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以下の文書は次の翻訳です。 使用している絵も英語版の Wikipedia の絵から作ったものです。

Sundial - Wikipedia (日時計)

このページに書かれている日時計は基本的には視太陽時を計るものです。 「歴史」の中に古代エジプトの影時計が登場しますが、これは視太陽時を正確に測るものではないと思われ、 このページでは、これだけが例外です。またここでは 1 日を 24 等分する等分時間しか考えません。 昼間、夜間をそれぞれ 12 等分する非等分時間の場合には近似的な時刻を表示する四分儀 (四分儀 を参照、「時の四分儀」) もイスラム世界に あったようですが、ここでは登場しません。

日時計を作るには、緯度の概念が必要ですから、地球が丸いことを知っていないといけません。 また地球の半径が地球から太陽までの距離に比べると非常に小さいことを理解していないといけません。 これで始めて、地球上において地軸と平行な軸のまわりを太陽が等速円運動をするとみなすことが できるのです。だからギリシャ天文学ないしはプトレマイオスの アルマゲストを知っていないと作れない。 この知識があって始めて太陽板日時計などが作成できるのです。 円周を 24 等分することは定規とコンパスだけで可能ですから、ごく基礎的な平面幾何学で事が足ります。

これ以外の日時計を作成するには分度器や三角法の知識が必要となります (例えば水平日時計)。 分度器の製造は三角法に基づいていると思われますから、基本は三角法です。 三角法は一応はプトレマイオスによって知られていましたから、ヘレニズム時代には可能であることは 間違いありませんが、当時の方法ではとても処理がややこしくなります ( プトレマイオスの弦の数表 三角法の歴史 を参照のこと)。 だから、日時計を簡単に作成できるようになるためには三角法が現代のように処理しやすい形でなければいけません。 三角法は、インド、イスラム世界で随分と改良され、今日の形のようになり、 それがヨーロッパに流入するのがルネッサンスです。 従って、ヨーロッパではルネッサンスを待って始めて色々な日時計を作れるようになるのです。 またヨーロッパでは 14、15 世紀に機械式塔時計が普及し、日時計は機械式時計の時刻合わせに使用されたことも重要です。 このようなことは以下のページでほとんど触れていませんが、以上を念頭に置いておく方がよいようです。 日本ではようやく 18 世紀になって中根元圭が三角法を導入している。 (中国の天文学 の訳注の 日本に地動説が伝来した時期 を参照のこと。)

更に、精密日時計を作るには、アナレンマ均時差のことを知っている必要があり、 これを計算するにはケプラーの法則などを知っている必要が ありますから、随分と現代的な知識が必要となります 均時差の表が作成されるのは、振り子時計が発明された後です。 振り子時計が極めて高精度となったため、この時点で視太陽時と平均太陽時の違いが問題となったのです。 平均太陽時と視太陽時の違いは ±15 分以内で、振り子時計の発明により、始めてこの違いが問題となったのです。

なお、どの部分を読むにせよ、「用語」は先に読んでください。

日時計 (Sundial)

日時計は太陽の位置で時刻を測定する装置である。 水平日時計などで共通するデザインでは太陽がスタイル (style) の 影を平面に落とし、そこには時を記した線が表示されている。 スタイルとは時針 (ノーモン、gnomon) の時を告げるエッジ (端) の ことであり、通常は細い棒もしくは鋭く直線状のエッジ (端) である。 太陽が空を移動するにつれ、エッジの影が異なる「時刻線」とそろう。 日時計が正確な時を告げるためには、地球の回転軸と同じ方向になければならない。 大半のデザインではスタイルは (磁北や磁南ではなく) 真の北を指していないといけない。 すなわち、スタイルの水平面との角度は日時計の緯度に一致していなければならない。

訳注
  1. 上の文からわかるように、「スタイル」(syle) は日時計の場合には時針 (ノーモン) のエッジのことです。 このページではスタイルはこの意味にしか使用しません。
  2. 英語の gnomon はノーモンと発音しますが「グノモン」と書いてあるページもあります。 gnomon は英語の know (知る) とギリシャ語の語源で関連し、以下では「ノーモン」と記述します。

不幸なことに安価で装飾的な日時計では角度が不正確で、 正確な時を告げるように調整することができない。


南南西を向く斜方位垂直日時計
英国、 サフォーク、 オールドバラの
ムートホール (Moot Hall)

マルキアノポリスの古代の日時計
訳注
  1. オールドバラ (Aldeburgh) の Google マップ
  2. マルキアノポリスは古代ローマの遺跡で デヴニャ に登場します。
  1. 太陽の見かけの動き
  2. 歴史
  3. 用語
  4. 南半球の日時計
  5. 固定したノーモンを持つ日時計
  6. 日時計の表示から時刻を計算するための補正
  7. 可動なノーモンを持つ日時計
  8. 高度に基礎を置く日時計
  9. ノーダスに基礎を置く日時計
  10. 複合日時計 (multiple dials)
  11. 風変わりな日時計
  12. 子午線直線
  13. 日時計のモットー

日時計には色々な種類がある。 ある種の日時計では時刻を示すのに光の線を使用するものもあるし、 エッジの影を使用するものもある。 太陽光から光の点を作るものもあり、この場合には太陽光を小さな穴を通すか、 小さな丸い鏡に反射させる。

日時計で時刻を読み取るには、 影を落とすオブジェクト -- ノーモン -- は細い棒でもよいし、 とがったものでもよいし、まっすぐなエッジでもよい。 日時計のノーモンには色々な形式のものがある。 ノーモンは固定することもあるし、季節によって移動することもある。 日時計は垂直に向けてもよいし、水平に向けてもよく、 地軸と向きをそろえるか、数学的に決定される全く別な方向にそろえてもよい。

日時計の光や影を受ける面にも色々な形式がある。 最も普通なものは平面であるが、 球面、円筒、また円錐の一部であることもあるし、それ以外のものもある。 これは、より精度を高めるためであることもあるし、より美しく見せるためであることもある。

日時計は (その種類により) 持ち運びが可能であるか、あるいは向き付けが必要であるかという点において互いに異なっている。 多くの日時計の設置には (設置場所の) 緯度、 正確な垂直方向 ( 水準器もしくは重りで決定される)、及び真の北の方向が必要である。 持ち運び可能な日時計は自己調整でき、 例えば異なる原理で動く 2 種類の日時計 -- 水平日時計と アナレンマ日時計など -- の両方を一つの盤面に搭載している。 このようなデザインでは盤面を適当な方向にそろえた時にのみ 2 つの時刻が一致するのである。

日時計は無修正であれば地方時を表示するのみである。 公式時間を得るためには 3 つの補正が必要である。

第一に地球の軌道は完全な円ではなく、自転軸は軌道面に垂直ではない。 日時計に表示される太陽時は、従って、一年を通じて地方時とわずかに異なっている。 この補正 -- 最大 15 分程度 -- は 均時差 (equation of time) により記述できる。 高度に洗練された日時計ではスタイルや「時刻線」が曲線となり、 この補正を組み込むことができる。 普通は、しかしながら、より単純な日時計が使用され、 これには一年を通じて補正を与える小さな板 (plaque) が付いている。

訳注
この小さな板 (plaque) には、月ごとの補正時間が書いてあるようです。

第二に太陽時は日時計の経度と公式時間を与える経度の違いで補正しなければならない。 例えば英国、グリニッジの西に位置して、同じ時間帯に属していれば公式時間より時刻の表示が遅れ、 公式な正午を過ぎた後に正午を迎える。これは太陽が真上を通過するのが後になるからである。 この補正は、普通は経度の違いだけ「時刻線」を回転させるだけで良い。

最後に夏時間補正のためには、日時計は太陽時よりも一定時間 -- 通常は一時間 -- ずらす必要がある。 この補正には板 (plaque) を補正するか、「時刻線」の番号を 2 重にふればよい。

太陽の見かけの動き

日時計の原理は太陽の見かけの動きによって理解できる。 地球は軸の周りを回転しながら、太陽の周りを楕円軌道で動く。 これを調べるには綿密な観測と実験が必要である。 日時計の目的のためには太陽が静止した地球の周りを天球上で動くと 仮定しても十分な近似が得られる。この場合、太陽は地球の周りを 23 時間 56 分で一回転する。 天球の軸は天球の極を結ぶものである。 天球の軸は地球の回転軸と同じ方向に向いているため、 軸が地平線と成す角度は緯度と一致する。

訳注
太陽が地球の周りを一回転する時間は見かけ上は 24 時間です。実際は、地球が太陽の周りを 回っているため、見かけの時間と実際の時間がずれることになります。 日時計では見かけ上は太陽が地球の周りをまわっていると考える方が考えやすいので、 上記の 23 時間 56 分は余計な指摘です。

恒星と違って、太陽は天球における位置を変え、 夏には正の 赤緯となり、冬には負の赤緯となり、 春分秋分にはちょうど赤緯が 0 (すなわち天球の赤道上) となる。 太陽の天球における通り道は 黄道と呼ばれ、 黄道は黄道帯の 12 個の星座を通過している。



シンガポールの植物園の日時計
シンガポールはほどんど赤道の上にあり、
これがデザインに反映されている

この太陽の動きのモデルにより、日時計を理解できる。 もしも影を落とすノーモンが天球の極と同じ方向にあれば、 影の回転は一定であり、季節によって変化しない。 これが最も普通のデザインである。 この場合には同じ「時刻線」が季節を通して使用できる。 もしも影を受ける面が (赤道板日時計のように) ノーモンに直交するか、 (アーミラ日時計のように) ノーモンのまわりの円であれば、 時刻線は等間隔となる。

これ以外の場合には、影が一様に回転するにせよ、 「時刻線」は等間隔ではなく、 「時刻線」はそれに応じて補正しなければならない。 ノーモンの先端をかすめて通る光線、 小さな穴を通る光線、あるいは小さな鏡で反射される光線は 天球の極の方向を向いた円錐となり、円錐の断面を描く。 影は 放物線、楕円あるいは (北極、南極においては) 円、等となる。

訳注
太陽が地球を回るモデルで考えよう。
  1. 太陽と地球の距離は地球の半径よりもずっと大きいので、 太陽が地軸のまわりを回転することと、太陽が地球上の地軸と平行な直線のまわりを 回転することに関しての違いがほとんどありません。 「太陽と地球の距離は地球の半径よりもずっと大きい」ことはプトレマイオスのアルマゲストに 書かれていることです。
  2. 太陽とノーモンを結ぶ直線は、太陽が一周するとき曲面を生成し、 これはノーモンを通る錐面となる。錐面は 2 個の円錐からなり、 ノーモンに関して点対称である。太陽の反対側 (影の方) にある円錐が本文で 述べている円錐のことである。
円錐の断面 (conic section) から構成される曲線は円錐曲線と呼ばれ、楕円、放物線、双曲線あるいは交差する2個の直線、 に限ります。この事実はギリシャ時代から知られていることですが、 上の文章から、円錐の断面に関する考察は日時計の性質を調べることに重要であることがわかります。 ギリシャ人もこのようなことから円錐の断面を考えたのでしょう。

この円錐の断面は光線の錐と平面との共通部分である。 太陽の赤緯が変化するため、この円錐と円錐の断面は 季節によって変化する。 従って、光の点あるいは影の点の動きを捉える日時計は一年の異なる時期に 異なる「時刻線」を持つことがよくある。 これは円筒日時計 (cylinder sundial, shephard's dial)、リング日時計、オベリスクのような 垂直ノーモンなどで見受けられる。 あるいはまた アナレンマ式日時計や ランベルト (Lambert) 日時計のように、日時計ではノーモンの「時刻線」に対しての角度や位置は 変化する可能性があるのである。

訳注
あとでわかりますが、アナレンマ式日時計や、ランベルト (Lambert) 日時計で正確な時刻を表示するには、 季節によって (あるいは日付によって) ノーモンの位置を変えないといけません。
歴史

考古学的記録から知られている最も古い日時計は 古代エジプトおよびバビロニアの天文学における オベリスク (BC 3500 年) と影時計 (shadow clock, BC 1500 年) である。 恐らくは人類は、もっとそれ以前に影の長さから時刻を知っていた。 しかし、これは証明することが困難である。 およそ紀元前 700 年に旧約聖書は日時計を述べている -- アハズの日時計 (dial of Ahaz) が イザヤ (Isaiah) 38:8 と 列王記下 (II Kings) 20:11 で言及されている。 ローマの著作家である ウィトルウィウス (Vitruvius) は当時知られていた日時計と影時計を列挙している。 イタリアの天文学者である ジョヴァンニ・パドヴァーニ (Giovanni Padovani) は 1570 年に日時計に関しての論説を出版し、 その中で垂直、水平日時計に関して製造業者に対する指図と設置方法を含めている。 ギウセッペ・ビアンカーニ (Giuseppe Biancani) は「Constructio instrumenti ad horologia solaria」(1620 年頃) で完全な日時計を作るための議論を展開している。

訳注
  1. 古代エジプトや古代バビロニアの日時計は、1 日を厳密に等分したものではないと思います。 古代エジプトの「影時計」は細長い長方形の板の端の上に、横木を少し持ち上げて直交するように設置するものです。 横木の方を東に向けると午前中には長方形の板に横木の影が落ちます。午後は西の方向に向けます。 長方形の板には目盛が 5 個ついており、これで日中の時間が 12 個に分割されます。 しかし、この装置で時間を等分するためには三角関数が必要です(cot(15°n), n = 1,., 5)。 三角関数は古代エジプトには存在していませんから、古代エジプトでは時間を等分することができなかった。 180° を定規とコンパスで 12 等分することもできますが、このような方法は取らなかったはずです。 もしもこのような方法に気づけば、赤道板日時計を作ることに気が付いたはずだからです。
    どこにもはっきりと書いてあるわけではありませんが 1 日を等分する方法に気が付いたのは古代ギリシャが最初だと思います。
  2. ギウセッペ・ビアンカーニ (Giuseppe Biancani, 1566 年 – 1624 年) はラテン名をヨセフス・ブランカヌス (Josephus Blancanus) と言い、月のクレーターに名前を残しています (ブランカヌス・クレーター)
用語

一般に日時計は 面 (face) あるいは盤面 (plate) と呼ばれる (曲)面に影や光を落して、時を表示する。 通常は平らな平面であるが、 盤面は球面、円筒、円錐、 らせん (helix) などの曲面の内側でもよいし、 外側でもよい。またこれ以外の形でもよい。

訳注
「らせん」は厳密には曲面ではありませんが、太さ (あるいは幅) があるので影が落ちます。

時刻は影や光が盤面に落ちる場所に表示され、 通常は「時刻線」が刻み込まれている。 「時刻線」は通常はまっすぐであるが、曲がっていてもよい。 これは日時計のデザインに依存する。 あるデザインでは日付も決定することが可能であるが、 ある場合には正確な時刻を決定するために日付が必要である。 このような場合には月ごとの「時刻線」が複数あり、 月を設定したり/計算するための仕組みがある。 「時刻線」に加え、盤面には他のデータも提供することがある。 例えば、水平線、赤道、回帰線などで、 これらはまとめて盤面の造作 (furniture) と呼ばれる。

盤面に影や光を落とすオブジェクトは日時計のノーモンと呼ばれる。 しかしながら、通常はノーモンのエッジ (あるいはそれ以外の線の形をした造作 (linear furniture)) の落とす影のみが時刻の決定に利用される。 この線の形をした造作が日時計のスタイルと呼ばれる。 スタイルは通常は天球の軸と同じ方向にそろえられ、従って、 設置場所の子午線と同じ方向にそろえられている。 ある種の日時計ではスタイルの先端部の点のような造作が時と日付を決定するのに 使用される。このような造作は日時計のノーダス (nodus) と呼ばれる。 ある種の日時計ではスタイルとノーダスの両方を使用して、 時刻と日付を決定する。

訳注
日付は厳密な日付でなく、およその日付と思われます。 理由は 1 年 = 365 + 1/4 日で、端数があるためです。 またおよその日付が決定される理由は影の長さが変化するせいです。

ノーモンは通常は盤面に固定されているが、 アナレンマ式日時計のようなデザインではスタイルは 月に応じて移動する。 スタイルが固定されていればスタイルの直下の線はサブスタイル -- スタイルの下の意味 -- と呼ばれる。 スタイルが盤面と成す角はサブスタイルの高さ -- 「高さ」が角度を意味する通常とは違う用法 -- と呼ばれる。 壁面日時計ではサブスタイルは正午の線と一致しない。 正午の線とサブスタイルの成す角はサブスタイルの距離 -- 「距離」が角度を意味する通常とは違う用法 -- と呼ばれる。

伝統的には多くの日時計にはモットー (金言、motto) が書かれている。 モットーは通常はエピグラム (寸鉄詩、epigram) の形式をしており、 場合によっては過ぎ去る時と人生の短さに関しての憂鬱な思いもあるが、 一方で時計職人 (dial maker) のユーモアあふれる機知もある。

日時計の「時刻線」が直線で等間隔である場合には等角的 (equiangular) と呼ばれる。 等角的日時計ではノーモンとスタイルは固定され、 地球の回転軸にそろえられ、影を受ける面は軸の周りに対称となっている。 このような例には赤道板日時計 (equatorial dial), 赤道半円日時計 (equaltorial bow)、 アーミラ日時計、円筒日時計、円錐日時計 (conical dial) がある、 しかしながら他のデザインでも等角的であるものがあり、 これにはスタイルを動かせるランベルト日時計やアナレンマ式日時計の一種のようなものがある。

訳注
  1. 「赤道板日時計」(equatorial sundial) はあとで、写真が登場します (北京、紫禁城)。
  2. 「赤道半円日時計」(equatorial bow sundial) は「赤道リング日時計」(equatorial ring sundial) とも呼ばれます。次のページの一番下に写真があります。
    The Sundial Primer - Equatorial Ring Sundial
  3. armillary sphere (西洋版渾天儀) は天文観測用のものではなく、 日時計だと思われるので、armillary sphere sundial あるいは armillary sundial の方が正確だと思われます。
    Armillary sphere sundial
    で写真を見ることができます。 armillary sphere をアーミラ日時計と訳すことにしました。
南半球の日時計

北半球の特定の緯度における日時計を、 南半球の同じ緯度で使用するためには、向きを逆にしなければならない。 北半球の南面する垂直日時計は、南半球では北面する垂直日時計となり、 向きが逆となる。 水平日時計を正確に設定するためには真の北もしくは真の南を見つけなければならない。 どちらにも同じ方法を適用できる。 ノーモンを正しい緯度に設定するには、南半球では真の南に向ける必要があるが、 これは北半球では真の北に向ける必要があることと同じである。 南半球においては水平日時計の時刻の番号付けは時計方向ではなく、 反時計方向である。 日時計は南半球では北半球ほどありふれたものではない。 これは恐らく、ヨーロッパ人が南半球に到達した時には、機械的な時計が十分精密で、 日時計を作る必要がなかったためと思われる。


南半球の日時計、オーストラリア、 パース
拡大すれば時刻線が反時計方向に回っていることがわかる。
日時計の読み取りを補正する均時差のグラフに注意

均時差のグラフ
固定したノーモンを持つ日時計

最も良く見受けられる日時計では 影を落とすスタイルが固定され、地球の回転軸とそろえられ、 真の北と真の南の方向を向き、水平面との角度が緯度に等しくなっている。 軸は天球の極に揃えられており、天球の北極は (現在の) 北極星と完全に同じではないが、 ほぼ同じ位置にある。 例えば、天球の軸は真の北極では垂直を指し、赤道では水平を指す。 ジャイプルの 有名な日時計のノーモンは水平面から 26°55'' 持ち上げられており、これはジャイプルの緯度である。

訳注
ジャンタル・マンタル (Jantar Mantar) は ジャイブルにある 18 世紀の天文台 (世界遺産です) で、 多くの天体観測の装置があり、その中に日時計が 2 個ある。クリックすると大きな画像が表示されます。 どれだけ大きいか見てください。

小さい方
Jantar Mantar - Wikipedia の写真

大きい方
Jaipur - Wikipedia の写真

どんな日にも、太陽は見かけ上はこの軸の周りを一様に回転し、 1 時間に 15°、24 時間では 360° 回転する。 線状のノーモンは太陽の反対側に影の幕 (半平面) を落とし、 (この影の膜は) 天球の軸の周りを同様に 1 時間当たり 15° で回転する。 影が落ちる面は通常は平面であるが、球面、円筒、円錐や、それ以外の形もある。 (アーミラ日時計や赤道板日時計のように) 影が落ちる面が天球の軸に関して対称であれば 面の上の影も同様に一様に動き、日時計の「時刻線」は等間隔となる。 しかしながら、(大半の水平日時計のように)影を受ける面が対称でなければ、 面の上の影は一様には動かず、「時刻線」は等間隔ではない。 これの例外は以下で述べるランベルト日時計である。

日時計の幾つかのタイプでは、固定されたノーモンが天球の極にそろえられていない。 これには垂直なオベリスクがある。このような日時計に関しては、「ノーダスに基礎を置く日時計」 で取り扱う。

赤道板日時計 (equatorial sundials)

赤道板日時計 (equatorial dial) のはっきりわかる特徴は 影を受ける平面で、これはノーモンのスタイルに完全に直交している。 この平面は赤道板 (equatorial) と呼ばれる。 これは地球や天球の赤道 (equator) に平行だからである。 ノーモンが固定され、地球の回転軸とそろえられていれば、 太陽の地球の周りの見かけ上の回転により、 ノーモンの影の幕は一様に回転する。 太陽は 24 時間で 360° 回転するため、 赤道板日時計の「時刻線」は 15° (360/24) 間隔になっている。 この間隔の一様性から、このタイプの日時計は作るのが容易である。 但し赤道板の両面に目印をつけないといけない。 それは冬には影が下の面に落ち、夏には影が上の面に落ちるからである。 春分や秋分の頃には、太陽は円周の上を動き、これはほとんど赤道板と一致する。 これにより、一年のこの頃には赤道板日時計にははっきりとした影が現れず、 デザイン上の短所となる。

時々、ノーダスが赤道板日時計に付け加えられ、 これにより、一年のいつ頃かがわかる。 どのような日にも、ノーダスは赤道板上の円の上を動き、 円の半径から太陽の赤緯がわかる。 ノーモンの先端がノーダスの役目をすることもあるし、 ノーモンの中間にそのような造作があることもある。 赤道板日時計の古代のものにはスタイルがなく、ノーダスだけのものがあり、 「時刻線」が同心円状に配置され、クモの巣のようになっている。



北京、 紫禁城の赤道板日時計
ノーモンは真の北を向き、水平面との角度は緯度に等しい
拡大すれば、日付のリングと時刻線からなる「クモの巣」が見える
水平日時計 (horizontal sundials)

赤道板日時計では影を受ける面がスタイルに垂直であるが。水平日時計では影を受ける面が水平になっている。 従って、影の線は、日時計の盤面の上で一様に回転しない。「時刻線」は 次の式で与えられる。

tan θ = sin λ tan(15° × t)

但し λ は日時計の緯度 (これはスタイルが水平面と成す角度) で、 θ は与えられた「時刻線」と「正午の時刻線」(これは常に真の北を指す)の成す角度で、 t は正午との時間差である。 例えば、 午後 3 時の「時刻線」の角度 θ は、 tan(45°) = 1 であるから、sin λ のアークタンジェントに等しい。 λ が 90° に等しい時 (つまり北極にいる時)、 水平日時計は赤道板日時計となり、スタイルはまっすぐ上に垂直となり、 水平板は赤道面とそろい、「時刻線」の式は θ = 15°×t となり、 赤道板日時計と同じとなる。 しかしながら、水平日時計は赤道では実用的ではない。 なぜならば λ は 0° に等しく、スタイルは平面の上に横になり、影を落とさないからである。



ミネソタの水平日時計
訳注
下の図で、⊿ABC がノーモンを含む面、AB がノーモンのエッジ (スタイル)、 ⊿ACD を含む面が水平面、 ⊿BCD を含む面が AB に直交し、 従って ⊿ABC を含む面は⊿BCD を含む面に直交。 よって∠ABC と ∠ACD は共に直角。 よって上で与えられた式は以下の絵から明らか。

水平日時計の主な利点は読み取りやすいという点と一年を通じて使用できるということである。 ノーモンのスタイルが水平面と交差する個所で、すべての「時刻線」が交差する。 スタイルは地球の回転軸にそろえられて、真の北を向き、水平線との成す角が緯度と一致している。 ある緯度のためにデザインされた日時計は、別の緯度でも使用できる。 但し、このためには緯度の違いだけ、日時計を傾けないといけない。 例えば緯度 40° 用にデザインされた日時計は、緯度 45° でも使用できる。 このためには日時計を上に 5° 持ち上げればよく、これでスタイルが地球の回転軸とそろう。

垂直日時計 (vertical sundials)

普通の垂直日時計では、影を受ける面が垂直となっており、 例によってノーモンのスタイルは地球の回転軸にそろえられる。 水平日時計の場合と同様に、 影の線は盤面の上で一様に動かず、日時計は等角的 (equiangular) ではない。 垂直日時計の盤面が真南を向いていれば、 「時刻線」の角度は次の式で与えられる。

tan θ = cos λ tan(15° × t)

但し λ は日時計の緯度、θ は与えられた「時刻線」と「正午の時刻線」の成す角、t は正午との時間差である。 例えば、午後 3 時の「時刻線」の角度 θ は、tan(45°) = 1 であるから、cos(λ) のアークタンジェントに等しい。 興味あることに、南を向いている垂直日時計では影は反時計方向に動き、 水平日時計と赤道板日時計では影は時計方向に動く。

訳注
以下の図で AB がノーモンのエッジ (スタイル)、⊿ACD を含む面は垂直面 (壁)、 ⊿BCD を含む面が AB に垂直、従って ⊿ABC を含む面と⊿BCD を含む面が直交。 従って ∠ABC と ∠ACD は共に直角。よって以下の図から上の式が明らかである。

東西南北の方向に向いた垂直日時計は、直方位垂直日時計 (vertical direct dials) と呼ばれる。 もしも盤面が南の方向を向いていないと、 日の光を受ける時間が限られる。 例えば東を向いている垂直日時計は、午前のみしか時を告げることができず、 午後には日の光を受けることがない。 東西に面した垂直日時計は「極方向日時計」である。これに関しては以下で説明する。 北を向く垂直日時計はほとんど使用されない。 何故ならば、この場合には午前 6 時前と、午後 6 時過ぎにしか使用できないためである。 基本方位に向いていない垂直日時計 -- 東西南北に向いていない日時計 -- では 「時刻線」の設定をすることが数学的に複雑で、観測結果から線が引かれる。 このような日時計は斜方位日時計 (declining dial) と呼ばれる。

訳注
東西南北の基本方位を向いている垂直日時計を「直方位垂直日時計」と訳し、 それ以外の方位を向いている垂直日時計を「斜方位日時計」と訳しました。 あまり良くない訳語かもしれません。

垂直日時計は普通は、市役所、キューポラや教会の塔のような建物の壁に搭載されている。 こうすれば遠くからよく見える。 ある場合には長方形の塔の 4 面に垂直日時計が設置されることがあり、 この場合には一日中時刻がわかる。 壁は塗ることもあるし、はめ込んだ石に表示することもある。 ノーモンは一本の鉄の棒のこともあるし、3 脚にして頑丈にすることもある。 建物の壁が基本方位になければ、「時刻線」は補正しなければならない。 ノーモンのスタイルは地球の回転軸にそろえられるため、 スタイルは真の北を指し、水平面との角度は緯度に等しい。 その結果、垂直な壁との角度は緯度の余角 (90° - 緯度) となる。


英国、 ノーフォークのホートン・ホールの垂直日時計
左は南に面し、右は東に面している。
スタイルは互いに平行、水平面との成す角は緯度に等しい
東に面している日時計は極方向日時計で、
「時刻線」が平行、盤面がスタイルに平行

二重日時計, チェコ共和国、
ノヴェー ムニェスト ナト メトゥイー
( Nové Město nad Metují)
ポケット日時計 (pocket sundials)

ポケットにしまうことができる折り畳み式のドイツの日時計のノーモンは紐であり、 どの緯度にも正確に調整できる。 影が日時計に落ちると、より小さな日時計がイタリアとバビロニアの時刻を表示する。 日時計は一日の長さや、黄道帯における太陽の位置も表示する。

訳注
pocket sundial を英文のページで検索すると、現在でも販売されていることがわかり、 しかも色々な物があります。 ポケットにしまうことができる日時計はあとで色々出てきます。
極方向日時計 (polar dials)

極方向日時計 (polar dials) では、影を受ける面がスタイルに平行にそろえられている。 従って、太陽がスタイルの周りで回転すると、影は日時計の面を横方向に滑り、 自分自身と直交する方向に移動する。 ノーモンと同じように、「時刻線」は地球の回転軸にそろう。 太陽光が盤面とほぼ平行となれば、影は非常に速く動き、 「時刻線」は随分とまばらになる。 真東や真西に向いた垂直日時計は極方向日時計の実例である。 しかしながら、極方向日時計の面は垂直である必要はなく、 単にノーモンに平行であればよい。 従って、(水平面に対して) 緯度の角度だけ傾いた面が同じように傾いたノーモンの下にあれば 極方向日時計となる。 「時刻線」の平面における間隔は次の式で与えられる。

X = H tan(15° × t)

但し H はスタイルの盤面上の高さで、t は極方向日時計の中央時間との時間差である。 中央時間とは、スタイルが真下に影を落とす時間のことで、 東に向いた垂直日時計の場合であれば 午前 6 時、西に向いた垂直日時計の場合であれば 午後 6 時のことである。 上で述べた傾いた面の場合には正午である。 t が中央時間から ±6 時間に近づくと間隔 X は +∞ に発散する。 これは太陽の光が平面に平行になる時である。

斜方位垂直日時計 (vertical declining dials)
斜め方向が日時計の「時刻線」に及ぼす影響: 北緯 51° で南面する垂直日時計 (1 番左) は午前 6 時から午後 6 時までの「時刻線」が表示され、 「時刻線」は 1 ヶ所に集まり、「正午の時刻線」で対称となっている。 比較すると、西に面する日時計 (1 番右) は極方向で「時刻線」は平行で、 午後の時間のみ表示している。中間の南南西、南西、西南西では「時刻線」は「正午の線」に関して、 対称ではなく、午前の「時刻線」は間隔がより広い。

斜方位日時計とは (真の) 東西南北のような基本方向を向いていない水平でない平面日時計のことである。 例によって、ノーモンのスタイルは地球の回転軸にそろえられているが、 「時刻線」は「正午の時刻線」に関して対称ではない。 垂直日時計では「正午の時刻線」と「別の時刻線」の角度 θ は次で与えられる。

tan θ =

但し λ は日時計の緯度、t は正午との時間差、η は真の南との傾きの角度である。 このような日時計が南を向けば (η = 0°)、この式は上で述べた式 tan θ = cos λ tan(15° × t) に帰着する。

日時計が基本方向にそろえられていない場合には、ノーモンのサブスタイルは 「正午の時刻線」とそろわない。サブスタイルと「正午の時刻線」の角度 β は次の式で与えられる。

tan β = sin η cot λ

もしも垂直日時計が真の南もしくは北に面していれば (η = 0° もしくは 180° となり)、 補正 β = 0° となり、サブスタイルは「正午の時刻線」とそろっている。

ノーモンの高さ γ (すなわちスタイルが盤面と成す角度) は次で与えられる。

sin γ = cos η cos λ
傾斜日時計 (reclining dials)

南半球の垂直傾斜日時計, 真北を向く
双曲的な太陽の傾きの線と時刻線
この緯度 (回帰線の間) では通常の垂直日時計は
夏至の時の太陽の傾きの線を描くことができない。
訳注
写真の説明で夏至とあるのは冬至の間違いと思われます。 一番上の太陽の傾きの線が夏至を表し、一番下の太陽の傾きの線が冬至を 表しています。冬至の時も太陽の光を受けるために、わずかに上部を南の方に 倒しています。

上で述べた日時計ではノーモンは地球の回転軸とそろい、影を盤面に落とす。 盤面が垂直でも、水平でも、赤道板でもなければ、 日時計は傾斜日時計と呼ばれる。 そのような日時計は例えば南に面した屋根の上に見られる。 このような日時計の「時刻線」は上で与えた式を少し補正した 次の式で与えられる。

tan θ = cos (λ + χ) tan(15° × t)

但し χ は傾きを表す角度で、λ は日時計の緯度、θ は「時刻線」と「正午の時刻線」 (これは常に北を指す) の角度で、t は正午との時間差である。 例えば午後 3 時の「時刻線」の角度 θ は、tan 45° = 1 であるから、 sin(λ + χ) のアークタンジェントに等しい。 χ が 90° の時 (すなわち南面する垂直日時計の場合) には、 sin(λ + 90°) = cos(λ) であるから、上で与えた垂直日時計の式を得る。

著者によっては影を受ける盤面の方向を述べるために、もっと固有の命名法を採用している。 もしも盤面が大地の方向に下方に傾斜していれば「下方傾斜」(proclining or inclining) と呼び、盤面が大地の方向から上方に傾斜していれば「上方傾斜」 (reclining) と 呼んでいる。

斜方位傾斜日時計 (reclining-declining dials)

ある種の日時計では、縦横に傾斜しており、 影を受ける面が (真の北のような) 基本方向でもなく、水平でも、垂直でも、 また赤道板でもない。 このような実例は基本方向を向いていない屋根に見受けられる。 このような日時計の「時刻線」の間隔を述べることはかなり複雑である。 「正午の時刻線」と別の「時刻線」の成す角 θ には 2 つの成分 θ = θ1 + θ2 があり、 次の式で与えられる。

tan θ1 = tan η cos λ
tan θ2 =

但し λ は日時計の緯度、 t は正午との時間差、 χ と η はそれぞれ 縦方向、横方向の傾斜角である。

より単純な斜方位日時計と同様に、ノーモンとサブスタイルは「正午の時刻線」とそろっていない。 サブスタイルと「正午の時刻線」の成す角 β は次の式で与えられる。

tan β = sin χ sin η
球面日時計 (spherical sundials)

影を受ける面は平面である必要はなく、時計職人が喜んで「時刻線」を記す限りにおいては、 どのような形のものでもよい。 スタイルを地球の回転軸にそろえる時には球面は都合がよい。 この場合には「時刻線」が等間隔であるからである。 これは上記の赤道版日時計と同様に等角的であるからである。 これは、アーミラ日時計や赤道半円日時計 (equatorial bow sundial) の背後にある原理である。 しかしながら、以下で述べるランベルト日時計のように、ある種の等角的日時計は他の原理に 基づくこともある。

赤道半円日時計 (equatorial bow sundial) の場合にはノーモンは 天球の軸に平行な棒、隙間あるいは引きのばしたワイヤーである。 面は半円 (これは天球の赤道に対応し、内側の面に印がある) である。 温度で変化しないインバー合金から作られた数メートルにも及ぶ この形式の日時計が 第一次世界大戦前にフランスで列車を時刻通りに走らせるのに使用された。

訳注
インバー合金に関しては ニッケル を参照のこと。

かって製造された日時計の中で最も正確なものは ジャンタル・マンタル (Yantra mandir) で見られる 2 つの赤道半円日時計である。 この一連の日時計と、それ以外の天文装置は マハラジャ、ジャイ・スィン2世 (Jai Singh II) により、 彼の新しい都である ジャイプルで、1727 年から 1733 年の間に製造された。 日時計は 27 m もあり、その影が 1 秒間に 1 mm 動くのが目でわかり、 おおよそ 1 分間に手の巾 (6 cm) ほど動く

訳注
  1. ジャイブルの日時計の写真は 固定したノーモンを持つ日時計 の最初の部分に掲載しています。
  2. ジャイ・スィン2世の設立した天文台はジャンタル・マンタル、あるいはジャイ・スィン天文台と呼ばれ、 日時計もこの天文台に属しています。

ベルギー、 フランドル ハッセルトの赤道半円日時計
光が狭い隙間を通り、一様に回転する光の幕を作り、これが半円に落ちる
時刻線は等間隔で、この写真では地方時間はおよそ 15:00 時である。
9 月 10 日には、隙間に溶接された小さなボールが時の帯の中心に影を落とす。
円筒型、円錐型、あるいはそれ以外の平面でない日時計

以上とは異なる曲面もノーモンの影を受けることに使用される。 例えば、ノーモンを天球の極にそろえ、円錐や円筒の対称軸に置いてもよい。 対称性により、「時刻線」は、赤道半円日時計やアーミラ日時計と同じように 等間隔となる。 円錐型日時計は非常に古く、 「杯 (さかずき) 日時計」(chalice sundial) -- これは円錐型の酒杯 (しゅはい) の形をしていて、スタイルは中央の垂直なピンで、時刻線は内面に刻み込まれている -- の一形式の基礎となっている。

訳注
「杯日時計」(chalice sundial) の説明でスタイルが垂直になっているという説明が奇妙に見えますが、
Image of chalice sundial, 1596, by Science & Society Picture Library
に写真と説明があります。説明が短いので完全に理解できませんが、 影が現在の月の場所まで来るように傾ける必要が あるとのことです。多分、本当の「杯」として使用ができる。

エレガントなことに、 ノーモンの位置は、対称の中心である必要がなく、円筒や球の円周上でもよい。 この場合にも、「時刻線」は等間隔であるが、 円周角の定理より、角度は 2 倍となる。 これは幾つかの現代の日時計の基礎であるが、 古代にも使用されており、 その一つの型式では、半円筒のエッジがスタイルとなっている。

アーミラ日時計は盤面を見るのに十分広々しており、 平面ではない面は完全に曲面のようになっている必要はない。 例えば、円筒型の日時計は螺旋状のリボンのような面であってもよく、 細いノーモンが中心にあってもよいし、円周上にあってもよい。



ベルギー、ビュートゲンバッハの精密日時計
訳注
  1. 上の日時計では、影を受ける面が 2 つありますが、これは冬至のころから夏至の頃までのものと、 夏至の頃から冬至の頃までの面に分かれているためのようです。拡大した図を見ればわかります。
    第28話 天文精密日時計
    にも類似な図があります。なおインターネットで「精密日時計」で検索すると、子供向けの ボール紙で組み立てる精密日時計 (商品) の販売サイトも検索されます。800 円程度で、 上のページの作者と同じようです。
  2. 盤面を一つにすると時刻線は 8 の字になり、これがアナレンマ式日時計と呼ばれるもののようです。 1 つの盤面にすると見にくいので 2 面に分割しているようです。
  3. ビュートゲンバッハ (Bütgenbach) の Google マップ
日時計の表示から時刻を計算するための補正

日時計が正確でない最も普通の理由は、日時計の向きが正確でなかったり、「時刻線」が正確に描けてないことによる。 例えば、大半の商用の日時計は水平日時計である。 正確であるためには日時計は緯度に適したものでないといけないし、 スタイルが地球の回転軸と平行でないといけない。 すなわち、スタイルは真の北にそろえ、水平面との角度が緯度に等しくないといけない。 スタイルをそろえるために、日時計は時々、南北方向に傾ける必要がある。

夏時間補正

世界のいくつかの場所では夏時間を使用している。 これは通常は公式時間を 1 時間ずらすものである。 ずらした時間を日時計の時間に加えれば、公式時間がわかる。

時間帯の補正

時間帯は経度で 60° にもまたがることもあり、 ここにおいては標準時間との違いは経度 1° あたりで 4 分の違いとなる。 例えば、同じ時間帯の西の端では東の端よりも、日の出、日の入りが公式時間で遅くなる。 これは 1 年を通じて一定の補正である。 等角度の日時計、例えば球面日時計やランベルト日時計では、ノーモンの位置や向きを変えずに、 日時計の面を経度の違いだけ回転させればよい。 しかしながら、この方法は水平時計のような他の日時計ではうまくいかず、 日時計を見る人が補正を施さなければならない。

均時差補正

太陽は地球の周りを一様に回転しているように見えるが、 完全に一様ではない。 これは、地球の軌道が楕円であること (地球の太陽の周りの軌道が完全円ではないこと) と 地球の回転軸が軌道面に対して傾いていることによる。 従って、日時計の時間は平均太陽時と異なっている。 1 年のうち、4 日だけが補正が 0 となるが、それ以外の日では 1/4 時間ほど前後する。 補正時間は均時差と呼ばれる。 この補正は世界中で共通で、日時計の緯度に依存していない。


均時差
軸の上は日時計が進んで見える時で、
軸の下は日時計が遅れて見える時

1812 年製のホワイトハースト&サンの日時計
均時差補正を示す円周の目印
これは現在 ダービー博物館に陳列
訳注
ホワイトハースト&サン (Whitehurst & Son) の日時計の円周部の均時差補正は次のようにして読み取れる。 4 月の中旬には補正が 0 で、それより後は読み取り値から引く時間がわかるようにできている。

幾つかの日時計では、均時差は日時計に固定された板で提供されている。 しかしながら、もっと洗練された日時計では均時差は自動的に組み込まれている。 例えば、 幾つかの赤道半円日時計では日付を設定する小さな輪が付いている。 この輪によって、赤道半円が回転し、時間の測定を修正する。 これ以外の場合には、「時刻線」が曲がっていたり、 赤道半円が花瓶のような形をしていて、 1 年を通じて太陽の高度が変化することを使用して 適切に時間の修正をする。 ヘリオクロノメーター (heliochronometer) は 精密日時計で、見かけの太陽時を、平均太陽時、もしくはそれ以外の標準時に 修正する。 ヘリオクロノメーターが表示する時刻は、通常は 世界時 (Universal Time) の 1 分以内 (の精度) である。

訳注

アナレンマが多くの型式の日時計に付け加えられ、 見かけ上の太陽時を平均太陽時やそれ以外の標準時に修正される。 これらにおいては、通常、均時差による「8 の字型」の時刻線 (アナレンマ) が付いている。 これにより、地球の軌道がわずかに円から逸脱していることや、地軸が傾いていることによる平均太陽時からの 15 分にも 及ぶ変動を補正する。 これは、より複雑な水平、垂直日時計の造作の一つである。

可動なノーモンを持つ日時計

以上に付け加え、日時計には 1 年を通じてノーモンが動くようにデザインされたものがある。 言い換えると、時刻線の中心に相対的にノーモンの位置が変化する。 そのような日時計の利点は、ノーモンを天球の極にそろえる必要もないし、また完全に垂直であってもよい (アナレンマ式日時計)。 第二の利点は、そのような日時計ではノーモンが固定された日時計と組み合わせることにより、 他の助けがなくても、真の北を決定できるのである。 二つの日時計が正しい方向を向いた時に始めて二つの日時計の時刻が一致するのである。 これが携帯日時計の有用な性質である。

普遍的リング日時計 (universal equinoctial ring dial)

普遍的リング日時計 (時には「リング日時計」と呼ばれるが、用語があいまいとなる) はアーミラ日時計の携帯版であるか、もしくは船乗りのアストロラーべから思いついたものであろう。 恐らくは ウィリアム・オートレッド (Wiliam Oughtred) により 1600 年に発明され、 ヨーロッパ中で普通なものとなった。

もっとも単純な形式ではスタイルは細い隙間であり、 ここから太陽の光が赤道の輪の時刻線に落ちる。 例によって、スタイルは地軸にそろえられる。 これをするためには、ユーザーは日時計を真の北の方向に向け、子午線の輪の適当な場所から リング日時計を垂直につるさなければならない。 このような日時計では、単純な隙間のスタイルではなく、 より複雑な中央の棒が追加されていれば自己調整が可能である。 これらの棒はドイツのリング日時計の附属品である。 この棒は、終端の軸の周りで回転することができ、 穴が開いたスライダーが付いており、 棒の上に刻み込まれた目盛により、月や日を合わせることができる。 棒を太陽の方向に回転して、穴からの光が赤道の輪に落ちるようにすると 時刻が決定できる。 これをするためには、ユーザーは装置を回転しないといけない。 これにより装置の垂直の輪が子午線に一致するのである。


普遍的リング日時計
訳注
中央のスライダーが付いた部分は (横方向を無視した) アナレンマであると思われます。 だからこれを使用するには、現在のおよその日付 (月ぐらいでよい) が必要です。

使用されていないときは、赤道の輪と子午線の輪は共に折りたたんで、小さな円板にすることができる。

1610 年に、エドワード・ライト (Edward Wright) は「海の輪」を発明した。 これは汎用のリング日時計を磁気コンパスの上に搭載した物である。 これにより、船乗りは時刻と磁北の磁気偏角 (magnetic variation) を一度に決定できた。

訳注
エドワード・ライト は数学者です。エドワード・ライトと数学でインターネットを検索すると幾つかヒットします。
アナレンマ式日時計 (analemmatic sundials)

アナレンマ式日時計は科学博物館、プラネタリウムや公園などでは普通のものである。 アナレンマ式日時計が利用することは、太陽が 1 年を通して、アナレンマと呼ばれる予測可能なパターンを移動することであり、 オブジェクトの影から、通常の日時計と同様に時刻を測定することのみならず、 週や月を測定することができる。

訳注
英語版 Wikipedia の項目 Analemmatic sundial には、 アナレンマ式日時計は、赤道板日時計の直交射影として作成されていると書かれています。 斜めの円の直交射影ですから、アナレンマ式日時計の盤面は楕円です。 アナレンマに関しては、地球の回転軸が傾いていることの補正をするもので、季節により ノーモンの位置を南北方向に移動し、その長さは次で与えられるそうです。
M tan λ tan δ
但し、M は楕円の長径の長さ、ラムダは日時計の緯度、δ は太陽の赤緯です。
Analemmatic sundials: How to build one and why they work
に説明が載っていますが、説明が省略してある部分があるので理解できていません。
なお、アナレンマは南北方向の 8 の字の形をしていますが、南北方向の変動は地軸が傾いていることが原因で、 東西方向の変動は地球の軌道が完全円でないことが原因だそうです。 アナレンマ式日時計では東西方向を無視していますから、一応近似と思われます。


ベルギー、 フランドル ヘルケローデ修道院
アナレンマ式日時計と子午線直線
ランベルト (Lambert) 日時計

ランベルト日時計は、ノーモンが可動なもう一つの日時計である。 アナレンマ式日時計が楕円型であることと対称的に、 ランベルト日時計は円形で時刻線は均等であり、 等角日時計であり、 この点で上で述べた太陽板日時計、球面日時計、円錐日時計と類似している。 ランベルト日時計のノーモンは垂直でもなければ、地球の回転軸にそろっているわけではなく、 ノーモンは角度 α = 45° - (Φ/2) だけ北の方向に傾いている、但し Φ は緯度である。 従って、緯度 40° に位置するランベルト日時計のノーモンは垂直から 25° 北の方向に傾いているのである。 正確な時刻を読み取るには、ノーモンは北の方に

Y = R tan α tan δ

だけ移動する必要がある。但し R はランベルト日時計の半径で、δ は再び太陽の赤緯である。

訳注
  1. ランベルト日時計に関しては以下に解説があります。正確には フォスター・ランベルト (Foster-Lambert) 日時計と呼ぶようです。
    1. Sun dial p 30
    2. The Sundial Primer
    第 1 のページから引用すると
    1680 年に英国人のサミュエル・フォスター (Samuel Foster) は、特別な射影方向があることを発見して、 アナレンマ式日時計の楕円を円に変えることに成功した。 1777 年に アルザス の天文学者であるヨハン・H・ランベルト (Johann H. Lambert) も同じ発見をした。
  2. ヨハン・H・ランベルトは ヨハン・ハインリッヒ・ランベルト (1728 年 - 1777 年) と同一人物のようです。最初は、これに気が付きませんでした。 その理由は、ランベルト日時計の発見者は上で見るようにアルザス出身です。 しかし、英語版の Wikipedia ではヨハン・ハインリッヒ・ランベルトはスイス出身であると書かれていたためです。 ところがより詳しく読むとランベルトが生まれた場所はアルザス (現在はフランス領) の ミュルーズ で、当時はスイスの 飛地でした。混乱に輪をかけることに、日本語版の Wikipedia ではランベルトをドイツ人としております。

訳注:ランベルト日時計に関して

ランベルト日時計は太陽板日時計を面対称にしたものです。 下の図は太陽板日時計の南北方向の断面図で、
  • AB が円形な太陽板の直径         
  • O が太陽板の中心
  • NN' がノーモン

太陽板を含む平面の断面図は線分 IK で、水平面の断面図は線分 I'K である。 太陽板を含む平面と水平面の交わりは東西方向の直線で、その断面図は点 K である。

太陽板を含む平面と水平面は面対称となり、その対称面をここでは「二等分面」 と呼ぶ。「二等分面」の断面図が直線 LK で、LK は∠IKI' の二等分線となっている。 「二等分面」に関しての面対称から、太陽板上の図形が、すべて水平面上の図形に 対称移動し、円形の太陽板 S は水平面上の円板 S' に移り、直径 AB は直径 A'B' に移り、円の中心 O がO' に移る。

さて正午から t 時間前 (あるいは後) の太陽板日時計におけるノーモン NN' の影を考えよう。 この影と S の円周との交点を P とし、「二等分面」に関して P と面対称な点を P' とする。 (P, P' は断面図には現れていない。) OB と OP の角度は t×15° である:

∠POB = t×15°

この時、太陽は線分 OP の O の方向にある。太陽日時計が透明であるとして、 OO' の水平面における影を考えよう。 この影は OO' と OP を含む平面 H と水平面の交わりである。 平面 H は「二等分面」と直交しているから、「二等分面」に関して面対称であり、 H は P' を含む。よって OO' の影は、O'P' を含む直線である。しかも

∠P'O'B' = ∠POB = t×15°

よって S' を盤面とし、OO' をノーモンとすれば、等角日時計ができる。 これをランベルト日時計と呼ぶ。

OO' の傾き = 90° - ∠LKI'
= 90° - 1/2 ∠IKI'
= 90° - 1/2 (90° - λ)
= 1/2 (90° + λ)

但し λ = NN' の傾き = 日時計の緯度。これがランベルト日時計のノーモンの傾きである。

高度に基礎を置く日時計

高度日時計は、天球の軸の周りの回転ではなく、空における太陽の高さを測定する。 この日時計をそろえるのは、真の北の方向ではなく、むしろ太陽の方向であり、 一般には垂直である。 太陽の高さはノーダスの位置 -- ノーモンの影の端もしくは光の点 -- で決定される。 時刻はノーダスが時刻の曲線に影を落とす場所から決まり、 この時の曲線は 1 年を通じて変化する。 太陽の高さは正午から同時間離れていると同じ高さとなるので (例えば午前 9 時と午後 3 時) 午前か午後かがわかっていないといけない。 これらの多くは持ち運びでき、簡単に使用できるが、 旅行には適していない。というのは時刻の曲線は緯度に固有だからである。

人間の影

人間 (あるいは何でも垂直な物) の影の長さは、太陽の高度、従って時刻を測ることができる。 ベーダ師 (Venerable Bede) は 自分の影の長さ (フィート) から時刻を推測する表を作成している。 これには身長が 6 フィートであると仮定している。 このような影の長さは緯度にも季節にも依存している。 例えば、正午の影の長さは夏は短いが、冬は長い。

チョーサーは彼の「牧師の話」と同様に「カンタベリー物語」の中で 何度かこの方法を喚起している。

多分 4 時であった。
11 フィート内外の私の影が落ち、
身長が 6 フィートであることを考えれば。

固定長の垂直の棒を使用した日時計はバックスタッフ (backstaff) 日時計と呼ばれる。

羊飼いの日時計 -- 時の棒

羊飼いの日時計 -- 羊飼いのカラム日時計、柱日時計、シリンダー日時計あるいは chilindre とも呼ばれる -- は持ち運び可能な円筒状の日時計で、ナイフのようなノーモンが付いていて、 これが垂直に飛び出ている。 通常は紐でぶる下げて、垂直になっている。 ノーモンを (円柱の周りで) 回転して, 月 (あるいは日) の印の上に移動する。 これにより、均時差の補正をする。 その後で、円柱が垂直状態のままで、日時計を回して、ノーモンが太陽の方向を向くようにする。 円柱におけるノーモンの影から時刻がわかる。 円柱に描かれた時刻の曲線から時刻がわかる。 羊飼いの日時計は、しばしば中空になっており、 使用していないときは折り畳むことができる。

訳注
上の説明だけでは少しわからないです。 次のページに絵が掲載されており、どのようなものかがわかります。
The Sundial Primer -- Cylinder or Shepherd's Sundial
簡単にまとめると、時刻の曲線を描いた紙を用意し、これを 円柱の周りに貼り付けます。垂直方向の影の長さから時刻がわかるようになっており、 一番上に月が書いてあります。 真似して絵を描いてみました。

円筒日時計

羊飼いの時の棒
19 世紀、チベット

羊飼いの日時計は幾つかの文学作品に登場する。 例えば、チョーサーのカンタベリー物語では修道士が次のように述べている。

道がわかり、すべて静かで穏やかだ。」と引用し

「すぐにも食事をしよう:
円筒日時計 (chilindre) によれば、もう正午だ」

(訳注:原文はものすごく訛っているので、訳があてになりません。)

同様に、羊飼いの日時計は、シェークスピアの「ヘンリー 6 世」の第 3 部にも喚起されている。

おー神よ、幸せな生活です。
素朴な羊飼いでしかありませんが、
今しているように、丘に腰をおろして、
巧みに一点ごとに日時計を彫り出し、
これにより 1 分を見出し、どのように事が動いているのか --
1 分がどれほどあれば、丸 1 時間となるのか
1 時間がどれほどあれば丸 1 日となるのか
1 日がどれほどあれば丸 1 年となるのか
1 年がどれほどあれば、やがては死すべき一生となることか

円筒状の羊飼いの日時計は、広げると一枚の平面にすることができる。 簡単な場合であれば、板の表と裏には、3 段あり、 太陽の赤緯がほぼ同じである 1 組の月に対応している (6 月 - 7 月、5 月 - 8 月、4 月 - 9 月、3 月 - 10 月、2 月 - 11 月、1 月 - 12 月)。 各々の段の上には穴があり、影を落とすノーモン -- クギ -- を刺せるようになっている。 しばしば、下の各々の段には 2 つの時刻線しか印が付いていなかった。 1 つが正午で、もう一つが、午前/午後の中間であった。

時の棒 (timestick), 時計槍 (clock spear), あるいは羊飼いの時の棒 (shepherds's time stick) は 日時計と同じ原理に基づくものである。 時の棒は、1 年の異なる時期の 8 個の垂直な時の目盛が彫り込まれており、 1 年の異なる時期の相対的な日照時間から計算されている。 ノーモンを最上部の適当な釘穴に刺して、太陽の方向を向くようにし、 その影が目盛に直接落ちるようにする。影の終端から時刻がわかる。

リング日時計

リング日時計 (「 アキテーヌ の日時計」とか「穴開きリング日時計」とも呼ばれる) においては、 リングは垂直にぶら下げられ、 側面が太陽の向きにそろえられる。 光がリングの小さな穴を通りぬけ、 リングの内側に刻み込まれた時刻線に落ちる。 均時差を補正するために、穴はリングの中にある自由に動くリングにつけられていて、 現在の月を反映するように調節できる。

訳注: リング日時計
カード日時計 (カプチン日時計, Capuchin dials)

カード日時計は高度日時計の一種である。 カードのエッジを上にして、太陽にそろえ、傾けると 光がすきまを通過して指定された場所に到達し、 これにより高度がわかる。

重りをつけた紐をカードの穴から垂直に垂れ下げる。 この紐には数珠玉か結び目が付けられている。 カードの時刻線における数珠玉の位置から時刻がわかる。

もっと洗練されたカプチン日時計の場合には時刻線は全体で一意的である。 すなわち、時刻線は変化しない。 その代わりに、重りの紐を垂らす穴の位置が季節により変化する。

訳注
  1. Six sundial project for you to make にカプチン日時計の作り方が描いてあります。 ボール紙で作れるようです。 この日時計の絵を上下逆にすると カプチン修道士 の頭巾の形になり、 それが名前の由来のようです。
  2. カプチン日時計
ノーダスに基礎を置く日時計

日時計のもう一つの形式は、ノーダスと呼ばれる光あるいは影の点の動きを追うものである。 例えば日時計は垂直なオベリスク (例、「アウグストゥスの日時計」 (Solarium Augusti)、 訳注 時計の歴史 を参照) の影の端、 あるいは「羊飼いの日時計」の影の端を追ってもよい。 あるいはまた、太陽光は小さな穴を通って注ぎ込むか、 あるいは小さな (例えば硬貨の大きさの) 丸い鏡に反射されて、 小さな光の点を作り、この位置をたどるのである。 このような場合には、光線の幕は 1 日の間に円錐を形成し、光線が表面に落ちれば、 その通り道は円錐と平面の共通部分となる。 最も一般的には光を受ける面は平面であり、 影の端の通り道あるいは光の点の通り道は円錐の断面となり、 双曲線や楕円となる。 双曲線の集まりはギリシャ語で pelekonon (斧) と呼ばれる、 何故ならば、これは両刃の斧 -- 中央部 (昼の時刻線) が細く、 両端 (朝と夕方の時刻線) が広がっている -- に似ているためである。



クラクフの日時計

ノーダスに基礎を置く日時計は、 光線を分離するために、小さな穴もしくは鏡を使用することもある。 前者はしばしば「穴開き日時計」(aperture dial) と呼ばれる。 この最も古い実例は antiborean (あるいは antiboreum) 日時計で、 これはノーダスを基礎に置く球状の日時計で、真の北を向き、 南からの太陽光が、球の極にある小さな穴から注ぎ込み、 球面の内側に彫り込まれた時間や日付の線に落ちる。 この線は地球儀の経線や緯線に似ている。

訳注
  1. プトレマイオスは太陽の黄経から赤緯、赤経を決定しています。 あまり厳密に考えなければ、与えられた日付における太陽の赤緯、赤経を 計算することができ、赤緯、赤経から与えられた時間における太陽の方位と高度を決定できます。 (三角法の歴史訳注 4:時刻が既知の時に「方位角、高度」と赤道座標の変換方法日時計への応用 を参照。) 従って、 これにより「クラクフの日時計」のような日時計を製造することが可能となります。 各々の計算には三角法の計算が必要であり、 三角法の計算はプトレマイオスの時代にはかなり面倒なので、どの程度まで実行できたか不明です。 いずれにせよ、時代と共にこれが可能となる思われます (最初から可能であったのかもしれません)。 上のクラクフの日時計の製造年がわかいりませんが、 類似の日時計で製造年がすぐにわかるものもあります。

    クロノスと日時計
    これは ヴィラヌフ宮殿 (Wilanów Palace) にある日時計です。1684 年に ヨハネス・ヘヴェリウス (Johannes Hevelius) によって技術面がデザインされています。(芸術的な部分は別の人がデザインしている。) 1684 年にはケプラーの法則 (1609, 1618 年) はすでに知られていましたが、 ニュートンの万有引力の法則 (自然哲学の数学的諸原理, 1687 年) はまだ世に出ていませんから、正確な軌道計算はできるわけがなく、 超精密な日時計と言うわけではないようです。しかし、製造された当時としては 最も精密な軌道計算 (例えば 従円と周転円) を利用したと思われます。
    アリダードに記載されていることによれば ヘヴェリウスは裸眼で天体観測をした最後の天文学者で、ティコ・ブラーエの照準板を改良した人と思われます。 (2 人が使用した照準板は星には視差がないことを利用するものです。)
  2. antiboream の意味が不明ですが、bore に穴の意味があるので、「反対穴」のような意味かもしれません。 antiboream 日時計は夏の間は北極の穴から球の中に光を注ぎこみ、冬には南極の穴から光を注ぎこむように なっているようです。赤道板日時計と同様に、春分・秋分の頃には光が球の中に差し込まない。
反射日時計

アイザック・ニュートン は 便利で廉価な日時計を発明した。この日時計では 小さな鏡が南に向いた窓の敷居に設置される。 鏡はノーダスの役目をし、天井に光の点を投げつける。 緯度と季節に依存して、 光の点は双曲線の集まり (pelikonon) のような 円錐曲線をたどる。 もしも、鏡が赤道に平行で、天井が水平であれば、 その結果生じる角度は従来の水平日時計のものとなる。 天井を日時計の盤面に使えば、未使用の空間を使用することになり、 日時計は十分に大きく、とても正確なものとなる。

複合日時計 (multiple dials)

日時計は、しばしば複数の日時計から構成されている。 もしも、異なる原理で動作する複数個の日時計 -- 例えばアナレンマ式日時計と水平日時計、あるいは垂直日時計 -- が 結合されていれば、自己調整することができる。 別の言葉でいえば、真の北の方向は決定する必要がなく、 2 つの日時計が同じ時刻を表示するときに日時計が正常な方向を向いているのである。 これは、携帯日時計においては、極めて重要な利点である。 しかしながら、最も普通の組み合わせでは同じ原理に基づく日時計が使用され、 自己調整できない。

二つ折り (タブレット) 日時計

「二つ折り」 (diptych) は二つの平らな面からなり、「ちょうつうがい」で結ばれている。 「二つ折り」は通常は平らな箱にたたむことができ、ポケットにしまうことができる。 ノーモンは二つの面の間の紐である。 紐がピンとなると、2 つの面は垂直日時計と水平日時計となる。 これらは白い象牙で作られて、黒い漆の印が埋め込まれている。 ノーモンは黒く、編んだ絹、亜麻もしくは麻の紐である。 紐に付いた結び目もしくは数珠玉がノーダスの役目をし、 「二つ折り」は (十分大きな日時計であればどれでも) 作物の植え付けには十分な暦の役目をする。 「二つ折り」は自己調整できると一般に信じられているが、 これは嘘である。 「二つ折り日時計」では水平日時計と垂直日時計を使用し、 面の間に張り渡された紐のノーモンでは、 どのように日時計の面を向けようと、これは正しくないのである。 紐のノーモンは連続的で、影が「ちょうつうがい」の部分で一致し、 どのように日時計を向けようと、どちらの日時計にも同じ時刻を表示するからである。



1612 年頃の リュートの形をした「二つ折り日時計」
ノーモン・スタイルは垂直面と水平面の間に張り渡された紐
この日時計には小さなノーダス (紐の上のビーズ) があり
垂直面の日付の丁度上で、双曲斧 (pelekonon) の上に時刻を表示
複数面日時計

普通の複合日時計では、正多面体、通常は立方体、のどの面にも日時計を設置している。 中身の詰まったオブジェクトのどの面にも、日時計を設置することにより、 極端に装飾的な日時計を作ることができる。 ある場合には、 中身の詰まったオブジェクトの「うつろ」が日時計となる、 例えば地軸方向にそろえられた「円筒形のうつろ」であったり (この場合にはエッジがスタイルの役目をする)、 またある場合には、hemisphaerium や the antiboreum の古代の伝統における「球状のうつろ」であることもある。 ある場合には、複数面日時計は十分小さいため机の上に置くことができたり、 またある場合には、大きな石の建造物であったりする。

訳注
ギリシャの天文学には次のような日時計が登場しております。この日時計は「赤道板日時計」と同様に、 季節により光を受ける面が変化します。ノーモンがありますから、上の説明とは違う日時計ですが、 「うつろ」が日時計となる実例にはなっています。


ギリシャの赤道日時計
紀元前 3 世紀 - 2 世紀、
アフガニスタン、 アイ・ハヌム

このような複数面の日時計には 1 日のどの時間でも光を受け (従って時を告げることができるという) 利点がある。 これらは、異なる時間帯の時間を同時に表示するようにデザインすることができる。 しかしながら、自己調整することができるようにはなっていない。 というのは、そこに使用される色々な日時計は一般には同じ原理で時を告げ、 地軸方向にノーモンとスタイルをそろえることをしているのである。 自分で向きをそろえることができる日時計は最低限 2 種類の相異なる原理で動作する日時計、 例えば、水平日時計 (スタイルを地軸方向に向ける) とアナレンマ式日時計 (これにはスタイルがない)、が ないといけないのである。 多くの場合、複数面日時計では一旦製造したら動かすことができないが、 一度合わせるだけでよい。

プリズム日時計

プリズム日時計は、極方向日時計の特別な場合で、 凹面多角形のプリズムの鋭利なエッジがスタイルの役目をし、プリズムの側面が影を受ける。 実例には墓石の上の 3 次元の「十字架」あるいは「ダビデの星」がある。

訳注
次は Category:Prismatic sundials - Wikimedia Commons に掲載されているプリズム日時計 の写真の 1 つです。残念ながらどのようにして時刻表示するのかわかりません。
風変わりな日時計
ベノイ (Benoy) 日時計

ベノイ (Benoy) 日時計は ノッティンガムシャー、コリンガムの ウォルター・ゴードン・ベノイ (Walter Gordon Benoy) により発明された。 通常はスタイルにより影の幕ができるが、 太陽の光を狭い隙間を通したり、 長い狭い鏡 (通常は半円筒形) で反射させたり、 円筒形のレンズを通すことにより、同等な光の幕を作ることができる。 Benoy 日時計は、円筒形のレンズを使用して光の幕を作り、 これが日時計の面に落ちる。 Benoy 日時計は英国中で見ることができ、例えば


Benoy 日時計
二糸 (Bifilar) 日時計

ドイツの数学者である Hugo Michnik により発明された二糸日時計には 日時計に平行な、互いに交差しない 2 本の糸がある。 通常、第二の糸は最初の糸に直交している。

二本の糸の影が交差する場所が太陽時を与える。

訳注
  1. 二本の糸は ねじれの位置にあります。
  2. 次のページの一番下に写真があります。
    The Sundial Primer - Bifilar Sundial
デジタル日時計

デジタル日時計は光と影を使用して、 時刻を位置によって記すのではなく、 数値を書き込むのである。 そのようなデザインの一つでは、 二つの平行するマスクを使用して、太陽光を 時刻表示に適当なパターンに変換する。

訳注
英語版の Wikipedia では「デジタル日時計」の項目が別にあり、そこに詳細な説明があります。 色々なものがあるようですが、上で述べているデザインでは、光ファイバーを使用しているもののようで、 他のエネルギーは使用しないようです。
デジタル日時計は日本でも発売されているようです。検索エンジンで探すと出てきます。


ベルギー、 フランドル ヘンクにある
日時計公園のデジタル日時計
アナログ計算日時計

水平日時計で、盤面がハート型に切られて、そこに時計時間を表示し、 一方で従来の庭日時計の容貌を保っている。 ハート型は、従来の日時計の太陽時の盤面と、 等角的な本当の時計の面の間をつないでいる。 日時計を夏時間に調節するには時計の面を回転させればよい。 日時計の盤面は移動しない。

球体日時計

球体日時計は地球の回転軸方向にそろえた球面で、 球状の羽板を備えている。 固定した軸方向のスタイルと同様に、球体日時計は 地球の周りの太陽の見かけ上の回転における方位角から時刻を決定する。 この角度は、羽板を回転して、もっとも影が小さくなるようにすることで決定できる。 この型式の日時計は トーマス・ジェファーソン モンティチェロ における自宅にあったため人気が出た。

訳注
何のことを言っているのか理解に苦しみますが、次のページの下の方に絵があります。 「球状の羽板」という言葉が誤解を招いているのがわかります。
The Sundial Primer - Globe or Sphereical Sundial
「正午合わせ」 (noon mark)

最も単純な日時計は時を告げるのではなく、 正午 12 時を正確に教えるものである。 何世紀も前に、そのような日時計は機械式時計を補正するために使用された。 機械式時計は時々非常に不正確で、 一日の間に随分遅れたり進んだりした。

米国の植民地時代の家屋では、しばしば 「正午合わせ」 (noon mark) が床や窓の下枠に彫り込まれていることがある。 「正午合わせ」は地方時間の正午を教え、 これは正確な時計を持っていない家庭にとっては正確な時間照合であった。 現代においても、幾つかのアジアの国々で、 郵便局は正確な「正午合わせ」により時計を合わせている。 そして、これは地域の他の人たちにも正確な時刻を提供している。 典型的な「正午合わせ」には、アナレンマ板の上にレンズが付いている。 板には 8 の字が彫り込まれ、 太陽の赤緯に対しての均時差を与えることと対応している。 太陽の像が 8 の字の現在の月の部分に接触したら、その時が正午 12:00 時なのである。



スイス、アヴァンシュの 聖マリー・マドレーヌ 教会の
「正午合わせ」
正午の大砲

正午の大砲は時には子午線の大砲と呼ばれ、 特別な日時計の一種で、耳に聞こえる「正午合わせ」であり、 自動的に正午に一定量の爆薬に点火するものである。 これは目新しいものではあるが、正確な日時計ではなく、 主に 18 世紀後期から、19 世紀初頭にかけて、時折ヨーロッパの 公園に設置された。 正午の大砲は典型的には水平日時計であり、 ノーモンに加え、適当なレンズを搭載し、 これにより丁度正午に太陽の光を小型の大砲の点火皿に集光した。 大砲には爆薬が装填されていたが砲弾は装填されていなかった。 適当に機能させるためには季節ごとに、レンズの位置と角度を 調節する必要があった。

子午線直線

ノーモンが正午の太陽に向いた時、子午線方向の水平線を 子午線直線と呼ぶ。これでは時刻を表示しないが、 一年における日を表示する。 歴史的には、子午線直線は正確な太陽年を決定するのに使用された。 実例にはローマの The Basilica of St. Mary of the Angels and the Martyrs (天使たちと殉教者たちの聖母マリアの バシリカ) におけるビアンキーニ (Bianchini) の子午線直線と ボローニャ の 聖ペトロニオ大聖堂 (San Petronio Basilica) の カッシーニ直線がある。

訳注
  1. 「子午線直線」は上で説明をした「アナレンマ式日時計」の写真に表示されています。
  2. 日付がわかるのは正午の影の長さからです。
  3. The Basilica of St. Mary of the Angels and the Martyrs のイタリア語表記は Santa Maria degli Angeli e dei Martiri です。 日本語版のヤフーでイタリア語で検索したところ 共和国広場 サンタ・マリア・デッリ・アンジエリ教会がヒットしました。 一番最後の 「e dei Martiri」 (殉教者たちの) を無視していることがわかります。 一方 サンタ・マリーア・デッリ・アンジェリ によるとサンタ・マリーア・デッリ・アンジェリと呼ばれる教会が世界中に随分あることがわかります。 英語版の Wikipedia では Santa Maria degli Angeli e dei Martiri はローマのものだけを説明しており、 末尾に e dei Martiri を付けるとローマの教会に一意的に決まるようです。
  4. フランチェスコ・ビアンキーニ (Francesco Bianchini, 1662 年 - 1729 年) はイタリアの哲学者かつ科学者で、 月と火星のクレーターに名前を残しています。 月の名所案内 によると、ビアンキーニはジュラ山脈の上にあるとしています。
  5. 聖ペトロニオ大聖堂は ボローニャ観光に.... に写真が載っています。
日時計のモットー

日時計と時間との結びつきは (日時計の) デザイナー達に 何世紀もの間インスピレーションを与え、 デザインの一環としてモットーを表示するようにした。 しばしば装置は「死すべき運命であることを思い出させるもの」 ( メメント・モリ、 memento mori) の役割を与え、 見る者に世の移りと避けざるを得ぬ死を想起させた。 「時を殺してはいけない (訳注:「ヒマつぶしをしてはならない」の意)。 そうすれば必ず時があなたを殺す」。 他のモットーはもっと気紛れものもある: 「私は晴れた時間しか表示できない」、 「私は日時計、(機械の) 時計がはるかにうまくやることを/ 下手にやる」。 日時計のモットーを集めたものは何世紀もの間、何度も出版された。