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トンド・エ・クアドロ(tondo e quadro, 円と正方形)
アンドレア・ビアンコの 1436 年の地図帳から
以下の文書は次の翻訳です。
Rule of marteloio - Wikipedia (マルテロイオの方法)
「マルテロイオ (marteloio) の方法」とは羅針盤によるナビゲーションの方法で、緯度は使用しません。 コロンブスもこの方法を使用したはずです。その後、「マルテロイオの方法」に緯度を組み込んだ 「リーグの統率」(regiment of league) が登場します。但し、これは大西洋の横断の場合のみのようです (地球が丸いことを組み込んでいないので誤差がでる)。十把一絡げで推測航法と呼ばれているものです。
羅針盤もコンパスも英語では compass で、区別がありません。 日本では通常コンパスは携帯コンパスのように針が回転するもので、 羅針盤はコンパス・カードが回転するものを指すことが多いようです。しかし、この型式の羅針盤が発明されるのが 1300 年頃で、 それ以前の船乗りのコンパスは携帯コンパスのように針が回転するものです。「マルテロイオの方法」は 13 世紀にさかのぼる ことが想定され、そのため羅針盤と称すると都合が悪くなり、全面的に「コンパス」の訳語を使用します。
原文に出てくる単語で、英語でないものはそのまま原語で表記しています。 その中に alargar, avanzar, avanzo, ritorno があります。これはアンドレア・ビアンコの本に出てくる言葉で、 以下の頁を読めば意味がわかります。カナ表記があると読みやすくなるので検索エンジンで探した所、 alargar, avanzo はスペイン語、ritorno はイタリア語です。 「マルテロイオの方法」に貢献したのはイタリアとマヨルカ (現在のスペイン領、当時はイスラム世界) と思われるので、多文化圏の産物です。 検索された辞書ではすべて発音が聞け、発音をカナ表記すれば
| alargar | avanzar | avanzo | ritorno |
| アラルガル | アバンツァー | アバンツォ | リトルノ |
アラルガルよりもアラルギャルの方が近いかもしれません。いずれにせよ、単なるカナ表記です。 なお、これ以外によく出てくる言葉で toleta があります。これはイタリア語の辞書にもスペイン語の辞書にも出てきません。 ベニスの方言と思われます。トレタと読めばよいと思います。table (表) の意味です。
マルテロイオの方法とは中世の航海計算の技術であり、 コンパス・ローズの方向、距離、そしてトレタ・デ・マルテロイオ (toleta de marteloio) と呼ばれる簡単な三角関数の 表を使用する。 この方法に従って、船乗りはトレタ (toleta) と基本的な算術により三角形を解いて、 2 つの異なる航路の間の横断線を設定することができる。
計算することが不愉快であれば、目で見てわかる トンド・エ・クアドロ(tondo e quadro, 円と正方形) に頼ることができ、 解答がデバイダーでわかる。 マルテロイオの方法は地中海のナビゲーターが、 天測航行が発展する前の 14 世紀、15 世紀に普通に使用したものである。
語源はベニスの言葉に由来する。 ベニスの船長で、地図製作者であったアンドレア・ビアンコ (Andrea Bianco) は、 彼の 1436 年の地図帳で数表を導入した。 この数表を、彼はトレタ・デ・マルテロイオ (toleta de marteloio, マルテロイオの表) と 呼び、その数表を使用する方法をラゾン・デ・マルテロイオ (raxon de marteloio, マルテロイオの道理) と呼んだ。
マルテロイオ (marteloio) の意味自身は不明である。 最も広く受け入れられている仮説は、 アドルフ・エリク・ノルデンショルド ( A.E. Nordenskiöld) によって始めて提示されたもので、 "marteloio" は "ハンマー" (ベニスの言葉で maltelo) に関連しており、 時の経過を告げる船上の鐘を打つために使用される小さなハンマーのことである。 ケリー (Kelly) の示唆する所では語尾の -oio の意味する所は、 ハンマーそれ自身のことでも、ハンマーを打つ人のことでもない。 むしろ「ハンマー打ち」であり、 4 時間ごとの見張りの交替の時の 「ハンマー打ち、騒音、大騒ぎ」を示唆する意図があるとのことである。 見張りの交替時には甲板上に多くの人手があるため、 パイロットが船の速度を測定し、(必要であれば) 方向を変えるのに都合のよい時である。
(これほど広く受け入れられてはいないが) 別の仮説では "marteloio" は 次の言葉がなまったものである：mari logio (海の方法)、mare tela (海のネットワーク)。 あるいは次のギリシャ語に由来するものである： homartologium (όμαρτόλογίον, "手引書"の意)、 imeralogium (ήμερόλογίον, "日々の計算"の意)。 あるいは北フランスの matelot に由来し、これは更に ブルトン語の martolod (船乗りの意) に由来する。
「マルテロイオの方法」は中世ヨーロッパのナビゲーションで使用されたもので、 最も顕著であったのは 14 世紀から 16 世紀にかけての地中海である。 もっとも、もっと古い起源があるかもしれない。 これは「コンパス・ローズと海図」によるナビゲーションと一体のものであり、 ヨーロッパに地理座標 (緯度、経度) と天測ナビゲーションが到来する前のことである。
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中世のナビゲーションは 2 つのパラメーター -- 方向と距離 -- に依存していた。 船上では、方向は船乗りのコンパス・ローズ (これは 1300 年頃に登場) によって決定された。 距離は推測航法 (すなわち、距離 = 速度×時間) で測定され、 時間は半時間用の砂時計で測定され、 速度の測定は、適当な小さな丸太 (chip log, 測距儀) が使用された。 (これは 14 世紀から 15 世紀に使用された古い方法であり、 船上の木や、くずを使用し、木片が船のへさきから、船尾まで流れ去る時間を計るために 調子のよい聖歌を歌った。)
コースを設定するには、 点 A から点 B の間のコンパス・ローズの方向と距離を知る必要がある。 港が相対的にどの方向にあるのかを知ることは、ナビゲーターの長い経験で修得されていた。 この情報は時々収集されて、パイロットの手引書となった。 この手引書はポルトラノ (portolano) と呼ばれた。 (portolano とはイタリア語の"港の本" (port book) で、ギリシャ語では ペリプルス periplus, ポルトガル語では roteiro、英語では rutter (水路誌) である。) これらの手引書はポルトラノ海図 (portolan chart) として知られるある種の海図を構築するのに使用された。 ポルトラノ海図は 13 世紀後半の ジェノヴァ (Genoa) で製造がはじまり、 ヴェネツィア (Venice) や マヨルカ (Majorca) に伝搬した。 ポルトラノ海図には緯度や経度の網目がついておらず、 コンパス・ローズの方位線の網目があり、 船乗りに 2 点間の距離と方向の概念のみを提供したのである。
手引書ないしはポルトラノ海図によりナビゲーターが直ぐわかることは、 例えば ピサがジェノヴァの 85 マイル南東 (南東 = 伝統的なコンパス・ローズの命名では "Scirocco") であることである。 従って、船をジェノヴァから出発して、その距離だけ、ピサに至るまで方向を維持すればよい。 しかしながら、大半の航路はそんなに整然としたものではない。 マヨルカから ナポリ (Naples) に航行しようとすれば、 ナポリは 600 マイルほど東 (コンパス・ローズの "Levant") にある。 しかし、途中に サルデーニャ島があり、船の方向を変えないといけない。 これは言うは易し行うは難しである。 地理座標 (緯度、経度) はこの時点では存在していなかったからである。 船の現在位置を決定する唯一つの方法は過去の方位と前進距離を計算することである。
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| Tramontana | トラモンタナ | 北 | Greco | グレコ | 北東 |
| Levante | レバント | 東 | Scirocco | シロッコ | 南東 |
| Ostro | オストロ | 南 | Lebeccio | リベッツィオ | 南西 |
| Ponente | ポネンテ | 西 | Maestro | マエストロ | 北西 |
島は予測できる障害物であり、サルデーニャ島を迂回するには 単に一定距離を南東に航行し、その後で北東 (コンパス・ローズの "Greco") に コースを変更するだけである。 もっと問題があることは、 もしも船が突発的な風で意図したルートから外れたり、 あるいはタッキング (tacking) をせざるを得ず、 何度も方向を変えなければならないことである。 どのようにして、意図したコースに戻ることができるか ? ここにマルテロイオの方法が登場する。
マルテロイオの方法は海上で方位を変更する問題に対しての提言である。 もっとはっきり言えば、 これによりナビゲーターは 1 つの航路から別の航路への横断を策定することの 補助をするのである。 例えば、船舶が コルシカからジェノヴァに航行するとする。 このコースの方位は真北 (コンパス・ローズの "Tramontana") で 130 マイルである。 しかし、風向きが都合がよくなく、船は 70 マイルほど北西 (コンパス・ローズの "Maestro") に 余儀なくされたとする。 どのようにして元のコースに復帰できるか ? 方位を北東 (コンパス・ローズの "Greco") に再設定することは十分に意味があることのように思われる。 しかし、この方位をどれほどの時間続けてよいのか ? ナビゲーターは船が元のルートに到達し、そして再び北に方向転換する時期を どのようにして知ることができるか ? どのようにして、行きすぎることもなく、手前すぎることもないことを判断できるのであろうか ?
これは三角形を解くための数学の問題である。 ナビゲーターが船が正しくないコースを、どれほどの時間、航行したのかを知っていれば意図したコースから どれほど外れているのかを計算でき、方位を変更してから、どれほどの時間で元のコースに戻ることができるかを 評価できる。 コルシカからジェノヴァの実例では言外に三角形 ACD があり、 一辺が与えられ (AC は実際の北西コースの 70 マイル)、 頂点 A における角度 45° (これは実際の北西コースと意図した北コースの成す角度)、 そして頂点 C における角度 90° (実際の北西コースと復帰コースの成す角度)。 ナビゲーターにとっての問題は北西の復帰コースを航行するのに必要な距離 (辺 CD の長さ、これは ritorno と呼ばれる)、 意図したコースを進んだ場合の前進距離 (斜辺 AD、これは "avanzo の全体" と呼ばれる) を見つけることである。 これは初等的な三角法である、 1 辺と 2 つの角 (45° と 90°) がわかっている時の解法である。 正弦法則を直ちに適用して
| = | = |
となり、これより ritorno = 70 マイル、avanzo の全体 = 98.99 マイル の解が得られる。 これが意味することは、船が現在位置 C から北東に針路をとり、70 マイル帆走すれば、 元の意図したコースに戻ることである。 合流点 D に到達するまでに、元の意図したコースでは 98.99 マイル前進している。 ここで方位を北に取り、残りの 30 マイル程度をジェノヴァに向けて帆走すればよい。
残念なことに中世の船乗りは 14 世紀、15 世紀の初歩的な教育しか受けてはおらず、 問題を処理するための正弦定理を知っていなかったであろう。 その結果、中世の船乗りは、より単純で、より扱いやすい計算法が必要であった。
学者で牧師であったマヨルカの ライムンドゥス・ルルス (Ramon Llull) はナビゲーションにおける横断問題を解く方法に 言及した最初の著作家である。 彼の Arbor Scientiae (1295 年) の幾何学の問題の節でルルスは 次のように書いている。
ルルスが説明しようとしていることは、 南東に帆走するつもりが、実際には東に帆走している時に成し得た距離 -- イタリア語では "avanzar" であるが、ルルスは "miliaria in mari" と呼んでいる -- のようである。 ルルスは正確には説明しておらず、単に "装置" と言及しているのみであるが、 恐らくは三角関数の表である。 ルルスの意味することは、 船乗りは miliaria の計算をするために正しくないコースで実際に帆走した距離に、2 つのコースの間の角度の コサインをかけて計算しているように思われる：
但し θ は 2 つのコースの間の角度である。
(図式的には、ルルスの miliaria in mari は実際に帆走したコースから意図したコースに垂線を下ろして 構成した三角形から測定される。)
ルルスは彼の Ars magna generalis et ultima (1305 年頃の本) でもう少しはっきり書いている。 今度は実例を逆にして、東に帆走するつもりが、実際には南東に帆走するとしている。 ルルスは南東の方位で 4 マイル毎に意図した東向きのコースでは 3 マイル (実際には 2.83 マイル) 進む。 従って、ルルスは次のように述べている：船は現在のコースを 100 マイル帆走する毎に 意図したコースでは 25 マイル (実際には 29 マイル) 遅れをとることになる。
注意すべき点は、本の中で、ルルスは方法を勧めているのではなく、それを報告しているのであり、 この方法がすでに知られ、当時の船乗りに実際に使用されていることをほのめかしている。 これは恐らく驚くべきことではない -- 三角法はキリスト教のヨーロッパではまだ未発達であったが、 正弦、余弦の数表はアラビアの数学者にはすでに知られていたからである。 1230 年代に至るまで、 マヨルカ王国はイスラム世界の支配下にあり、ルルスの時代には、 繁栄したイスラム教徒やユダヤ教徒の共同体の多文化圏の中心地であり続けた。 彼らの多くが数学や天文学を道楽にし、彼らの船乗りは地中海沿岸に多大な接点を持っていたのである。 マヨルカの船乗りがある種の三角法の数表を手にしていたことはあり得ないことではない。 これにもかかわらず、1295 年にライムンドゥス・ルルスによって示唆されている数表の正確な内容と レイアウトははっきりとしない。
ルルスよりも一世紀以上後に船乗りの三角法の数表を始めて垣間見ることになる。 ベニスの船長であるアンドレア・ビアンコの 1436 年のポルトラノ海図の最初の二つ折りで、 彼はラゾン・デ・マルテロイオ (raxon de martelio) を述べ、どのようにしてコースを横断し、復帰するのかを説明している。 彼はトレタ・デ・マルテロイオ (toleta de marteloio) と呼ぶ数表を提示し、船乗りがこの表を記憶することを薦めている。
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トレタ・デ・マルテロイオ (toleta de marteloio) は次のようになっている。
| Quater wind |
Alargar (意図したコース からの逸脱距離) |
Avanzar (意図したコース での前進距離) |
Ritorno (復帰コースの 距離) |
Avanzo di ritorno 復帰による 前進距離 |
|---|---|---|---|---|
| 1 | 20 | 98 | 51 | 50 |
| 2 | 38 | 92 | 26 | 24 |
| 3 | 55 | 83 | 18 | 15 |
| 4 | 71 | 71 | 14 | 10 |
| 5 | 83 | 55 | 12 | 6 1⁄2 |
| 6 | 92 | 38 | 11 | 4 |
| 7 | 98 | 20 | 101⁄5 | 2 1⁄5 |
| 8 | 100 | 0 | 10 | 0 |
| 100 マイル毎 | alargar 10 マイル毎 | |||
トレタ (toleta) における数値は、次の現代の公式で近似できる。
| Alargar | = | 100 × sin(q × 11.15) |
| Avanzar | = | 100 × cos(q × 11.15) |
| Ritono | = | 10 ／ sin(q × 11.15) |
| Avanzo di ritorno | = | 10 ／ tan(q × 11.15) |
但し q は クォーター・ウィンド の数のこと。 (数値は、クォーター・ウィンドの間隔が 11.15° の場合にうまくいくが、 クォーター・ウィンドの通常の定義である 11.25° にするとうまくいかない。)
11.15
|
11.25
|
トレタ (toleta) は幾つかの数値のカラムから成る単純な表である。 最初のカラムには実際と意図したコースの角度を、クォーター・ウィンドの数値で表している。 角度が決定されれば、2 番目のカラムが Alargar (= widening = 拡大； 意図したコースから現在の船までの逸脱距離)、 そして 3 番目の数が Avanzar (= advance = 前進； 現在のコースで帆走することにより、意図したコースで前進した距離； これはライムンドゥス・ルルスの miliaria di mari と等価). Alargar と Avanzar の数値はビアンコの表では現在のコースで帆走した時に 100 マイル毎で表示されている。
実例： 船が東向き ("Levante") に帆走しようとしたとする。 しかし、風向きにより「南東微東」("Quarto di Scirocco verso Levante") に帆走せざるを得なくなったとする。「南東微東」は東から 3 クォーター・ウィンド (33.75°) である。 (32 方位のコンパス・ローズではクォーター・ウィンドは東から順番になっており、 1 クォーターは「東微南」、2 クォーターは「東南東」、 3 クォーターは「南東微東」、..) これによりナビゲーターはトレタ (toleta) の q = 3 の列を見る。
船が「南東微東」を 100 マイル帆走したとする。 意図したコースからの距離をチェックするには alargar の欄を読めばよく、 意図したコースから 55 マイル離れていることが分かる。 avanzar のカラムから、現在「南東微東」で 100 マイル帆走している間に、 意図した東向きのコースでは 83 マイル前進していることが分かる。
次のステップは意図したコースに如何にして復帰するかを決定することである。 実例を続けて、意図した東向きのコースに復帰するには船の方位を北東の方向に向ける 必要がある。しかし北東の角度には色々ある -- 「北微東」、「北北東」、「北東」、「東北東」等。 船乗りは方位を選択しなければならない -- もしも鋭角的な復帰 (例えば「北微東」) をすれば、 もっと穏やかな傾き (例えば「東微北」) よりは意図したコースに、より早く復帰する。 どのような角度を選択するにせよ、 その方位で元のコースに復帰するために、 正確にどれだけの時間を帆走する必要があるか推定しなければならない。 長く帆走しすぎれば、行き過ぎる危険がある。
これがトレタ (toleta) の第 3 のカラムの役目である。 復帰の角度は、現在のコースの方位からではなく、意図した方位からの クォーター・ウィンドで表示される。 我々の実例では、船乗りは東に行くことを意図した。 しかし 100 マイル「南東微東」に帆走した。 風向きから考えて、船を東北東 ("Greco-Levante") に 向けて元のコースに復帰するのが最も良いと船乗りが判断したとする。 東北東は意図したコースの東の上方に 2 クォーター・ウィンドである。 そこで船乗りは第 2 の行を見る。 3 番目のカラムの ritorno には数値の 26 がある。 これは alargar 10 マイルに付き、船乗りが帆走しなければならないマイル数を 表示している。 alargar (意図したコースからの逸脱距離) は 55 マイルであったことを思い出そう。 従って意図したコースに復帰するためには 5.5 × 26 = 143 マイル東北東に 帆走しなければならない。 別の言葉では 143 マイルの間、東北東の方位を維持する必要がある。 一旦、この距離を帆走すれば、 船を東に向ける必要があり、 これで正確に意図したコースに戻ることになる。
最後のカラム (avanzo di ritorno) から、復帰中に意図したコースでの 前進距離がわかる。 alargar は 55 で復帰角は東北東 (従って q = 2)、これにより avanzo di ritorno は 5.5 × 24 = 132 である。 別の言葉では、すべてがうまく行き、 船乗りが東北東の方位を 143 マイル (ritorno) 維持すれば、復帰中に意図したコースで 追加の 132 マイルを前進 (avanzo di ritorno) するのである。
最後に、東向きの avanzo の全体は逸脱していた間の avanzer (83 マイル) と avanzo di ritorno (132 マイル) を加えて、全体では 83 + 132 = 215 マイルだけ、意図したコースで前進したのである。 地図の上で、出発点 A からの距離を測定すれば、正確な現在の場所がわかる。
これがトレタ・デ・マルテロイオ (toleta de marteloio) の最も単純な使用法である。 基本には三角法の数表がある。 しかしながら、正弦定理のように、一度に横断問題を扱うものではなく、 問題を 2 つの直角三角形に分離し、順番に解決するのである。 現代の三角法では alargar を計算することはなく、ritorno を直接計算する -- しかしこのためには完全な正弦表で武装する必要がある。 トレタ (toleta) は随分単純な表であり、 参照して計算することが容易であり、十分に簡潔なため (ビアンコが薦めるように) 船乗りが記憶することができた。
トレタ・デ・マルテロイオ (toleta de marteloio) は端数のない 100, 10 に対して表示されている。 しかし、実際には、船は復帰しようとするまでに 100 マイル単位で帆走することはなく、 それ以外の距離、例えば 65 マイルを帆走する。 これを計算することは単純な比の問題である。 例えば、船が東南微東に 65 マイル帆走したとすれば、 意図した東向きのコースからの alargar を計算することは、単に次の式を x に関して 解くことである。
| = |
ここで 26 は (表の第 2 のカラムに与えられているように) 100 マイルの alargar である。 式は三数法 (rule of three) によって簡単に解くことができる。 この方法では、3 つの数を使用して斜めにかけ、掛け算と割り算を順番に実行して、第 4 の数を求めるものである：
従って、東南微東に 65 マイル帆走することは、alargar = x = 16.9 マイルを意味する。 avanzar 等も同様に計算できる。
「三数法」はすでに 14 世紀には知られていたが、 掛け算や割り算の実行は、大半が文盲の世界に住む中世の船乗りには達成が困難であった。 アンドレア・ビアンコが熱心に薦めるように、 船乗りは「掛け算、割り算をうまく実行することを学ぶ」("saver ben moltipichar e ben partir") べきであった。 ここで我々は商業とナビゲーションの重要な接点を見るのである。 商業の数学 -- 購買額や販売額やその他の商取引を計算するためのアラビア数字、掛け算、割り算、分数あるいは道具 -- は基本的にはナビゲーションの数学と同じものであった。 そして、この類の数学は 「そろばん学校」で教えられた。 13 世紀には「そろばん学校」は北イタリアの商業の中心地に複数設立され、 商人の子弟を訓練した。そして、この階級こそがイタリアのナビゲーターを産んだのである。 歴史家の E.G.R. テイラーが注意するように「船乗りは日々の生活で数学を使用する最初の職業人であった」。
数を操作する高等技術に苦しむ者には代わりの手段があった。 これは目で見る装置で、「円と正方形」(トンド・エ・クワァドロ, tondo e quadro) と呼ばれ、 1436 年のアンドレア・ビアンコの本にも掲載されていた。
円は 32 方位のコンパス・ローズ (あるいは方位線の集まり) である。 円には 8 × 8 の格子が書き込まれていた。
中心部のコンパス・ローズは見過ごしてもよい -- 実際、円自身も無視してよい。 何故ならば、円は格子の上を走っている放射直線を描く以外には 目的がないように思われる。 興味あるコンパス・ローズは四角な格子の左上の角にあるものである。 この角から、コンパス・ローズの方位線が広がっている。 1436 年の元々のトンド・エ・クアドロ(tondo e quadro) で、 ビアンコは 16 本の放射直線を描いている -- 即ち、ビアンコは半クォーター・ウィンドを含めており、 放射直線は 5.625° 間隔である。 他の「円と正方形」の構成、例えばコルナロ地図 (Cornalo Atlas) には 8 本の放射直線をクォーター・ウィンドの間隔 (11.25°) で使用しているのにすぎない。 視覚的には、 これらの放射直線は 32 方位のコンパス・ローズの右下の 4 分円を写したものである： 東 (0 q), 東微南 (1 q)、東南東 (2 q)、東南微東 (3 q)、南東 (4 q)、 南東微南 (5 q), 南南東 (6 q)、南微東 (7 q) そして 南 (8 q)。(訳注：q = クォーター・ウィンド)
ビアンコのトンド・エ・クアドロ (tondo e quadro) の棒目盛りの複製 |
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ビアンコのトンド・エ・クアドロ (tondo e quadro) の詳細 |
格子の上には棒目盛りがあり、小単位で目盛りが付いている。 2 組の数値が目盛りに付いており、 1 つは各々の格子の正方形を 20 マイルで測定するもので、もう一つは 各々の格子の正方形を 100 マイルで測定するものである。 一番上の棒は、正方形あたり、20 マイルの目盛りで、 黒の点一個ずつが 1 マイルである。 一番下の棒は、正方形あたり 100 マイルで、 単位の正方形の長さは 2 つの相等しい 50 マイルの小正方形に分割され、 一連の「点と赤の線」が更に 10 マイルに分割している。 従って、どちらの目盛りを使うかに依存して、 全ての格子 (8 個の正方形) の辺は (正方形あたり 20 マイルの目盛りを使用すれば) 160 マイルまで測定でき、 (正方形あたり 100 マイルの目盛りを使用すれば) 800 マイルまで測定できる。
デバイダーを持った 智天使 (cherub) から示唆されることは、船乗りが alargar と avanzar を計算するために格子をどのように使用したかがわかる。 この方法では数値を処理するのではなく、視覚的な測定をするのである。
実例： 船が意図したコースよりも 2 つ下のクォーター・ウィンドで 130 マイル帆走したとする。 (例えば、意図したコースが東で、実際に帆走したのが東南東)。 デバイダーと 20 マイル・スケールを使用して、デバイダーを 120 マイルの幅にする。 次に、デバイダーの一端を左上の角にあわせ、デバイダーを東南東の放射直線 (= 東の放射直線の、あるいは格子の一番上の水平線の、 2 つ下のクォーター・ウィンド) にそろえ、場所をマークする (図では点 B)。 次に直角定規を使用して、東の放射直線まで直線を引き、対応する点 C をマークする。
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直角三角形 ABC が構成できたことがすぐにわかる。 長さ BC が alargar (意図したコースからの逸脱距離) で、 これは 46 マイルと測定できる。 (これは目で見て、2 つの格子の正方形と少々であり、 20 マイル + 20 マイル + 少々であるが、 この少々はデバイダーと 20 マイルスケールから 6 マイルであることが判断できる。) 長さ AC は avanzar (意図したコースにおける前進距離) で、111 マイルである -- 視覚的に 5 つの格子の正方形と少々で、 (20 × 5) + 11 となる。11 は再びデバイダーと目盛りで測定する。
これが「円と正方形」により、掛け算や割り算による数の操作、すなわち三数法を使用しなくてもよい 理由である。 ナビゲーターは単に測定するだけで、avanzar と alargar を視覚的に評価できるのである。
この方法はどのような意図した方位と逸脱にも使用することができる。 実際、唯一つの目的はデバイダーと目盛りで三角形を解くことだからである。 例えば、 コルシカからジェノヴァに向かう最初の実例 -- 意図したコースは北であるが、船は実際には北西に帆走せざる得なかった -- の場合には、ナビゲーターはデバイダーを 70 マイルの幅にして、 4 番目のクォーター・ウィンド (= トンド・エ・クアドロ(tondo e quadro) では南東の放射直線、これは 北西は北から 4 クォーター・ウィンド離れているから)。 ナビゲーターは、alargar と avanzar を全く同様に計算できる -- 格子の一番上まで直線を引き、正方形を数える等のこと。
トンド・エ・クアドロ(tondo e quadro) の装置はアラビアの正弦四分儀 (Rubul mujayyab) に非常に似ており、 角 (かど) の放射直線は調節できる重りの線の複製になっている。
トレタ・デ・マルテロイオ (toleta de marteloio) (あるいは視覚的な対応物であるトンド・エ・クアドロ(tondo e quadro)) は 意図したコースに復帰する明白な用途のためにデザインされているが、 もっと多くの違うことや、多くのナビゲーションの問題にも使用できる。 例えば、複数回の方位の変更を伴うコースの設定などがある。
マルテロイオの興味ある応用の一つが三角測量であり、 例えば船と陸上の目印との距離を決定することである。 (これは Michael of Rhodes が試みた最後の演習問題で、 ここでは少し異なる数値を使用する。)
実例： 船が北西 ("Maestro") に帆走しているとし、 ある夕方に西 ("Ponente") に陸上の目印を見つけるが、距離が不明とする。 船が一晩中、北西に帆走し、翌朝に 40 マイル後に、 陸上の目印が現在位置の西南西 ("Ponente-Libeccio") になっているとする。 船から陸上の目印までの距離を決定することは、 単にマルテロイオの方法を適用するだけである。
問題を解くには夕方の位置 (図の A) から始め、 船と陸上の目印との距離 (線分 AB) を意図したコースとみなし、 実際の船のコース (北西) を逸脱とみなす。 陸上の目印と、翌朝における船の位置 C の距離を計算するには、 距離 BC を計算すべき ritorno と扱うことである。 我々は ritorno を計算するために alargar を知る必要があるため、 これは 2 段階の計算である。
最初に、 北西は西より 4 クォーター・ウィンド上にある。 そこでトレタ (toleta) で q = 4 の行を参照すると alargar が 100 マイル毎に 71 マイルであることが分かる。 しかし、船は一晩で 40 マイルしか帆走していない。そこで、比 71/100 = x/40 を解く必要があり、 三数法により x = alargar = 28.4 マイル を得る。別の言葉では、 一晩に A から C まで北西に 40 マイル帆走することにより、 船は今や「意図した」西北西のコースから 28.4 マイル離れているのである。
今度は ritorno である。 陸上の目印は、すでに注意したように船の朝の位置 C から南南西にある。 そこで、陸上の目印に「復帰する」には船は現在の方位である北西から西南西に変更する必要がある -- これはクォーター・ウィンドでは北西の 6 つ下である。 しかしながらトレタ (toleta) は「意図した」方位 (現在の場合は西) からのクォーター・ウィンドで指定しなければならない。 そこで、q = 2 の行を見る必要がある。 これにより 10 マイルの alargar につき、ritorno は 26 マイルである。 alargar は 28.4 であったから、 ritorno は 26 × 2.84 = 73.84. これが解である。 地上の目印は船の朝の位置では 73.84 マイル離れている。
(話を完結するために、1 日前の夕方における陸上の目印の距離 (すなわち点 A から点 B までの距離) を決めよう。 これは単に avanzar に avanzo di ritorno を加えるだけである。 手早く計算すれば avanzar (q=4 で 40 マイル) は 28.4 マイル (= 71 × 40/100) で、 avanzo di ritorno (q = 2 で 28.4 マイルの alargar) は 2.84 × 24 = 68.16. 従って avanzo の全体 = 28.4 + 68.16 = 96.56 マイル。 これが 1 日前の夕方における、 陸上の目印と船の間の距離である。)
マルテロイオの方法は avanzar をターゲットにすることもできる。 例えば トルデシリャス線 を見つけるために出航したとする。 トルデシリャス線とは 1494 年の条約で法的に定められた子午線のことで、 カーボベルデ (Cape Verde) の西方 370 リーグにある。 船はカーボベルデから出発して、トルデシリャス線を見つけるために、 常に西に帆走する必要はない。 むしろもっと都合のよい方位 (例えば南西) に向けて帆走し、 西を"意図した"コースとして扱ってもよい。従ってマルテロイオを使用して、 "意図した" 西コースの avanzar が 370 リーグに達するまで帆走してもよい。
実際、カーボベルデから出発せずに、別の場所、例えば セビリア (Seville) から出発してもよい。 セビリアからカーボベルデまでの距離と方位、及びマルテロイオの方法を使用して、 いつトルデシリャス子午線に到達するかを計算できる。 これには 2 段階必要である。 カーボベルデ (図の B) がセビリア (図の A) の 400 リーグ南西であるとする。 しかし、船はセビリアからまっすぐ西に行き、大海上でトルデシリャス子午線に 到達することを意図している。 どれだけの距離を帆走すればよいか ?
これをマルテロイオの方法で解く方法は問題を逆にすることである： 西を意図した方位、南西を実際のコースとして扱うことである。 クォーター・ウィンドでは 南西は西よりも 4 つ下である。 そこでトレタ (toleta) で q = 4 を見ると、100 マイル帆走する毎に、avanzar は 71 である。 従って船が"実際の"南西コースを カーボベルデまで 400 リーグ帆走すれば、 "意図した" 西コースで avanzar を 284 リーグ (= 71 × 4) 達成することになる。 無論、船は実際にはカーボベルデに向けて南西に帆走するわけではなく、 大海を西に向けて帆走する。 別の言葉では船がセビリアから西に帆走する時にカーボベルデの子午線 (図の C) に 到達するには 284 リーグ帆走する必要がある。 これ以後は トルデシリャス線に至るまで 370 リーグ帆走すればよく、 セビリアから全部で 284 + 370 = 654 リーグ帆走すればトルデシリャス線 (図の D) に 到達する。
この特別な実例はマルテロイオの方法の柔軟性を示しているが、 基本的な欠陥も示している： 結果は地球が丸いことを無視している。 子午線は北極に集まり、 高緯度では狭くなるのである。 マルテロイオが示唆することとは異なり、 カーボベルデの 370 リーグ西はセビリアの 654 リーグ西とは同じ子午線上にないのである。 セビリアはカーボベルデよりもはるかに北にあり、 セビリアでの緯度ではカーボベルデの緯度よりも、子午線がより密になっているのである。 セビリアから西に帆走した船は実の所、654 リーグ帆走した場所 (点 D) に到達するよりも、 はるか前に真のトルデシリャス子午線 (図の点 T) に到達しているのである。
マルテロイオの方法では、 船乗りは、あたかも世界が平らであるかのように、 海図の上に平面三角形を描くことによって、コースを設定するのである。 これは地中海のように、緯度があまり変動しない場所に限定すれば十分に実用的であったかも 知れないが、もっと大きな規模では誤りを誘導するものとなる。
15 世紀後半と 16 世紀には海洋天文学の改善と 緯度の導入により、ナビゲーターは帆走した距離に頼るのではなく、 天測により海上における位置決定ができることとなった。 「マルテロイオの方法」の後継は「リーグの統率」(regiment of leagues) で、 これはポルトガルのナビゲーターが大西洋を帆走する時に使用した。 「リーグの統率」は、 ウィリアム・ボーン (William Bourne, 1571 年) が導入した言葉では 「1 度を上昇下降する方法」(Rule to Raise or Lay a Degree) であり、 「リーグの表」 (Table of the League)、「極に上昇する時の方法」 (Rule for Raising the Pole) とも言う。 これはポルトガルのナビゲーションの手引書である「Regimento do astrolabio e do quadrante」 (1509 年頃出版、執筆されたのは 1480 年頃) に始めて書き下された。 そして Martín Cortés de Albacar の 1551 年の本「Breve compendio la esfera y del arte de navegar」で 世に広まった。
「リーグの統率」は「マルテロイオの方法」と余り違っていない。 「リーグの統率」では東西の方位を"意図したコース"として考え、 そこからの逸脱を測定する。 もっとはっきり言えば、リーグの表では alargar は固定した値 -- 1 緯度 (当時の尺度では、ポルトガルの 17.5 リーグ、イタリアの 70 マイル) に設定されていた。 表は帆走方位のクォーター・ウィンド毎に記されていたが、 南北方向からのクォーター・ウィンドが数えられ、東西の方向から数えたものではなかった。 記されていたのは relevar と afastar である。 relevar は実際のコースの距離をリーグで表した数値で、 この間に船はあらかじめ設定した 1 緯度 (開始緯度から 17.5 リーグ の alargar) を帆走する。 afastar は単に東西方位の対応する avanzar である。
実例： 船が東南東の方位で出発するとする。 これはクォーター・ウィンドでは南の 6 つ上である. (注意：マルテロイオ とは違い、「リーグの統率」では南北方向からのクォーター・ウィンドで測定する。) どのような「リーグの統率」の表であっても (例えば 1551 年の Martín Cortés de Albacar の表)、q = 6 の行には relevar には 4511⁄15 リーグ、afastar には 421⁄4 リーグが 記されている。 これの意味する所は、東南東の方位で帆走する船は 1 緯度を達成するのに 45.73 リーグを帆走する必要があり、 対応する afastar は 42.25 リーグである。マルテロイオの言葉で言い換えると alargar (= 1 緯度) は 17.5 リーグで、 afastar は マルテロイオ の言葉では avanzar であり、42.25 リーグである。
もしも船が南東の方位で出発すれば、 クォーター・ウィンドでは南の方位の 4 つ上であり、「リーグの統率」の表の q = 4 に対応する値は relevar = 243⁄4, afastar = 17 1⁄2 である。
東南の方位を取れば、東南東の方位を取るよりは、 1° の alargar に、より速く (すなわち、より小さい relevar で) 到達し、 東南東の方位よりも、afastar はより小さくなる (子午線により近い)。
数学的には
| relevar | = | 17.5 / cos θ |
| afastar | = | 17.5 × tan θ |
但し、θ = 11.25 × 南北方向からのクォーター・ウィンド数 である。
用語が違ってはいるが、とりわけ緯度が使用されているが、 「マルテロイオの方法」と「リーグの統率」はよく似ている -- どちらも平面の海図の上の三角形を解くことである。 「リーグの統率」が「marlteloio の方法」よりも有利な点は表に緯度を導入したことで、 これにより位置を (四分儀やアストロラーベなどによる) 天体観測でチェックすることができ、 距離や方位を全て船乗りに依存しなくてもよくなったのである。
「リーグの統率」によって、地理座標がナビゲーションを導くことに使用できるようになった。 トルデシリャス線 (カーボベルデの西 370 リーグの子午線) を探すことが、正確な緯度を参照することにより ずっと単純となった。 例えば 2 隻の船がカーボベルデ (北緯 17°) から出発し、 1 隻が西微北の方位 (クォーター・ウィンドでは西の 方位の 1 つ上、あるいは北から q = 7) を取り、 もう一隻が 西北西の方位 (クォーター・ウィンドでは西の方位の 2 つ上、あるいは北から q = 6) を取るとする。 「リーグの統率」を使用すれば、 トルデシリャス線を通過する時の正確な緯度 を計算することが可能となった-- 単に 370 リーグを異なる方位の afastar で割るだけ。 西微北の船は北緯 21°21' で到達し、 西北西の船は北緯 29° で到達する。 従って、砂時計の回数と速度の測定をするよりも、船の方位を一定にして、 時々天体観測をして緯度を判断することになる。
マルテロイオの方法は、より現代的なナビゲーションで使用される「横断表」の 先祖である。現代の用語では横断 (traverse) は「帆船が続けて方向転換するときのねじ曲がったコース」 であり、「横断の解法」とは「目的地までの 2 つ以上のコースと距離を取る場合と同じように 単一のコースと距離で到達する方法を見つける方法」である。 マルテロイオの言葉では「横断の解法」において、与えられた情報は実際のコースと逸脱距離であり、 不明な物は意図すべき方位と、avanzo の全体である。
「横断テーブル」は曲がりくねったコースの節ごとに、3 つの値を使用する -- 距離 (Distance, Dist. と略記)、緯度の差 (Difference of Latitude, 南北方向の移動, D.Lat と 略記)、離脱 (Departure, 東西方向の移動, Dep. と略記) であり、後の 2 つは次の公式で 計算される。
| 緯度の差 | = | 距離 × cos θ |
| 離脱 | = | 距離 × sin θ |
但し θ は 45° より小さければ南北方向とコースの角度で、 角度が 45° より大きければ θ は東西方向とコースの角度となり、 公式を入れ替える。すなわち、緯度の差の式は離脱の式となり、 離脱の式は緯度の差の式となる。 もっと単純に言えば、θ は最も近くの基本方位 (北、南、東、西) からの角度であり、 式を計算して大きい数を適当なカラム (D.Lat. あるいは Dep.) に置く。
各々のコースの節 (ふし) で、ナビゲーターは適当な 3 つ組み (Dist., D.Lat., Dep.) を挿入し、 開始点と終了点から方位と帆走距離を計算する。 すべての緯度の違いと離脱を加えたり、引いたりして、全体の緯度の違いと離脱を計算し、 全体の方位の違いと帆走距離に変換する。
ライムンドゥス・ルルスの 1295 年の示唆的な注意を別にすれば、 マルテロイオの言及で知られている限りで最も古いものは 1390 年のもので、 ジェノヴァの Oberto Foglieto とか称する人の母親の領地の保管庫にあったものに 見受けられ、これには "unum martelogium....item carta una pro navegando" と書かれている。 最初に明白に登場し、説明があるものはベニスの船長であるアンドレア・ビアンコの 1436 年の 地図帳である。 これ以外の初期の手書きの本で、これ以後に マルテロイオの方法に関連していることが判明したものには 以下のものがある。
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