アストロラーベ

以下の文書は次の翻訳です。使用している絵も英語版の Wikipedia のものです。

しかし、紀元前から立体射影が知られていたことは驚くべきことです。立体射影のことがわかっていないとアストロラーベの構造が理解できないと思われるので最後に訳注として付け加えています。

またアストロラーベが天空の立体射影であることがわかれば、その製造方法もわかります。これも最後の訳注で付け加えてあります。再度読み直してみると、アストロラーベの製造には「太陽の黄経から赤経を求める方法」が必要であることに気づき、この方法はプトレマイオスのアルマゲストに掲載されていることに気がつきました。この座標変換の式は太陽の観測には不可欠なものです。

アストロラーベの日本語による記述は一般に非常に不正確です。例えば Yahoo 百科事典のアストロラーベではプトレマイオスのアルマゲストに記述があるとしていますが、これは間違いと思われます (アルマゲストを参照)。更に Yahoo 百科事典ではアストロラーベの発明者を恐らくヒッパルコスであるとしていますが、 Astrolabe Historyではアストロラーベの発明者はアポロニウス (BC 225 年頃) であるとしています。但し、アストロラーベを製造するのに必要な立体射影のことを詳しく研究したのはヒッパルコス (BC 180 に生誕) であるとしています。またアストロラーベの製造に必要な立体射影を詳しく記述した本はプトレマイオスによる平面球形図 (planisphaerium) であって、アルマゲストではありません。

アストロラーベ (ギリシャ語: ἁστρολάβον astrolabon, "star-taker", 星つかみ) は天文学者、ナビゲータ、占星術師により使用された歴史的な天文学の器具である。多くの用途の中には、太陽、月、惑星の位置を示したり、予測したりすることや、緯度が与えられた時に地方時間を決めること、あるいはその逆をすることとか、三角測量をすることとか、うらないをする用途があった。アストロラーベは古典古代 (Classical Antiquity) で使用され、イスラム帝国の黄金時代、ヨーロッパ中世そしてルネッサンスを通じて、すべてこのような目的のために使用された。イスラム世界では、キブラ (Qibla) を計算するにも、またサラート (Salah, 礼拝) の時間を見出すためにも使用された。

「アストロラーベ」と「船乗りのアストロラーベ」は間違って混用される。アストロラーベは陸上の緯度を決定するのに便利であるが、上下する甲板の上や風の中では不便な器具である。「船乗りのアストロラーベ」はこのような問題点を解消するために開発された。

訳注

この文章から、冒頭のナビゲータは陸上でのナビゲータだとわかります。つまり例えば砂漠を横断する場合のナビゲータです。
イスラム帝国の黄金時代には、イスラム帝国は海洋貿易でも非常に発展するようですが、そのときにはカマルを使用していたと英語版の Wikipedia (Islamic Golden Age、イスラム帝国の黄金時代) に書かれていますから、洋上のナビゲーションにはアストロラーベは使用していなかったことが、より確実となります。

訳注

アストロラーベ四分儀に関しては四分儀に簡単な解説がある。

OED ( オクスフォード英語辞典) では英語の astrolabe (アストロラーベ) の訳として star-taker (星つかみ) を与え、その語源として、中世ラテン語を経由して、ギリシャ語の astrolabon としている。中世イスラム世界では "asturlab" (すなわち astrolabe, アストロラーベ) には色々な語源が与えられている。アラビア語のテキストでは "akhdh al-kawakib" (逐語訳すれば "taking the stars" 星つかみ) はギリシャ語の翻訳に対応している (King 1981:44))。中世の科学者であるハムザ・アル＝イスファハーニー (Hamza al-Isfahani) が「asturlab はペルシャ語の sitara yab (星つかみ) のアラビア語化である」と書いていることを、アル・ビールーニーが引用し、これを間違いとしている (King 1981:44 及び 51)。中世のイスラム圏の文献では作り事ではあるが通俗的な語源として「lab の血統」ともしている。この通俗的な語源では "Lab" はイドリース (Idris) (= エノク, Enoch) の子息の一人である。この語源は al-Qummi と称する 10 世紀の科学者によって言及されているが、アル・フワーリズミーによって否定された (King 1981;45)

訳注

以上で言及されている文献は次のものです。

King, D. A (1981), "The Origin of the Astrolabe According to the Medieval Islamic Sources", Journal for the History of Arabic Science 5: 43–83

初期のアストロラーベは BC 150 年にヘレニズム世界で発明され、往々にしてヒッパルコス (Hipparchus) によるとされている。アストロラーベは星座早見盤 (planisphere) とディオプトラ (照準儀、dioptra) が結びついたもので、球面天文学における幾つかの問題を効果的に解くことができるアナログ計算機である。アレクサンドリアのテオン (Theon of Alexandria) はアストロラーベに関しての詳細な専門書を書き、ルイス (Lewis, 2001 年) はプトレマイオスが著書『テトラビブロス』（Tetrabiblos、四つの書）に記録されている天文観測をする際にアストロラーベを使用したのに相違ないとしている。

アストロラーベはビザンティン帝国のギリシャ語圏で使用され続けた。 AD 550 年頃、キリスト教哲学者であるピロポノス (John Philoponus) はギリシャ語でアストロラーベに関しての専門書を書いた。これは、この装置に関しての現存する最も初期のギリシャ語の本である。更に、メソポタミアに住んでいた主教のセウェルス・セボクト (Severus Sebokht) も 7 世紀中頃に古代シリア語でアストロラーベに関しての専門書を書いている。彼はその前書きでアストロラーベが真鍮でできていると書いており、これによりビザンチン帝国の東方キリスト教圏 (Christian East) では、イスラム世界やビザンチン帝国の西方ラテン語圏 (Latin West) で発展するよりも、はるかに以前に金属製のアストロラーベが使用されていたことが分かる。

アストロラーベは更に中世イスラム世界で発展し、イスラム天文学者はアストロラーベに角度の目盛を導入し、地平線上で方位角を示す (複数の) 円を付け加えた。これはイスラム世界を通して広く使用され、主にナビゲーションとキブラ (Quibla) -- メッカの方向 -- を見出す方法に使用された。イスラム世界でアストロラーベを最初に作ったとされる人は 8 世紀の数学者のファザーリ (Muhammad al-Fazari) であるとされている。イスラム天文学者のバッターニー (Muhammad ibn Jābir al-Harrānī al-Battānī (Albatenius)) が　専門書『天文表の書』(Kitab az-Zij, AD 920 年頃) で (アストロラーベの) 数学的背景を確立した。この本はチボリのプラト (Plato Tiburtinus) によりラテン語に翻訳された (De Motu Stellarum)。製造年代が記されていて現存する最も古いアストロラーベは AH 315 年 (AD 927-928 年) の日付が付けられている。イスラム世界ではアストロラーベは日の出の時間、あるいは恒星が (地平線から) 昇る時間を決定するのに使用され、これにより朝のサラート (礼拝, salat) の時間が決められた。 10 世紀においてはアル・スーフィー (al-Sufi) は始めて 1000 以上のアストロラーベの用途を述べた。これには天文学、占星術、運勢、ナビゲーション、測量、計時機能、祈り、サラート, キブラ等、非常に多岐にわたった。

球面アストロラーベはアストロラーベと (西洋) 渾天儀の変種で、中世にイスラム世界の天文学者や発明家により考案された。最も初期の球面アストロラーベの記述はアル=ナイリージー (Al-Nayrizi, 892 年 - 902 年に活躍) にさかのぼる。 12 世紀にはシャラフ・アル・ディン・アル・ツシ (Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī) は「線形アストロラーベ」 -- しばしば「al-Tusi の棒」と呼ばれる -- を発明している。これは『単純な棒で、目盛がふってあるが照準が付いていない。これには重りの付いた紐と角度を測定するための 2 本の弦が付いており、穴のあいた指示器に支えられていた。』 (訳注：どんなものか不明なので単なる翻訳) 後に、最初の歯車が付いた機械仕掛けのアストロラーベが、イスファハン (Isfahan) のアビ・バクル (Abi Bakr) により 1235 年に発明されている。

訳注

シャラフ・アル・ディン・アル・ツシ ( Sharaf al-Dīn al-Ṭūsī) の孫弟子に、かの有名なナスィールッディーン・トゥースィー (ナシル・アル・ディン・アル・ツシ, Nasir al-Din al-Tusi) がいるそうです。「シャラフ・アル・ディン・アル・ツシ」ではなく「シャラフ・アッ=ディーン・アッ=トゥースィー」とする方が正しく、「ナシル・アル・ディン・アル・ツシ」ではなく「ナスィールッディーン・トゥースィー」とする方が正しいようです。al-Tusi を「アッ=トゥースィー」と読んだり「トゥースィー」と読む違いに関しては訳注：トゥースィーの対円の「注意」を参照。

ペトルス・ペレグリヌス (Peter of Maricourt) も 13 世紀の後半に汎用アストロラーベ (univeral astrolabe) の製造法と使用法に関しての専門書を書いている (Nova compositio astrolabii particularis) 。汎用アストロラーベはオクスフォードの科学史博物館で見ることができる。

英国人の著作家であるジェフリー・チョーサー (1343 年頃 - 1400 年頃) は子息のためにアストロラーベの使用法をまとめ上げた。これは主にマーシャーアッラー (Messahalla) にもとづくものであった。原典はフランスの天文学者で占星術師であるプルッセ (Pelerin de Prusse) 等によっても翻訳された。アストロラーベに関しての最初に印刷された本はプラカティッツ (Cristannus de Prachaticz) による「アストロラーベの構造と使用法」(Composition and Use of Astrolabe) であり、これもマーシャーアッラー (Messahalla) を使用していたが、多分に独創的であった。

1370 年にアストロラーベに関してのインドで最初の本がジャイナ教 (Jain) の天文学者であるマヘンドラ・スーリ (Mahendra Suri) によって書かれている。

西洋で知られている最初の金属製のアストロラーベは 15 世紀のリスボンのアブラハム・ザクート (Abraham Zacuto) 師によるものである。金属製のアストロラーベはそれ以前の木製のアストロラーベよりは精度が向上した。 15 世紀には、フランスの装置製造家であるジャン・フソリス (Jean Fusoris, 1365 年頃 - 1436 年頃) はパリの店でアストロラーベを売り始めた。売り物には携帯日時計や当時の人気がある科学的な装置 (gadget) があった。最後に、15 世紀初頭のヨーロッパの職人芸を示すもっと特別な実例に、 1420 年の日付が付いたアストロラーベがある。これは Antonius de Pacento によってデザインされ、Dominicus de Lanzano により製造された。

16 世紀にはヨハネス・シュテッフラー (Johannes Stöffler) は Elucidatio fabricae ususque astrolabii を出版した。これはアストロラーベの作り方と使用法を記した手引書である。ゲオルグ・ハートマン (Georg Hartman) は 16 世紀に 4 つのまったく同一なアストロラーベを製造しており、これは労働力を分割することによる「一括生産」 (batch production) の最も最初の証拠である。

最初は、機械式の天文時計はアストロラーベに影響を受けた：色々な方法で、これらは時計仕掛けのアストロラーベとみなすことができ、連続的に太陽、星、惑星を表示するようにデザインされていた。例えば、「ウォーリンフォードのリチャード」(Richard of Wallingford) の時計 (1330 年頃) は本質的には固定した網 (レート, rete) の背後で回転する星図であり、アストロラーベと類似のものである。

訳注

ウォーリンフォード (あるいはウォリンフォード)は英国の地名。「ウォーリンフォードのリチャード」は塔時計に 1327 年にセント・オールバンズ大聖堂の天文時計の建設を手掛けたことが書いてあり、バージ・エスケープメント (冠歯車脱進機) に、その内容を本にしていることが書かれています。
アストロラーベではレート (網) の方が星図で、逆になっていることに注意。

多くの天文時計は、プラハの有名な時計のように、アストロラーベ方式の表示を使用し、黄道面の立体射影を採用している。

1985 年にスイスの時計技師のルートヴィヒ・エークスリン (Ludwig Oechslin) 博士はユリスナルダンと共同で　アストロラーベ腕時計をデザインして製造した。

アストロラーベはメーター (mater, ラテン語の mother (母)) と呼ばれる円板からなり、これは掘り下げられていて、1 個もしくはそれ以上のティンパン (tympan) あるいはクライメータ (climate) と呼ばれる平らな板を格納している。ティンパンは緯度に依存して製造され、立体射影により、方位角と高度が彫りこまれ、 (該当緯度における) 地平線の上に見える天球が表示される。メーターの縁には典型的には、時刻もしくは角度 -- あるいはそのどちらも -- の目盛が付いている。メーターとティンパンの上にはリート (rete) と呼ばれる枠 (あるいは網) があり、これは非常に明るい星の位置を立体射影で表示し、自由に回転できるようになっている。アストロラーベによってはリートの上で回転するルール (rule) とかラベル (label) と呼ばれる狭い板があり、赤緯 (declination) の目盛が付いていた。

訳注

アストロラーベのティンパンは緯度に依存するため、複数の緯度に対応するために複数のティンパンが格納されており、しかも両面に彫り込まれていた。

リートは空を表示するもので、星図として機能する。これを回転させれば、立体射影された恒星、黄道はティンパンの上で動く。完全に一周することと、まる一日が対応している。従って、アストロラーベは現在の星座早見表の先駆である。

メーターの裏面にはしばしば幾つかの目盛が彫り込まれており、アストロラーベの色々な機能に便利なようになっていた。これらはデザインする人ごとに違っていたが、時の変換をする曲線、日付を太陽の黄道上の位置に変換するカレンダー、三角関数の目盛や、裏面の周囲の 360° の目盛などは大抵ついていた。照準器は裏面に付けられていた。照準器は前掲のペルシャのアストロラーベの右下の挿絵に見える。アストロラーベを垂直にして、照準器を回転して、太陽や星に合わせると、高度がアストロラーベの縁の目盛から読みとる ("taken", つかむ) ことができる。これにより、アストロラーベのギリシャ語の語源が生まれた：

訳注

「時の変換をする曲線」の意味がわかりにくいですが、次の可能性があります。 1 日を 24 等分した時間と、昼間、夜間をそれぞれ 12 等分した時間の 2 通りが考えられます。照明器具がある時代になれば、1 日を 24 等分する方が便利ですが、そうでなければ、昼間を 12 等分、夜間を 12 等分する方が都合がよい可能性もあり、このための変換をするには、月ごとに変換をするグラフを用意すればよい。但し、この場合の変換を与えるグラフは折れ線になる。これが 6 個必要となる。 (12 月と 1 月、11 月と 2 月、... が同じとなる。)

球面上の一点 P と南極 S を結んだ直線が赤道面 H と交差する点を Q とする。 P に対して Q を対応させる対応のことを立体射影という。立体射影により、球面上の点で南極以外が、平面上の点と一意的に対応する。南極における接平面 K は H に平行であることに注意する。

注意

「角度を保存する」の意味は証明を見れば明らかとなります。この事実が理解できていないと、アストロラーベを作ることができません。だからこれは古代ギリシャですでに知られていたことで、その理解の仕方は以下の証明で述べるようなものであろうと思われます。
2 に関しては 2 通りの証明を与える。最初の証明はアールフォルスの「複素解析」の最初の証明を複素数を使用しないように変更したものです。 2 番目の証明は、古代ギリシャではもっと別な証明をしたであろうと思って、色々検索して見つけた証明を真似したものです。英語のページでも日本語のページでも見つけたのですが、理解がしにくかったので、方針だけは真似をして、それ以上は自分で考えました。私の証明も誤解を招く部分があるかもしれません。

証明

(1) に関して T_P を点 P における球面の接平面、 T_Q を点 Q における H の接平面とする (T_Q と H は同じ)。 P における球面の接線は T_P における P を始点とする線分 r である。立体射影により P における接線 (P を始点とする線分) r が Q における接線 (Q を始点とする線分) r' に写ることになる。すると、r と S を含む平面は T_Q と交差し、その交わりが線分 r' を含んでいる。

なお点 P における接線は厳密には球面上にはないが、点 P の十分小さな領域で考えれば、接線は球面上にあるとしてよい。また r' は r よりも短くなるが今問題としているのは方向のみで、同じ長さの線分に置き換える。示すべきことは点 P における 2 本の接線が点 Q における 2 本の接線に写る時に、接線の角度が保存されていることである。

上の図は PS を通る平面で断面図を描いたものである。 P における接平面は球面と 1 点 P を共有するため、断面図では円の接線となっており、南極 S における接平面も断面図では円の接線となっている。赤道面と南極 S における接平面は平行であるから、断面図に見える PQ を底辺とする三角形は二等辺三角形であることに注意する。

P, Q の中点を通り、PS に直交する平面 M を考えると (M, T_P, T_Q の共通部分は直線で、図では T_P, T_Q の交点として表示されている) r と r' は M に関して面対称である。よって点 P における 2 本の接線 r₁, r₂ が立体射影により、点 Q における接線 r₁', r₂' に写れば r₁ と r₂ の成す角は r₁' と r₂' の成す角に等しい。

(2) の証明、その 1 『L.V. アールフォルス、複素解析、現代数学社』では複素数を使用して証明しているが、複素数を使用しなければ次のようになる。

球面が

{ (x₁, x₂, x₃) | x₁² + x₂² + x₃² = 1}

で与えられ、南極が (0, 0, -1) で与えられている。立体射影により、球面上の点 (x₁, x₂, x₃) が赤道面の点 (X, Y, 0) に写ったとすると

X = x₁ (1 + x₃)^-1, Y = x₂ (1 + x₃)^-1 ........(1)

ここから X² + Y² を計算すると X² + Y² = (1 - x₃)(1 + x₃)^-1 となり, 以下の右辺の式を計算すると左辺を得る。

x₃ = (1 - (X² + Y²)) (X² + Y² + 1)^-1
1 + x₃ = 2 (X² + Y² + 1)^-1

ここで (1) を適用すると

x₁ = 2 X (X² + Y² + 1)^-1, x₂ = 2Y (X² + Y² + 1)^-1 ,
x₃ = (1 - (X² + Y²)) (X² + Y² + 1)^-1 .........(2)

さて、球面上の円は球面と平面の共通部分として表示され、そのとき平面は次としてよい。

a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ = a₀ (a₁² + a₂² + a₃² = 1, 0≦a₀＜1) .......(3)

これに (2) を代入して整理すると

2a₁ X + 2 a₂ Y + a₃ = (a₀ + a₃) (X² + Y²) + a₀

この式は a₀ + a₃≠0 のとき、円の式であり (∵ X² の係数 = Y² の係数)、 a₀ + a₃＝0 のとき、直線である。後者の場合は平面 (3) は南極 (0,0,-1) を通り、平面 (3) と球面の共通部分は南極を通る円である。

(2) の証明、その 2 球面上の円 C は球面の外の点 V を固定し、そこから球面に無数の接線を描いたときに、その接点の集合として得られる。V と南極 S を結ぶ直線と赤道面 H との交点を W とする。円 C 上の任意の点を P とし、P が立体射影により点 Q に写されるとする。そこで S, V, P を含む平面によって断面図を描く。以下がその断面図である。明らかに W, Q は断面上に存在している。

この断面図で注意する点は、この断面は一般に球の中心を通っていないし、また円 C の中心を通っていない。 (球の中心と V を結ぶ直線が球面と交わる点が円 C の中心。)

H は赤道面で、K は南極における接平面である。点 V を通り、H に平行な平面を H' とし、P,Q,S を通る直線と H' との交点を R とし、 V,P を通る直線と K との交点を T とする。

TP, TS は接線であるから |TP| = |TS| であり、 ⊿TSP は二等辺三角形である。 ⊿ RPV は ⊿TSP に相似だから、これも二等辺三角形で、 |VP| = |VR| となる。|VP| は一定であるから |VR| も一定である。さて

|WQ| = |VR| × |SW|/|SV|

以上より |WQ| は一定の大きさで、従って、点 Q は点 W を中心とした円周上にある。

に書いてあったことの概要です。現在はこのファイルはインターネットで読むことができなくなっています。内容はページの作者が学生時代に受講した講義を思い出しながら書いてあったと思います。 (だから元をたどれば大学の授業 (天文史あるいは数学史 ?) の一環。) 少々明確でない箇所もあったような気がしますが、そこから再構成する私の説明も明確でない箇所があるかもしれません。但し少々不正確でも論理的に再構成することは可能であると思います。

作成するのはボール紙でできたティンパンと透明なプラスチックでできたリートです。必要な物はこれ以外に、分度器、円を描くためのコンパス、筆記用具 (プラスチックの上に描けるもの) ですが、コンパスは大きな半径の円を描く必要があり、どの程度になるかわかりません。更に、現在地の緯度と表示したい星の座標 (赤緯、赤経) が必要です。

注意

このページを最初に書いた時には知らなかったことですが、大きな円を描くには「ビームコンパス」と呼ばれるものがあります。インターネットで検索すれば色々見つかります。ビームコンパスは単純なので古代でも製造できます。
アストロラーベ自身に描く円の中心は、場合によっては、かなり離れた所にあるはずなので、「ビームコンパス」があっても何らかの工夫が必要となります。

必要な予備知識は「立体射影に関して」で述べたことだけで、立体射影により、円が円に写り (但し天球の南極を通る円は直線に写り)、角度を保存するという 2 点のみです。だから古代でも可能な方法です。

アストロラーベを作るには天球を 1 つ固定して、天球上の円や点を立体射影してできる像を決めるだけです。円は一般的には立体射影により、円に写りますから、円の中心と半径がわかれば像を決めることができます。例えば、円の直径がわかればよい。これを決めるために、定規、コンパス、分度器を使用して補助的な作図をするだけです。

注意

分度器は現在ではありふれた道具ですが、これは定規とコンパスだけでは作ることができません。基本的には三角関数の表が必要です。アストロラーベを作るには最初に三角関数の表を作り、次にここから分度器を作る必要があります。古代にはこの作業はとても大変であったはずです。分度器があれば、あとはコンパスを使用して非常にたくさんの円を描けばアストロラーベが作成できます。アストロラーベの製作に必要となるのは、直線と円の描画のみです。

ティンパンに描くのは、アストロラーベを使用する場所における、高度の曲線と方位角の曲線のみです。

一般的には用紙を上下半分に分け、上半分には天球の北極、天頂、天球の南極、天底をとおる面に関しての断面図を描き、その下には赤道面を真上から見た図を描きます。一旦一つの円が描けたら、この絵には描きこまず別の紙で作業をする方がよく、最終的には清書用の用紙に書き写す必要があります。(後に掲載する「全体の作図法」の挿絵を見てください。)

一番最初に子午線を描きます。子午線は天球の北極、南極、天頂を通る円ですが、南極を通りますから直線になります。次に天球の赤道を描きます。これは子午線の上に中心を持つ円になり、半径は天球の半径と等しくなります。

次に天頂、天底 (= 天頂の対称点)、地平線 (水平線) を描きます。立体射影により、これは円になり、しかも子午線に対して対称となるため、子午線上に中心を持つ円になります。円の直径の両端を求めるために断面図を描きます。断面図では地平線は線分になり、この両端の立体射影による像を決めればよいだけです。なお、地平線と天球の北極 (北極星) の成す角度はアストロラーベを使用する場所の緯度に等しくなります。

次に天球上で高度が a° の点である円の立体射影による像を描きます。これも地平線と同じ要領です。再び、子午線上に中心を持つ円になります。

以上は表から見ても、裏から見ても同じ図でした。実は、アストロラーベに表示する絵は下から見上げた図にする必要があります。

今度は、方位角 b° の大円 (方位線) を描く必要があります。天球上ではこれは天頂と天底を通る円で、子午線を天頂の周りに東の方向に b° 回転して得られる円です。立体射影により、これは円に写ります。わかっていることは、天頂と天底の像を通る円であることです。従って立体射影をした後では、天頂と天底を結ぶ線分の垂直二等分線上に円の中心があることになります。

北に向かって下から見上げると、北極星は下の方に見えます。だから、天頂が上で北極星が下にないといけません。方位角 b° の大円の天頂における接線が子午線から反時計方向に (裏から見ている) に b° の方向にないといけません。円の中心はこの接線の垂直方向にあるので円の中心と半径が決定されます。これで円が描けます。半径がかなり大きいので、この円を描くのがやっかいです。しかし、実際に円弧を描く必要があるのは地平線までです。下で描けているのは b° の方位線ではなく - b° の方位線です。表示がやりにくいので、このようにしています。

ティンパンの周囲に描く時刻は、子午線の南が昼の 12 時、北が夜の 12 時で、反時計方向に均等に時刻を描きます (裏側から見ている)。

次にリートを描きます。リートに描くのは星と黄道です。

リートに描きたい星の赤緯、赤経を調べます。下の図から、描きたい星の中心からの距離がわかります。円の半径は天球の赤道の半径です。

リートに星を描きます。時刻も書き込んでおきます。時計方向に順に書き込みます。 (赤経は天球の外で北極の側を見た場合には反時計方向に増えます。裏から見ているため、描くのはこの逆向きになります。)

次に黄道を描きます。これは赤道面に 23.5° 傾いています ( 黄道の挿絵を参照)。断面図から直径の両端を求めておいて、それを使用して立体射影をしてできる円を描きます。

黄道は幅を持った円にしないと、星座名を書けません。更に黄道を分割して星座名を書きこみます。下の図には番号しか書いてありませんが次の名前を書きこみます。

ティンパンとリートの北極に穴をあけ、そこで回転できるようにすれば完成です。全体を大きな円上に切り取ることも無論必要です。太陽の位置は、0時が春分、6時が夏至、9時が秋分、18時が冬至の時です。またティンパンの地平線の円で囲まれた箇所が目で見える星になります。

この説明は少しいい加減です。黄道上の黄経が θ の点の赤経を θ' とすると、 θ と θ' は必ずしも等しくありません。実際は

となるので、この角度で 90° を 3 個に分割し、分割した点と円の中心を結んで、黄道を分割する必要があります。この直線は赤経の線 (の立体射影による像) です。

注意

上の式は最初は自分で導いたものでした。その時点では古代でこれが可能であるかどうか少し疑問でした。そのため、上の挿絵ではそれを無視した分割をしています。しかし「カッツ、数学の歴史」にプトレマイオスのアルマゲストに「太陽の黄経から赤緯と赤経を求める方法」が書かれていることに気がつきました。つまり、古代ギリシャでは上の式は知られていたことで、黄道の分割は上で与えた角度で分割する必要があります。
以上の事実に気がつくと色々なことが結びつきます。まず三角法の歴史では、最初の三角法の数表をまとめたのはヒッパルコスであると思われていると記述され、このページの本文の冒頭では「初期のアストロラーベは... 往々にしてヒッパルコスによるとされている」と書かれています。これは単にヒッパルコスが三角法の数表を作ったのみならず、その利用法 (例えば「太陽の黄経から赤緯と赤経を求める方法」) を十分熟知していたことを意味し、それによりアストロラーベも製造することができたことを意味します。
上で与えた θ と θ' の間の関係の現代的証明に関しては三角法の歴史の訳注 2：太陽の黄経から、太陽の赤緯と赤経を求める方法を参照のこと。tan はプトレマイオスの時代には知られていませんが、上で与えた公式はアルマゲストに書かれている式と同値とのことです。

一方、0時、6時、12時、18時に分割された円に時刻を書き込むときには 30°、60°、... に相当する箇所が 2時、4時、... となります。こちらは天球の赤道を分割する必要があるためです。

以上のようにしてアストロラーベができますが、これは太陽の見かけの動きが完全円で、太陽が等速円運動をしていることが前提となります。

アストロラーベを使用するには大体どうすればよいかわかりますが、多分自己流となるので使用方法に関しては詳しい説明を省きます。しかし日付がわかっていればすぐにも次がわかります。

1.牡羊座	2.牡牛座	3.双子座	4.蟹座	5.獅子座	6.乙女座
7.天秤座	8.蠍座	9.射手座	10.山羊座	11.水瓶座	12.魚座

イランの科学者である Nasir al-Din al-Tusi によるアストロラーベの重要性を説明した専門書
18 世紀のペルシャのアストロラーベ	ペルシャのアストロラーベ