アストロラーベ

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アストロラーベ (古代ギリシャ語: ἀστρολάβος astrolábo, 'star-taker' (星つかみ); アラビア語: ٱلأَسْطُرلاب al-Asṭurlāb; ペルシャ語: ستاره‌یاب Setāreyāb) は古代の天文学の機器である。これは星図の役目をし、目で見える半天球の物理的モデルである。その色々な機能により、これは精巧な傾斜計で、天文学の幾つかの種類の問題を解くためのアナログ計算装置である。最も単純な形式では、これは金属円盤で、ワイヤのパターン、切り出し、穿孔があり、これにより使用者は天文学の位置を正確に計算することができる。これは、星や惑星の特定に使用でき、地方時間が与えられれば、地方緯度が決定され (逆も成立し)、測量や三角測量が可能となる。これが以上の目的のために使用されたのは : 古典古代 (classical antiquity)、イスラム黄金時代 (Islamic Golden Age)、ヨーロッパ中世 (European Middle Age)、そして大航海時代 (Age of Discovery) であった。

アストロラーベは六分儀の先駆であり、地上あるいは穏やかな海上で緯度決定に効果的である。もっとも荒れた海の船のうねる甲板上ではあまり信頼できないが、船乗りのアストロラーベがこの問題の解法のために開発された。

10 世紀の天文学者のアブドゥル・ラフマーン・スーフィー (Abd al-Raḥmān al-Ṣūfī) はアストロラーベに関して 386 章から成る大量のテキストを書き、ここで報告されている所によるとアストロラーベの色々な機能に関して、1000 以上の応用を説明した。これらが及んだのは占星術、天文学、宗教、ナビゲーション、季節と日々の計時、そして潮汐表であった。アストロラーベが使用されていた時は、占星術は天文学と全く同様に、まじめな科学として広く考えられ、2 つの研究は手に手を取っていた。天文学の興味は (アラビアのイスラム以前の伝統の) 民間天文学 (これは空と季節の観測にかかわる) と数学的天文学 (これは天文観測に基づく知的実践と正確な計算を知らせる) の間で変化した。アストロラーベの宗教機能に関しては、イスラム教の祈りの時刻の要求は、正確な日々の時間を保証するために、天文学的に決定されることであり、キブラ (quibla) (これはメッカの方向で、ここに向かってイスラム教徒が祈る必要がある) もこの装置で決定された。これに付け加え、アストロラーベの計算でわかる太陰暦は、ラマダン (Ramadan) のような重要な宗教儀式の日を決定するため、イスラム教に」重大な重要性があった。

オクスフォード英語辞書 (Oxford Enslish Dictionary) は英語の astrolabe (アストロラーベ) に "star-taker" (星つかみ) の訳語を与え、中世ラテン語 (ἄστρον: astron 「星」, and λαμβάνειν: lambanein 「つかむ」) のギリシャ語訳 (ἀστρολάβος : astrolábos) を通して、これをたどっている。

中世イスラム世界で、アラビア語の al-asturlāb (アストロラーベ) は色々な語源を与えた。アラビア語のテキストで、この単語は ākhidhu al-nujūm (アラビア語: آخِذُ ٱلنُّجُومْ, 逐語的に 'star-taker' (星つかみ)) に翻訳された ―― ギリシャ語の直接翻訳である。

アル-ビール―ニ (Al-Biruni) は中世の科学者であるハムザ・アル・イスファハニ (Hamza al-Isfahani) を引用し、批判をしている。後者が述べることは

中世イスラム圏の文献では、この言葉が「lines of lab」 (lab の血統) である民間語源 (folk etymology) があり、「Lab」はイドリース (Idris) (= エノク (Enoch)) のある子息を言及している。この語源は 10 世紀の科学者である al-Qummi により言及されたが、アル・フワーリズミー (al-Khwarizmi) により否定された。

アストロラーベは本質的に渾天儀 (armillary sphere) の平面版 (2 次元版) であり、後者はすでに、ヘレニズム時代に発明され、恐らくはヒッパルコス (Hipparchus) により、星表 (star chart) をつくるのに使用された。アレクサンドリアのテオン (Theon of Alexandria, 335 年頃 - 405 年頃) はアストロラーベに関して詳細な論説を書いた。平面アストロラーベ (plain astrolabe) の発明は時々間違えてテオン (Theon) の娘のヒュパティア (Hypatia, 350 年頃 - 370 年頃生誕、415 年死亡) によるとされているが、ずっと以前に使用されていたことが知られている。ヒュパティア (Hypatia) によると間違えられたのは、ヒュパティア (Hypatia) の生徒のシュネシオス (Synesius, 373 年頃 - 414 年頃) による手紙の間違えた解釈によっており、これに言及されたことは、ヒュパティア (Hypatia) が彼に平面アストロラーベの建造法を教えたことであるが、彼女が発明したとは言っていない。ルイス (Lewis) が議論するように、プトレマイオス (Ptolemy) はアストロラーベを使用して、テトラビブロス ( Tetrabiblos) に記録されている天文観測をした。しかしながら、エミリー・サベッジ=スミス (Emilie Savage-Smith) が注意するように

アルマゲスト (Almagest) の 5.1 章でプトレマイオス (Ptolemy) は渾天儀 (armillary sphere) の建造法を述べ、通常、これが彼が使用した機器であると仮定されている。

アストロラーベはビザンティン帝国で使用され続けた。キリスト教徒の哲学者のヨハネス・ピロポノス (John Philoponus) はギリシャ語でアストロラーベの論説を書いた (550 年頃)。これはこの機器に関する現存する最古の論説である。メソポタミアの司教 (bishop) のセヴェルス・セボフト (Severus Sebokht) も 7 世紀中頃に、シリア語 (Syriac language) でアストロラーベに関しての論説を書いた。セボフト (Sebokht) は彼の論説の導入で、アストロラーベが真鍮製であることを言及し、金属製のアストロラーベがイスラム世界や西方ラテン世界 (Latin West) で開発されたよりも随分以前に東方キリスト教世界 (Christian East) で知られていたことを指摘した。

アストロラーベは更に中世イスラム世界で開発され、イスラム世界の天文学者はデザインに角度目盛りを導入し、水平線の方位角を示す円周を追加した。メッカの方向は、主にナビゲーションの助けとして、そしてキブラ (メッカ (Mecca) の方向) を見つける方法として、広くイスラム世界を通して使用された。 8 世紀の数学者のファザーリー (Muhammad al-Fazari) はイスラム世界でアストロラーベを建造したとされる最初の人である。

数学的背景はイスラム世界の天文学者のバッターニー (Albatenius) により彼の論説 Kitab az-Zij (920 年頃) で確立され、これはプラト・ティブルティヌス (Plato Tiburtinus) によりラテン語に翻訳された (De Motu Stellarum)。最も初期のアストロラーベは AH 315 (927 - 928 年) のものである。イスラム世界では、アストロラーベは日の出と決められた星が地平線に上る時刻を見つけるために使用され、朝の祈り ( サラート (salat, 礼拝)) のスケジュールの助けにした。 10 世紀にスーフィー (al-Sufi) はアストロラーベの 1000 以上の異なる使用を始めて記述した。これは天文学, 占星術, ナビゲーション, 測量, 計時, 祈り ( サラート (Salat, 礼拝)), キブラ (Quibla) などの多様な領域においてであった。球面アストロラーベ (spherical astrolabe) はアストロラーベと渾天儀 (armillary sphere) の両方の変種で、中世にイスラム世界の天文学者と発明家により発明された。最も初期の球面アストロラーベの記述はアル=ナイリージー (Al-Nayrizi, 892 年 - 902 年に活躍) にさかのぼる。 12 世紀にシャラフ・アル・ディン・アル・ツシ (Sharaf al-Dīn al-Tūsī) は線形アストロラーベ (linear astrolabe、時には "staff of al-Tusi" (アル・ツシの棒) と呼ばれる) を発明した。これは

西ヨーロッパで最初の既知の金属アストロラーベは 11 世紀ポルトガルの真鍮から作ったデトゥーム・アストロラーベ (Destombes astrolabe) である。金属アストロラーベは大きな木造アストロラーベに起きるゆがみを避け、より大きく、もっと正確なものを建造することを可能にした。金属アストロラーベは同じ大きさの木造機器よりも重く、ナビゲーションで使用することが困難になった。

ライヒェナウ修道院 (Reichenau Abbey) のヘルマヌス・コントラクトゥス (Herman Contractus) は 11 世紀に Mensura Astrolai (本の名称「占星術師の方法」) でアストロラーベの使用を調査した。ピエール・ド・マリクール (Peter of Maricourt) は 13 世紀後半にユニバーサル・アストロラーベ (universal astrolabe) の建造と使用に関しての論説 ―― Nova compositio astrolabii particularis (特別なアストロラーベに関しての新著述) ―― を書いた。ユニバーサル・アストロラーベ (universal astrolabe) はオクスフォードの科学史博物館 ( History of Science Museum, Oxford) にある。イスラム世界の機器類の歴史家であるデイビッド _A, キング (David A. King) の記述するところでは、ユニバーサル・アストロラーベ (universal astrolabe) はアレッポのイブン・アル・サラージ (Ibn al-Sarraj of Aleppo, 別名 Ahmad bin Abi Bakr; 1328 年に活躍) が「中世とルネッサンスの全時期を通じて、最も洗練された天文機器」としてデザインしたとのことである。

イングランドの著作家のジェフリー・チョーサー (Geoffrey Chaucer, 1343 年頃 - 1400 年頃) は彼の子息のために、マーシャッラー (Messahalla) あるいはイブン・アル・サファル (Ibn al-Saffar) の作品に基づいて、「アストロラーベに関しての論説」 (A Treatise on the Astrolabe) をまとめた。同じ文献はフランスの天文学者且つ占星術師のピルラン・ド・プリュス (Pélerin de Prusse) 等により翻訳された。アストロラーベに関しての最初の印刷された本はクリスチャン・オブ・プラハティツェ ( Christian of Prachatice) による「アストロラーベの組み立てと使用」(Composition and Use of Astrolabe) であり、これもマーシャッラー (Messahalla) を使用しているが、比較的独創的であった。

1370 年に、アストロラーベに関しての最初のインドの論説はジャイナ教の天文学者のマヘンドラ・スリ ( Mahendra Suri) により書かれ、表題は Yantrarāja であった。

単純化されたアストロラーベは balesilha と呼ばれ、船乗りが海上で正確な緯度を読み取るために使用された。 balesilha の使用は、エンリケ航海王子 (Prince Henry, 1394 年 - 1460 年) により、ポルトガルに向けて航行中に奨励された。

アストロラーベはオーリヤックのジェルベール (Gerbert of Aurillac) (将来のローマ教皇シルウェステル2世 (Pope Sylvester II)) により、ピレネー山脈の北に始めて持ち込まれたのはほとんど確実で、 11 世紀初めより以前に、ここでフランス、ランス (Reims) の学校で四学科 (quadrivium) に組み込まれた。 15 世紀に、フランスの機器製造家のジャン・フュソリ (Jean Fusoris, 1365 年頃 - 1436 年頃) も、パリの店でアストロラーベを作り直したり、売ることを始め、携帯用の日時計などの人気の高い科学装置と同様にした。

彼のアストロラーベの 13 個が今日まで生き延びている。ヨーロッパの 15 世紀始めの、職人技のもう一つの特別な例は、 1420 年のアストロラーベで、Antonius de Pacento によりデザインされ、 Dominicus de Lanzano によって製造されたものである。

16 世紀に、ヨハネス・シュテッフラー (Johannes Stöffler) は Elucidatio fabricae ususque astrolabi ―― アストロラーベの製造と使用のマニュアル ―― を出版した。ゲオルグ・ハートマン (Georg Hartmann) により製造された四台の 16 世紀の全く同一のアストロラーベは労働力の分割 (division of labour) による「一括生産」 (batch production) の最も初期の証拠の幾つかを提供している。

ギリシャの画家のイエレミアス・パラダス (Ieremias Palladas) は「アレクサンドリアのキャサリン」 (Catherine of Alexandria) を描いた 1612 年の絵画に洗練されたアストロラーベを組み込んだ。「アレクサンドリアのキャサリン」 (Catherine of Alexandria) と題した絵画は、聖者に付け加え、「宇宙のシステム」 (system of the universe', Σύστημα τοῦ Παντός) のラベルがついている装置を見せている。この装置は古典的な惑星をそのギリシャ名で呼び物にしている : ヘリオス (Helios (Sun, 太陽)), セレーネ (Selene (Moon、月)), ヘレメス (Hermes (Mercury, 水星)), アフロディーテ (Aphrodite (Venus, 金星)), アレス (Ares (Mars, 火星)), ゼウス (Zeus (Jupiter, 木星)), そしてクロノス (Cronos (Saturn, 土星))。描かれた装置には、プトレマイオスのモデルに従って天球もあり、地球は青い球として表示され、地理座標の円が付いている。地軸を表す複雑な直線が、機器全体に及んでいた。

訳注

右上の画像の詳細な説明を読むと、これは天文学者の Mash'allah (マーシャーアッラー、820 年死亡) による astrolabium (ラテン語、アストロラーベ) の画像で、彼の仕事の 14 世紀の写本のコピーとのことである。(年代が矛盾しそうに見えたので少し詳しく調べた。もっとも 14 世紀と 1575 年では矛盾しそうだが...。)

機械的な天文時計 (astronomical clock) は始めはアストロラーベに影響を受けた; これらは、多くの方法で、太陽, 星, そして惑星の現在位置の連続表示を生成するように、アストロラーベがデザインした時計仕掛けと見なすことができる。例えば、ウォーリンフォードのリチャード ( Richard of Wallingford) の時計 (1330 年頃) は本質的に星図から構成され、これが固定したリート (rete) の背後で回転し、アストロラーベのものに類似している。

多くの天文時計はアストロラーベ形式のディスプレーがある。例えば、プラハの有名な時計は、黄道面の立体射影 (以下を参照) を採用している。最近、アストロラーベ時計の人気が出ている。例えば、スイスの時計メーカーのルードヴィッヒ・エクスリン (Ludwig Oechslin) は 1985 年にユリス・ナルダン (Ulysse Nardin) と共同でアストロラーベ腕時計をデザイン・建造した。オランダ時計メーカーのクリスティアン・ヴァン・デル・クラーウ (Christaan van der Klauuw) も、今日、アストロラーベ時計を製造している。

アストロラーベを構成するのは、広く、持ち上げた縁を持つ円盤で、これはメーター (mater, mother) と呼ばれ、十分に深く、ティンパン (tympan) あるいはクライメーター (climate) と呼ばれる 1 枚以上の板を保持する。ティンパン (tympan) は特定な緯度用に作られ、方位角 (azimuth) と高度を示し、地方水平線上の天球部分を表示する円の立体射影で刻まれている。メーター (mater) の縁は典型的には、時刻, 角度, あるいはその両方で目盛りが付けられている。

メーター (mater) とティンパン (tympan) の上方で、リート (rete、黄道面と最も明るい星の位置を示す幾つかのポインターの射影を支える枠組み) が自由に回転する。これらのポインターはしばしば単純な点であるが、職人の技術に依存して、とても精巧で芸術的である。芸術的ポインターを持つアストロラーベの実例があり、ポインターの形がボール, 星, 蛇, 手, 犬の頭, 葉などになっている。指定された星の名前はしばしばアラビア語かラテン語で彫り込まれていた。アストロラーベによっては細いルール (rule、[訳注: 下方のハートマン・アストロラーベの絵に表示されている]) やラベル (label) があり、これがリート (rete) の上で回転し、赤緯の目盛り (scale) でマークされていることもあった。

リート (rete) は空を表し、星図のように機能する。これが回転すると、星と黄道がティンパン (tympan) の座標の射影の上を動く。完全な 1 回転は 1 日の経過に対応する。従ってアストロラーベは現代の星座早見盤 (planisphere) の先駆である。

メーター (mater) の後方には、しばしば幾つかの目盛り (scale) が刻印され、アストロラーベの色々な応用で役に立つ。これらはデザイナーからデザイナーによって変化するが、含まれることにあり得るのは : 時刻変換のための曲線、日月を黄道上の太陽の位置に変換するカレンダー、三角関数の目盛り、後方の縁の周りの 360度の目盛りがある。アリダードが背面 (back face) に付属している。アリダードはペルシャのアストロラーベの右下のイラストに見ることができる。アストロラーベを垂直に持てば、アリダードを回転することができ、太陽や星をその全長に沿って見ることができ、従ってその高度がアストロラーベの目盛りが付いた縁から角度で読み取ることができる。ここからアストロラーベのギリシャ語の語源になる : "astron" (ἄστρον) = star (星) + "lab-" (λαβ-) = to take (つかむ)。アリダードは垂直と水平な照準線 (cross-hair) があり、これは等高度線 (almuncanter, altitude-distance circle) と呼ばれる方位角リング (azimuthal ring) の上に位置をプロットする。

半径 (radius) と呼ばれる腕がアストロラーベの中心から、光学軸 (optical axis) の中心を接続し、この光学軸は別の腕と平行し、この腕も半径 (radius) と呼ばれ、この別の半径には、高度と距離の測定の目盛りがある。

シャドー・スクエア (shadow square) も幾つかのアストロラーベの裏面に登場する。これはイスラム世界の 9 世紀の占星術師により、開発された。一方古代ギリシャを伝統にする装置は装置の裏面で高度の目盛りのみを呼び物にした。

装置は通常、製造者により署名され、署名はアストロラーベの裏面に登場し、もしもオブジェクトの後援者がいれば、表面に刻印され、ある場合には支配君主 (sultan) やアストロラーベの使い手 (astorolabist) の先生がこの場所に刻印されていることが見いだされた。アストロラーベ建造の日付もしばしば署名され、これにより歴史家が結論できたことは、これらの装置が世界で二番目に古い科学機器であることである。アストロラーベの刻印によっても、歴史家が結論できたことは、天文学者が自分のアストロラーベを作る傾向があったことであるが、多くは売るために注文・貯蔵されたことであり、当時のこの装置の何らかの市場があったことが示唆される。

アストロラーベの建造・デザインは天球の立体射影の応用に基礎を置く。通常、南極から射影する。射影される平面は赤道面である。

ティンパン (tympanum) は天球座標軸を捉え (capture)、この上でリート (rete) が回転する。これは特定の、年・日・時間で星の位置を正確に決定することを可能にする部品である。

回帰線と赤道がティンパン (tympanum) を定義する

天球赤道面に射影する時、3 個の同心円が天球の 3 個の緯度の円 (画像の左側) に対応する。これらの最大のもの ―― 天球の南回帰線の天球赤道面への射影 ―― は、アストロラーベのティンパン (tympanum) の大きさを定義する。ティンパン (tympanum) の中心 (そして 3 円の中心) は実際は地球が回転する南北の軸であり、従ってアストロラーベのリート (rete) は、1 日の時間が経過するにつれ (地球の回転運動により) この点のまわりに回転する。

ティンパン (tympanum) の 3 つの同心円は 1 年を通じ、夏至・冬至と春分・秋分の正確な時を決定するのに便利である。リート (rete) での正午の太陽の高度は既知で、ティンパン (tympanum) の外側の円に一致すれば (南回帰線)、これは夏至を示す。もしも高度が中間の円 (赤道) にあれば、これは春分・秋分の 1 つに対応する。

水平線と高度の測定

水平線を天球赤道面に射影すると、 (観測者と南北軸のどちらに関しても) ティンパン (tympanum) の中心に相対的に上方にシフトした楕円 [訳注: 「円」の間違い] に変換する。これが意味することは、天球の一部分がティンパン (tympanum) の外側の円 (南回帰線) の外に出ることであり、従って表示されない。

付け加えると、天頂に至るまで、水平線に平行な円 (等高度線 (almucantar)) を描き、これを (上の画像のように) 天球赤道面に射影する時、連続する楕円 [訳注 : 「円」の間違い] の格子が作られ、リート (rete) が設計ティンパン (designed tympanum) と重なる時に星の高度の決定が可能となる。

子午線と方位角の測定

天球の子午線 (cerestial meridian) を射影する時、これはティンパン (tympanum) の垂直軸 ―― 天頂と天底がここにある ―― と重なる直線になる。しかしながら、東 40° (40° E) の子午線を射影する時、天頂と天底 (の射影) の両方を通る別の円が得られ、その中心は 2 点を結ぶ線分の垂直 2 等分線に属する。実際に天球の子午線の射影は無限大半径 (直線) の円と見なすことができ、その中心はこの垂直 2 等分線にあり、 2 点から無限遠の距離にある。

天球を等しい扇形 (天頂から放射するオレンジの薄切りのようなもの) に分割する逐次子午線が射影されると、天頂の射影を通り抜ける一群の曲線が得られる。これらの曲線は主要な星を含むレート (rete) と一旦重ね合わせると、レート (rete) に位置する星の、1 日の特定の時に、方位角を決定できる。

球面上の一点 P と南極 S を結んだ直線が赤道面 H と交差する点を Q とする。 P に対して Q を対応させる対応のことを立体射影という。立体射影により、球面上の点で南極以外が、平面上の点と一意的に対応する。南極における接平面 K は H に平行であることに注意する。

注意

「角度を保存する」の意味は証明を見れば明らかとなります。この事実が理解できていないと、アストロラーベを作ることができません。だからこれは古代ギリシャですでに知られていたことで、その理解の仕方は以下の証明で述べるようなものであろうと思われます。
2 に関しては 2 通りの証明を与える。最初の証明はアールフォルスの「複素解析」の最初の証明を複素数を使用しないように変更したものです。 2 番目の証明は、古代ギリシャではもっと別な証明をしたであろうと思って、色々検索して見つけた証明を真似したものです。英語のページでも日本語のページでも見つけたのですが、理解がしにくかったので、方針だけは真似をして、それ以上は自分で考えました。私の証明も誤解を招く部分があるかもしれません。

証明

(1) に関して T_P を点 P における球面の接平面、 T_Q を点 Q における H の接平面とする (T_Q と H は同じ)。 P における球面の接線は T_P における P を始点とする線分 r である。立体射影により P における接線 (P を始点とする線分) r が Q における接線 (Q を始点とする線分) r' に写ることになる。すると、r と S を含む平面は T_Q と交差し、その交わりが線分 r' を含んでいる。

なお点 P における接線は厳密には球面上にはないが、点 P の十分小さな領域で考えれば、接線は球面上にあるとしてよい。また r' は r よりも短くなるが今問題としているのは方向のみで、同じ長さの線分に置き換える。示すべきことは点 P における 2 本の接線が点 Q における 2 本の接線に写る時に、接線の角度が保存されていることである。

上の図は PS を通る平面で断面図を描いたものである。 P における接平面は球面と 1 点 P を共有するため、断面図では円の接線となっており、南極 S における接平面も断面図では円の接線となっている。赤道面と南極 S における接平面は平行であるから、断面図に見える PQ を底辺とする三角形は二等辺三角形であることに注意する。

P, Q の中点を通り、PS に直交する平面 M を考えると (M, T_P, T_Q の共通部分は直線で、図では T_P, T_Q の交点として表示されている) r と r' は M に関して面対称である。よって点 P における 2 本の接線 r₁, r₂ が立体射影により、点 Q における接線 r₁', r₂' に写れば r₁ と r₂ の成す角は r₁' と r₂' の成す角に等しい。

(2) の証明、その 1 『L.V. アールフォルス、複素解析、現代数学社』では複素数を使用して証明しているが、複素数を使用しなければ次のようになる。

球面が

{ (x₁, x₂, x₃) | x₁² + x₂² + x₃² = 1}

で与えられ、南極が (0, 0, -1) で与えられている。立体射影により、球面上の点 (x₁, x₂, x₃) が赤道面の点 (X, Y, 0) に写ったとすると

X = x₁ (1 + x₃)^-1, Y = x₂ (1 + x₃)^-1 ........(1)

ここから X² + Y² を計算すると X² + Y² = (1 - x₃)(1 + x₃)^-1 となり, 以下の右辺の式を計算すると左辺を得る。

x₃ = (1 - (X² + Y²)) (X² + Y² + 1)^-1
1 + x₃ = 2 (X² + Y² + 1)^-1

ここで (1) を適用すると

x₁ = 2 X (X² + Y² + 1)^-1, x₂ = 2Y (X² + Y² + 1)^-1 ,
x₃ = (1 - (X² + Y²)) (X² + Y² + 1)^-1 .........(2)

さて、球面上の円は球面と平面の共通部分として表示され、そのとき平面は次としてよい。

a₁x₁ + a₂x₂ + a₃x₃ = a₀ (a₁² + a₂² + a₃² = 1, 0≦a₀＜1) .......(3)

これに (2) を代入して整理すると

2a₁ X + 2 a₂ Y + a₃ = (a₀ + a₃) (X² + Y²) + a₀

この式は a₀ + a₃≠0 のとき、円の式であり (∵ X² の係数 = Y² の係数)、 a₀ + a₃＝0 のとき、直線である。後者の場合は平面 (3) は南極 (0,0,-1) を通り、平面 (3) と球面の共通部分は南極を通る円である。

(2) の証明、その 2 球面上の円 C は球面の外の点 V を固定し、そこから球面に無数の接線を描いたときに、その接点の集合として得られる。V と南極 S を結ぶ直線と赤道面 H との交点を W とする。円 C 上の任意の点を P とし、P が立体射影により点 Q に写されるとする。そこで S, V, P を含む平面によって断面図を描く。以下がその断面図である。明らかに W, Q は断面上に存在している。

この断面図で注意する点は、この断面は一般に球の中心を通っていないし、また円 C の中心を通っていない。 (球の中心と V を結ぶ直線が球面と交わる点が円 C の中心。)

H は赤道面で、K は南極における接平面である。点 V を通り、H に平行な平面を H' とし、P,Q,S を通る直線と H' との交点を R とし、 V,P を通る直線と K との交点を T とする。

TP, TS は接線であるから |TP| = |TS| であり、 ⊿TSP は二等辺三角形である。 ⊿ RPV は ⊿TSP に相似だから、これも二等辺三角形で、 |VP| = |VR| となる。|VP| は一定であるから |VR| も一定である。さて

|WQ| = |VR| × |SW|/|SV|

以上より |WQ| は一定の大きさで、従って、点 Q は点 W を中心とした円周上にある。

に書いてあったことの概要です。現在はこのファイルはインターネットで読むことができなくなっています。内容はページの作者が学生時代に受講した講義を思い出しながら書いてあったと思います。 (だから元をたどれば大学の授業 (天文史あるいは数学史 ?) の一環。) 少々明確でない箇所もあったような気がしますが、そこから再構成する私の説明も明確でない箇所があるかもしれません。但し少々不正確でも論理的に再構成することは可能であると思います。

作成するのはボール紙でできたティンパンと透明なプラスチックでできたリートです。必要な物はこれ以外に、分度器、円を描くためのコンパス、筆記用具 (プラスチックの上に描けるもの) ですが、コンパスは大きな半径の円を描く必要があり、どの程度になるかわかりません。更に、現在地の緯度と表示したい星の座標 (赤緯、赤経) が必要です。

注意

このページを最初に書いた時には知らなかったことですが、大きな円を描くには「ビームコンパス」と呼ばれるものがあります。インターネットで検索すれば色々見つかります。ビームコンパスは単純なので古代でも製造できます。
アストロラーベ自身に描く円の中心は、場合によっては、かなり離れた所にあるはずなので、「ビームコンパス」があっても何らかの工夫が必要となります。

必要な予備知識は「立体射影に関して」で述べたことだけで、立体射影により、円が円に写り (但し天球の南極を通る円は直線に写り)、角度を保存するという 2 点のみです。だから古代でも可能な方法です。

アストロラーベを作るには天球を 1 つ固定して、天球上の円や点を立体射影してできる像を決めるだけです。円は一般的には立体射影により、円に写りますから、円の中心と半径がわかれば像を決めることができます。例えば、円の直径がわかればよい。これを決めるために、定規、コンパス、分度器を使用して補助的な作図をするだけです。

注意

分度器は現在ではありふれた道具ですが、これは定規とコンパスだけでは作ることができません。基本的には三角関数の表が必要です。アストロラーベを作るには最初に三角関数の表を作り、次にここから分度器を作る必要があります。古代にはこの作業はとても大変であったはずです。分度器があれば、あとはコンパスを使用して非常にたくさんの円を描けばアストロラーベが作成できます。アストロラーベの製作に必要となるのは、直線と円の描画のみです。

ティンパンに描くのは、アストロラーベを使用する場所における、高度の曲線と方位角の曲線のみです。

一般的には用紙を上下半分に分け、上半分には天球の北極、天頂、天球の南極、天底をとおる面に関しての断面図を描き、その下には赤道面を真上から見た図を描きます。一旦一つの円が描けたら、この絵には描きこまず別の紙で作業をする方がよく、最終的には清書用の用紙に書き写す必要があります。(後に掲載する「全体の作図法」の挿絵を見てください。)

一番最初に子午線を描きます。子午線は天球の北極、南極、天頂を通る円ですが、南極を通りますから直線になります。次に天球の赤道を描きます。これは子午線の上に中心を持つ円になり、半径は天球の半径と等しくなります。

次に天頂、天底 (= 天頂の対称点)、地平線 (水平線) を描きます。立体射影により、これは円になり、しかも子午線に対して対称となるため、子午線上に中心を持つ円になります。円の直径の両端を求めるために断面図を描きます。断面図では地平線は線分になり、この両端の立体射影による像を決めればよいだけです。なお、地平線と天球の北極 (北極星) の成す角度はアストロラーベを使用する場所の緯度に等しくなります。

次に天球上で高度が a° の点である円の立体射影による像を描きます。これも地平線と同じ要領です。再び、子午線上に中心を持つ円になります。

以上は表から見ても、裏から見ても同じ図でした。実は、アストロラーベに表示する絵は下から見上げた図にする必要があります。

今度は、方位角 b° の大円 (方位線) を描く必要があります。天球上ではこれは天頂と天底を通る円で、子午線を天頂の周りに東の方向に b° 回転して得られる円です。立体射影により、これは円に写ります。わかっていることは、天頂と天底の像を通る円であることです。従って立体射影をした後では、天頂と天底を結ぶ線分の垂直二等分線上に円の中心があることになります。

北に向かって下から見上げると、北極星は下の方に見えます。だから、天頂が上で北極星が下にないといけません。方位角 b° の大円の天頂における接線が子午線から反時計方向に (裏から見ている) に b° の方向にないといけません。円の中心はこの接線の垂直方向にあるので円の中心と半径が決定されます。これで円が描けます。半径がかなり大きいので、この円を描くのがやっかいです。しかし、実際に円弧を描く必要があるのは地平線までです。下で描けているのは b° の方位線ではなく - b° の方位線です。表示がやりにくいので、このようにしています。

ティンパンの周囲に描く時刻は、子午線の南が昼の 12 時、北が夜の 12 時で、反時計方向に均等に時刻を描きます (裏側から見ている)。

次にリートを描きます。リートに描くのは星と黄道です。

リートに描きたい星の赤緯、赤経を調べます。下の図から、描きたい星の中心からの距離がわかります。円の半径は天球の赤道の半径です。

リートに星を描きます。時刻も書き込んでおきます。時計方向に順に書き込みます。 (赤経は天球の外で北極の側を見た場合には反時計方向に増えます。裏から見ているため、描くのはこの逆向きになります。)

次に黄道を描きます。これは赤道面に 23.5° 傾いています ( 黄道の挿絵を参照)。断面図から直径の両端を求めておいて、それを使用して立体射影をしてできる円を描きます。

黄道は幅を持った円にしないと、星座名を書けません。更に黄道を分割して星座名を書きこみます。下の図には番号しか書いてありませんが次の名前を書きこみます。

ティンパンとリートの北極に穴をあけ、そこで回転できるようにすれば完成です。全体を大きな円上に切り取ることも無論必要です。太陽の位置は、0時が春分、6時が夏至、9時が秋分、18時が冬至の時です。またティンパンの地平線の円で囲まれた箇所が目で見える星になります。

この説明は少しいい加減です。黄道上の黄経が θ の点の赤経を θ' とすると、 θ と θ' は必ずしも等しくありません。実際は

となるので、この角度で 90° を 3 個に分割し、分割した点と円の中心を結んで、黄道を分割する必要があります。この直線は赤経の線 (の立体射影による像) です。

注意

上の式は最初は自分で導いたものでした。その時点では古代でこれが可能であるかどうか少し疑問でした。そのため、上の挿絵ではそれを無視した分割をしています。しかし「カッツ、数学の歴史」にプトレマイオスのアルマゲストに「太陽の黄経から赤緯と赤経を求める方法」が書かれていることに気がつきました。つまり、古代ギリシャでは上の式は知られていたことで、黄道の分割は上で与えた角度で分割する必要があります。
以上の事実に気がつくと色々なことが結びつきます。まず三角法の歴史では、最初の三角法の数表をまとめたのはヒッパルコスであると思われていると記述され、このページの本文の冒頭では「初期のアストロラーベは... 往々にしてヒッパルコスによるとされている」と書かれています。これは単にヒッパルコスが三角法の数表を作ったのみならず、その利用法 (例えば「太陽の黄経から赤緯と赤経を求める方法」) を十分熟知していたことを意味し、それによりアストロラーベも製造することができたことを意味します。
上で与えた θ と θ' の間の関係の現代的証明に関しては三角法の歴史の訳注 2：太陽の黄経から、太陽の赤緯と赤経を求める方法を参照のこと。tan はプトレマイオスの時代には知られていませんが、上で与えた公式はアルマゲストに書かれている式と同値とのことです。

一方、0時、6時、12時、18時に分割された円に時刻を書き込むときには 30°、60°、... に相当する箇所が 2時、4時、... となります。こちらは天球の赤道を分割する必要があるためです。

以上のようにしてアストロラーベができますが、これは太陽の見かけの動きが完全円で、太陽が等速円運動をしていることが前提となります。

アストロラーベを使用するには大体どうすればよいかわかりますが、多分自己流となるので使用方法に関しては詳しい説明を省きます。しかし日付がわかっていればすぐにも次がわかります。

1.牡羊座	2.牡牛座	3.双子座	4.蟹座	5.獅子座	6.乙女座
7.天秤座	8.蠍座	9.射手座	10.山羊座	11.水瓶座	12.魚座


北アフリカ、9 世紀平面アストロラーベ (planispheric astrolabe) カリリ・コレクション ( Khalili Collection)	2013 年製造の現代のアストロラーベイラン、タブリーズ (Tabliz)


アラブのアストロラーベ 1208 年	球面アストロラーベ	アストロラーベを持つライヒェナウのヘルマン (Hermann of Reichenau) の絵、マシュー・パリ ( Matthew Paris) の 13 世紀写本


インドのアストロラーベの前面、今はエディンバラのスコットランド王立博物館に保存	天文機器詳細 (絵) イエレミアス・パラダス (Ieremias Palladas) による。 1612 年


ペルシャの科学者のナスィールッディーン・アッ＝トゥースィー (Nasir al-Din al-Tusi) によるアストロラーベの重要性を説明する論説	パリで作られたジャン・フュソリ (Jean Fusoris) のアストロラーベ, 1400 年	18 世紀のペルシャのアストロラーベ


分解した 18 世紀のアストロラーベ	アストロラーベを開放した姿	天球且つ地理座標が立体射影によりアストロラーベのティンパン (tympan) にいかに写像されるかを示す動画。 16 世紀ヨーロッパの平面アストロラーベ (planispheric astrolabe) の仮想的 tympan (北緯 40 °)


カスティーリャ王アルフォンソ10世の時代の Libros del saber de astronomia (天文学[占星術]の知識の本) のアストロラーベ・マニュアル	アストロラーベを描写する 1575 年の本の Astrolabium の 1 頁、ブルッヘ公共図書館写本 522 マーシャーアッラー (Masha'Allah Public Library Bruges Ms. 522)


エール・コレクション(Yale collection) のハートマン・アストロラーベ、この機器にリート (rete) とルール (rule) が見える	天球儀 (Celestial Globe)、イラン、イスファハーン(Isfahan)(?), 1144 年。ルーブル博物館で展示、この天球儀は世界に残存する 3 番目に古いもの	計算機が生成する平面アストロラーベ (planispheric astrolabe)

中世のアストロラーベ