁), u₂ = (x₂, y₂, z₂)

u₁, u₂ の成す角度が λ であれば、2 つのベクトルは長さが 1 なので

〈 u₁, u₂ 〉= x₁ x₂ +y₁ y₂ +z₁ z₂ = cos λ

となります。但し〈 , 〉は内積とします。i = 1, 2 に対して、u_i の赤緯を α_i, 赤経を β_i とします。 α₁, β₁, α₂ が既知の時に β₂ を求めることを考えます。赤経 β₂ を決定するために u₁ と u₂ の成す角が λであるとすると

〈 u₁, u₂ 〉	= x₁ x₂ + y₁ y₂ + z₁ z₂
	= x₁ cos α₂ cos β₂ + y₁ cos α₂ sin β₂ + z₁ sin α₂
	= cos λ ...... (1)

A cos β₂ + B sin β₂ = C ...... (2)

sin ν = A/D, cos ν = B/D

sin (β₂ + ν) = C/D

ここから、β₂ を求めることができる。この方法は (2) の形の方程式を解くための標準的な方法で高校の数学の教科書に載っているものです。

あと、同様に u₃, u₄, ... を順に選んで天球を 1 周するようにし、最後の u_n が最初の u₁ に一致した時に、u_n と u₁ の赤経が一致すれば計算間違いがないことが判明します。

以上の方法ではティコ・ブラーエの述べている「赤経の差を加えると」ということと矛盾することになります。そこで β₁ = 0 と思い、β₂ を u₁ と u₂ の赤経の差として処理してみましょう。(u₁ を赤経 0 とする。) このときは

x₁	= cos α₁ cos β₁ = cos α₁
y₁	= cos α₁ sin β₁ = 0
z₁	= sin α₁

cos α₁ cos α₂ cos β₂ + sin α₁ sin α₂	= cos λ
cos β₂	= tan α₁ tan α₂ + cos λ /(cos α₁ cos α₂)

と変形でき、非常に簡単になります。これまでの結果を整理すると次のようになります。

u₁, u₂ を天球上の点 (星) とし、その赤緯を α₁, α₂ とする。 u₁ と u₂ の成す角が λ であれば、 u₁ と u₂ の赤経の差 θ は次で与えられる。 cos θ = tan α₁ tan α₂ + cos λ/(cos α₁ cos α₂)

ティコ・ブラーエの本で述べている方法は、どうもこのように赤経の差を計算するもののようです。そこでティコ・ブラーエのしたと思われることをまとめると次のようになります。

天球を 1 周する星の列に対してティコ・ブラーエがしたこと

天球上の点 (星) u_i (i = 0,.., r) に対して u_r = u₀ とし、次を仮定する。

i = 0, .., r に対して u_i の赤緯を α_i とし
i = 0, .., r - 1 に対して u_i と u_i+1 の成す角を λ_i とする。

このとき u_i と u_i+1 の赤経の差を θ_i とすれば

cos θ_i = tan α_i tan α_i+1 + cos λ_i/(cos α_i cos α_i+1) 　 (i = 0, 1,.., r - 1)
θ₀ + θ₁ + .... + θ_{r - 1} = 360°

このような星の列を考えるのは赤経 0 の経線あるいは春分点を精密に決定することが少し難しいからで、赤経が 0 である経線の決定を除いては、天球の星の赤経を相対的に決定することが非常に容易であることになります。なお赤緯の決定は、壁面四分儀があれば (時計がなくても) 極めて容易なのでこれは既知であることが前提になっています。

もしも、精密な時計と壁面四分儀があれば星の赤緯と赤経が同時に決定できるので、上記のような星の列を生成できます。この場合にも、赤経 0 の経線がどこにあるか精密にわかっていなければ、基本的に赤経の差が求められるだけのことです。

長期間天体観測をすることを目的とした時、一番最初にしなければいけないのが、このように、天球を 1 周する星の列 {u₀, u₁, .., u_r} を見つけることだと思われます。

最初は少しも意識しなかったのですが、ティコ・ブラーエが使用した三角関数の表のことで混乱することになりました。知りたいことは彼は誰の三角関数の表を使用したかです。色々検索した所、次のページに行きつきました。読めばはっきりしますが、ティコ・ブラーエが使用したのはレギオモンタヌスの正弦の表です。これを使用して、主目盛を分ごとに観測装置に刻み、横断線を入れて精度を高めた。ティコ・ブラーエは微小円弧に横断線を使用することの正当性を主張するのに、レティクスの 10 桁の正弦の表を言及していますが、レティクスの 1551 年の表は以下に見るようにそれほど詳しくなく、10 桁の正弦表はその後にできたものでオトの本 (1596 年) に掲載されたものです。

1 レティクス以前の三角法の表

Gerhardt がドイツの数学の歴史で語るように、ポイエルバッハ (1423-1461) と彼の生徒であるレギオモンタヌスは天文学の研究を目覚めさせ、必要な表を構築した。ポイエルバッハはプトレマイオスの弦をアラビア数学者の正弦 (sine) で置き換えた人であり、レギオモンタヌスは半径が 6000000 と 10000000 の円弧に対して正弦の表を分ごとに計算した。

訳注： この表は以下の年代から死後に出版されたものと思われます。

1.1 正弦の表

最初の正弦の表は 1490 年に印刷されたもののようで、レギオモンタヌスの Tabulæ directionum profectionumque の一部であった。これは 30 ページの長さしかなく、半径が 60000 の円弧に対して分ごとの正弦の表であった。 Folkerts によれば、この表は恐らく 1463-1461 年以前に計算されている。 16 世紀に印刷された表の大半は、究極的にはレギオモンタヌスによるこの表、もしくはそれ以外の表に基礎を置いていた。

次に Peter Apian (1495–1552) が登場し、 1533 年に Introductio geographica を出版している。同じ表が 1534 年の Apian の Instrvmentvm primi mobilis の中に再出版されている。表は 9 ページしかなく、四分儀の分ごとに正弦を与え、半径は 100000 で、 10 進で 5 桁であった。これはレギオモンタヌスの表に基づいていた。

もっと詳しい正弦の表で、再びレギオモンタヌスによるものが、 1541 年のポイエルバッハの Tractatus super propositiones Ptolemæ etc. の中で出版された。この表は、レギオモンタヌスの 1561 年のDe triangulis にも出版されている。レギオモンタヌスは 2 つの大きな表を与え、 1 つが 6000000 の比の表で (恐らくはレギオモンタヌスがイタリアにいた 1465 年頃に計算され)、もう一つが 10000000 の比の表で、1468 年に計算されている。正弦は分ごとに与えられている。

1.2 正接の表

レギオモンタヌスの Tabulæ directionum profectionumque には正接の (しかし違う名称の下で) 短い表も含んでいた。しかしこれは、度ごとのもので半径が 100000 のものにすぎず、後に何人かの著者により再構成された。正接の表は単に割り算により、正弦の表から計算をした。

1.3 セカントの表

レギオモンタヌスはセカントの表を計算しなかった。しかしながら、コペルニクスによるセカントの手書きの表が存在している。

3 レティクスの最初の表 (1551)

レティクスは 1551 年にライプツィヒで三角関数の根本原理 (キャノン) Canon doctrinæ triangulorum を出版した。この表は、10' 毎の間隔で 6 つの三角関数を与え、半四分儀的に配置されている。各々の関数は７桁、より正確には半径が 10⁷ の整数値として与えられている。この表は非常に珍しく、事実上知られていなかったが、ド・モルガンが 1840 年代にその写しをたまたま発見した。

レティクスは 6 つの三角関数に統一的な処理を与えた最初の人である。彼は、特に、セカントの表を出版した最初の人である。レティクスは彼の表の 2/3 を計算したのみである。正弦の表はレギオモンタヌスのものを使用したが、正接とセカントの表は正弦の表から再計算をした。従って、レティクスはおよそ 1080 (90×6×2) の比を計算しなければならなかった。

オトの Opus palatinum (1596)

1551 年のキャノン (根本原理、canon) の出版後、レティクスはもっと大きな計画に従事し続けた。この計画では 6 つの三角関数を 10'' (秒) ごとに、半径 10¹⁰ で与えることであった。この仕事はレティクスの死後に完成を見たのみであり、ヴァレンティン・オト (Lucius Valentinus Otho) がこれを成し遂げ、1596 年に出版された。

レギオモンタヌスは特異な計算能力の持ち主と思われます。彼が非常に短い期間に計算していることと、他の人がほとんど真似できず単に写していただけと思われるためです。

ティコ・ブラーエの「天文学の観測装置」(天文機器、Astronomiæ instauratæ mechanica) は 1598 年に出版されているので、ティコ・ブラーエが微小円弧に横断線を使用することの正当性を示す時に使用したレティクスの 10 桁の正弦表は、1596 年に出版されたオトの本に含まれていたレティクスの表と思われます。

ティコ・ブラーエはネイピアによる対数の発明以前の人ですが、乗除に関しては工夫をしており、これにより膨大な計算を処理できたようです。

ティコ・ブラーエは prosthaphaeresis と呼ばれる計算をしています。 Prosthaphaeresis - Wikipedia から抜粋をします。

Prosthaphaeresis は 16 世紀末から 17 世紀初頭にかけて掛け算、割り算の近似をするためのアルゴリズムで、三角関数の公式を使用するものである。 1614 年に対数が発明されるまでの 25 年間、これは積を近似するための一般的に応用可能な唯一つの方法であった。名前は、ギリシャ語の prosthesis と aphaeresis に由来し、その意味は「加法」と「減法」であり、計算途中の 2 つの段階を示している。

従って prosthaphaeresis は「加減法」とでも訳すべき言葉のようです。「加減法」は三角関数の加法公式を利用します。

sin α sin β	=	(1/2)[cos(α - β) - cos(α + β)]
cos α cos β	=	(1/2)[cos(α - β) + cos(α + β)]
sin α cos β	=	(1/2)[sin(α + β) + sin(α + β)]
cos α sin β	=	(1/2)[sin(α + β) - sin(α - β)]

a×b の計算

a, b の小数点を移動して、2 つの数が -1 と 1 の間にあるようにする。
a = cos α, b = cos β となる α, β を求める。
α±β を計算して、その cos を求める。
2 つの cos の平均を取る。
小数点の位置を元に戻す。

a/b の計算

a の小数点を移動して -1＜a＜1 となるようにする。
a = cos α, b = sec β となる α, β を求める。

a/b = cos α/sec β = cos α cos β なので、あとは掛け算と一緒。

Prosthaphaeresis - Wikipedia によると、prosthaphaeresis は 1580 年代に登場したが、誰が創始者か不明とのことで、貢献した人に数学者のパウル・ウィティヒ (Paul Wittich), イブン・ユーヌス (Ibn Yunis), ヨスト・ビュルギ (Joost Bürgi), ヨハネス・ヴェルナー (Johannes Werner), クリストファー・クラヴィウス (Christopher Clavius), そしてフランソワ・ビエト (François Viète) がいる。ウィティヒ (Wittich), ユーヌス (Yunis), とクラヴィウス (Clavius) は天文学者であり、出典により誰もが発見者であるとされている。もっともよく知られた支持者はティコ・ブラーエで、prosthaphaeresis を天文学の計算に幅広く使用したとのことです。

AB	= FC
AE	= EC (E は円弧 AC の中点)
∠BAE	= ∠FCE (同じ円弧の上の円周角)

(dα/dγ)_(0,0)	= sin δ
Δα	= Δγ sin δ

(dβ/dγ)_(0,0)	= cos δ
Δβ	= Δγ cos δ

θ ：観測点の緯度	t ：観測点の地方恒星時
α ：星の方位角	β ：星の高度
α'：星の赤緯	β'：星の赤経
β'' = 90 - (t - β')

2 sin(x - y) + 2 sin y cos x	=	2 sin x cos y
sin(x - y)	=	sinx cos y - cos x sin y

γ	α
90.00	23.4300
89.75	23.4298
89.50	23.4291