以下の文書は次の翻訳です。 なお、「従円」 (deferent) はボイヤーの「数学の歴史 2」では「導円」と訳されています。

Deferent and epicycle - Wikipedia

惑星は太陽の周りを楕円軌道で回りますが、簡単のため円軌道とします。。 地球は太陽の周りを円を描いて回り、太陽は相対的に地球の周りを円を描いて回り、 この太陽の周りを惑星が円軌道で回ります。 従って、惑星の動きは地球から見れば、円軌道の 2 個の合成で表示され、 これが惑星の動きが 2 つの円 (従円 + 周転円) の和で表示された理由です。(大まかには惑星の軌道円 (従円) + 地球の軌道円 (周転円)) しかし、実際の軌道は円ではなく楕円ですから、正確にするためには複数の円を合成して楕円もどきを作る必要があり、 とても煩雑なことになります (円の中心もずらす (これがエクセントリック (eccentric, 偏心)))。 しかしこれでも随分正確な予測をしたのですから驚きです (プトレマイオス)。

ヒッパルコス的、プトレマイオス的、そしてコペルニクス的な天文学システムで、 周転円 ―― epicycle, 古代ギリシャ語の ἐπίκυκλος (epíkuklos, 円周の上) に由来し、 「円が他の円の上に動くこと」を意味する ―― は幾何学的モデルで、月, 太陽, 惑星の見かけの速度と方向の変動を説明するために 使用される幾何学的モデルであった。 特に、これは当時知られていた 5 個の惑星の見かけ上の逆行 (retrograde motion) を説明した。 第 2 に、これは地球から惑星への見かけ上の距離の変化も説明した。

地球の周りの軌道上の惑星の周転円 (地球は中心)。 通り道は地球周囲の 惑星軌道 (従円 (deferent)) と 軌道内軌道 (周転円 (epicycle)) の合成。

このモデルは、しばしば ペルガのアポロニウス (Apollonius of Perga) によるものとされ、彼は BC 3 世紀の終わりに活躍した。 これはペルガのアポロニウスとロドス島の ヒッパルコス (Hipparchus of Rhodes) により進展され、彼らはこれを BC 2 世紀に大々的に使用して、 次に プトレマイオスにより AD 2 世紀の天文学論説の アルマゲストで定式化され、大々的に使用された。

周転円の動きは古代ギリシャの天文装置である アンティキティラ島の機械 で使用され、 月の楕円軌道を補償し、円軌道よりも近地点で速く、遠地点で遅く動く。 4 枚の歯車を使用し、このうちの 2 枚がエクセントリック (eccentric, 偏心的) にかみ合い、 これは極めて密接に ケプラーの第 2 法則を近似する。

周転円は惑星運動の見かけの予測で極めて正確である。 というのはフーリエ解析が後に示すように、すべての滑らかな曲線は 十分な数の周転円で任意の精度で近似できるからである。 しかしながら、 惑星運動が太陽中心の基準系からは 大体は楕円であるという発見によって、これは人気を失い、 これにより、 重力が単純逆 2 乗法則 (simple inverse square law) に従うことによって、 すべての惑星の運動を良く説明できることになった。

ヒッパルコスとプトレマイオスの両方のシステムで、 惑星は周転円 (epicycle) と呼ばれる小さな円上を動くことが仮定され、 この円は今度は従円 (deferent、プトレマイオス自身はこれを説明しているが、この名称を与えなかった) と 呼ばれる大きな円に沿って動く。 どちらの円も東に回転し、このシステム (黄道) の下で太陽の見かけの軌道面に 大まかに平行する。 システムは地球中心と考えられる事実にもかかわらず、どちらの円も 地球を中心に置くことがなく、むしろ各惑星の動きは、 地球からわずかに離れたエクセントリック (eccentric) と呼ばれる惑星固有の点を中心にした。 このシステムにおける惑星の軌道は、 外トロコイド (epitrochoid) に類似するが、 正確には外トロコイド (epitrochoid) ではなかった。 というのは周転円 (epicycle) の角度は従円 (deferent) の角度の線形関数ではないからである。

プトレマイオス天文学の基本要素、 惑星が周転円 (小さな点線の円) の上に見える、 従円 (大きな点線の円)、エクセントリック (eccentric (×)) とエカント (equant (・))

ヒッパルコスのシステムでは、周転円 (epicycle) は一様の動きで従円 (deferent) に沿って、 自転 (rotate)・公転 (revolve) した。 しかしながら、プトレマイオスが見出したことは、利用可能なバビロニアの観測データとこれを 調整することができないことであった; とりわけ見かけ上の逆行の形と大きさが違っていた。 周転円が移動する角速度は、今やエカント (equant) と呼ばれる別の点から測定しない限りは、一定ではなかった。 (プトレマイオスはエカントに名称を与えなかった。) 一定なのは、従円がエカント (equant) と地球 (エクセントリック (eccentric)) の間の中間点のまわりを移動する角速度である; 周転円 (epicycle) の中心が、エカント (equant) から見た時のみに 等しい時間に等しい角度を一掃した。 円形の従円の中心から一様な動きを切り離したのはエカント (equant) の使用であり、 これがプトレマイオスのシステムを際立たせた。 外惑星 (outer planet) (= 小惑星の外側の惑星) に関しては、 周転円の中心と惑星の間の角度は、地球と太陽の間の角度と同じであった。

プトレマイオスはアルマゲストで惑星の従円の相対サイズを予測しなかった。 彼の計算はすべて(標準化した) 従円に関して実施し、 一時に唯一の場合を考察した。 これは、彼が惑星が全て等距離であると信じたと言っているのではなく、彼は月以外には距離測定の 基礎がなかった。 彼は一般に軌道周期に基づいて、地球から外側に惑星の順番を付けた。 後に、彼は 「惑星仮説」 (Planetary Hypothesese) で、次の表の最初の欄にまとめた :

地球 - 太陽の距離に相対的な従円半径の彼の値がもっと正確であれば、 周転円の大きさはすべて地球と太陽の距離に近づいたことであろう。 すべての惑星は別々に考えられたが、1 つの奇妙な方法で、これらはすべて結ばれている; すべての惑星の本体から周転円の中心を通り抜ける直線はすべて平行であり、 太陽から地球に引かれた直線共々のことで、 この直線上に水星と金星が位置している。 これが意味することは、すべての天体はプトレマイオスの太陽と足並みをそろえて (すべて正確に一年の周期で) 天体毎の周転円で公転 (revolve) する。

バビロニアの観測が示したことは、外惑星 (superior planet) は典型的には星よりも遅く、夜空を移動することである。 毎晩、惑星は星の少し後ろに遅れるように見え、これは順行 (prograde motion) と呼ばれる。 衝 (opposition) の近くで、惑星は逆転 (reverse) し、逆行動作 (retrograde motion) よりも 夜空を速く動くように見え、その後で逆転 (reverse) し、順行 (prograde) に復帰する。 周転円の理論は、部分的には、この行動を説明しようとした。

内惑星 (inferior planet) は常に太陽の近くで観測され、日の出すぐ前か、日の入りすぐ後に登場した。 これらの、見かけの逆行動作は、これらが地球と太陽の間を通過して、 夕方の星 (evening star) から朝の星 (morning star) への移行時に起きる。

古代の天文学者が空を眺めた時に、彼らは、太陽, 月, 星が定期的な方式で頭上を移動するのを見た。 バビロニア人が天体観測をしたのは主に太陽と月であり、 宗教儀式の時刻の調整・維持の手段としてであった。 他の初期の文明 ―― 例えばギリシャ ―― には、 ミレトスのタレス ―― 日食の記録・予測 (BC 585 年) ―― あるいは ポントスのヘラクレイデス のような思想家がいた。 彼らもまた、放浪者 ("wanderer") あるいは "planetai" を見た。 「さまよえる天体」 (wandering body) の規則性が示唆することは、その位置が予測できるかもしれないことであった。

地球中心モデルにより記述される複雑さ

天体の動きを予測する問題への最も明らかなアプローチは、単に星空における位置を地図にして、 次に変化する位置に数学関数を適合させることである。 より良好な天空の計測機器の導入 ―― 例えば アナクシマンドロスによる ノーモン (gnomon) の導入 ―― により、ギリシャ人は時間の経過の良好な理解が可能となり、 この時間の経過には、例えば一年の日数と季節の長さがある。 これは天文測定には不可欠である。

古代人は地球中心の視点から作業した単純な理由は : 地球は彼らが立ち、空を観測する場所で、動くように見えるのは空で、 一方大地は静止し、足元で揺るぎがない。 ギリシャの天文学者 (例えば、 サモスのアリスタルコス によっては、 (地球を含む) 惑星が太陽を周回することを憶測したが、 太陽中心説をもっともらしく支持するデータを提供するのに必要な光学 (そして特別な数学 ―― 例えばニュートンの重力の法則) は プトレマイオスの時代には存在せず、彼の時代以後 1500 年以上も登場しなかった。 更に、 アリストテレスの物理はこのような種類の計算を念頭に置いてデザインされておらず、 天空に関するアリストテレスの物理は太陽中心説の概念と全く調和しなかった。 ガリレオ・ガリレイ が 1610 年 1 月 7 日 木星を観測し、 1610 年 9 月に金星の満ち欠けを観測して、 始めて太陽中心モデルが天文学者の間に広い支持を受け始め、 彼らは惑星は太陽の周りをまわる個々の世界である考え (すなわち地球も惑星であること) を 受け入れ始めた。 ヨハネス・ケプラー は惑星運動の 3 つの法則を定式化し、これは太陽系の惑星軌道を優れた精度で記述し、 円軌道ではなく、楕円軌道を利用するシステムを利用した。 ケプラーの 3 つの法則は今日なお、大学の物理と天文学のクラスで教えられ、 これらの法則の言葉遣いは 400 年前にケプラーが最初に定式化して以来、変化していない。

天体の見かけの動きは時間に関して、性質が周期的である。 ペルガのアポロニウス (BC 3 世紀) にこの周期的変動は、 小さな円形の軌道ないしは周転円が、 大きな円形の軌道ないしは従円の上で回転することにより、 視覚的に表示できることに気づいた。 ヒッパルコス (BC 2 世紀) は必要とされる軌道を計算した。 古代モデルの従円と周転円は現代の意味の軌道を表示しておらず、 むしろ円形の通り道の複雑なセットであり、 この円形の通り道の中心は天体の観測された動きを近似するために特別な距離で分離されている。

クラウディオス・プトレマイオスは従円 - 周転円の概念を改善し、 惑星の速度変動を説明する仕組みとしてエカント (equant) を導入した。 彼が開発した実験的な方法論は当時としては並外れて正確であることが判明し、 コペルニクスとケプラーの時代になお使用されていた。 太陽中心モデルは 厳密に円軌道を考えれば、 天体の動きを追跡・予測するシステムとしては、 地球中心モデルよりも、必ずしもより正確ではない。 太陽中心システムは参照点のシフトの補償のためにもっと入り組んだシステムを要求する。 ケプラーの楕円軌道の提案で始めて、このようなシステムが 単純な周転円の地球中心モデルよりもますます正確になった。

コペルニクス的宇宙の基本的単純性 トーマス・ディッグスの本から

オーウェン・ギンガリッチ ( OWen Gingerich) は、 1504 年に発生し、 コペルニクスによって観測されたと思われる 惑星の合 (conjunction) を記述している。 アルフォンソ天文表の写しと共に装丁されたメモで、コペルニクスが 論評していることは、 「火星は 2 度以上で数値を越え、土星は 1.5 度で数値を越えている。」 ギンガリッチにより、現代の計算機プログラムで発見されたたことは、 合 (conjunction) の時に、土星は実際 表に 1.5 度遅れ、火星は 2 度近く予測を越えていた。 それどころか、彼は、プトレマイオスの木星の同時期の予測は極めて正確であることに気が付いた。 コペルニクスと彼の同時代の人は、従ってプトレマイオスの元々の本の出版後、 はるかに 1000 年以上たった後でも、プトレマイオスの方法を使用し、 信頼できることに気が付いた。

コペルニクスが地球に基礎を置く観測を太陽を中心にする座標に変換した時、 彼は全く新しい問題に直面した。 太陽を中心にした位置は時間に関して周期的な動きを見せ、 外惑星 (outerplanet) の場合の逆転ループがない。 原理的には太陽中心の動きは単純であるが、まだ未発見の楕円軌道によって 新しい微妙な点がある。 別の複雑な事態はコペルニクスが決して解決しなかった問題により起きている : 座標変換で地球の動きを正確に説明すること。 過去の実践を保持して、コペルニクスは彼の理論に従円/周転円を使用したが、 彼の周転円 (epicyle) は小さく、小周転円 ("epicyclets") と呼ばれた。

プトレマイオスのシステムでは、惑星モデルは各々違っており、 コペルニクスの初期のモデルでもそうであった。 しかしながら、彼が数学で作業するにつれ、コペルニクスは彼のシステムが 統一されたシステムに結合できることに気が付いた。 更に、地球の軌道がどれも同じになるように、これを拡大・縮小すれば、 今日、我々が認識する惑星の順番は簡単に数学から得られた。 水星は太陽に最も近い軌道を周り、残りの惑星は、 回転周期により距離で揃えると、外側に向かって順番に定位置にきまる。

コペルニクスのモデルは周転円の大きさを随分小さくしたが、 これがプトレマイオスのものより単純であるか否かは、議論の余地がある。 コペルニクスはプトレマイオスの少々有害なエカント (equant) を削除したが、 周転円を追加する代償があった。 プトレマイオスとコペルニクスに基づいた色々な 16 世紀の本はおよそ同じ個数の周転円を使用する。 コペルニクスが彼のシステムで、たった 34 個の周転円しか使用しないアイデアは「注釈」(Commentariolus)と呼ばれる 未出版の準備的スケッチでの彼の記述に由来する。 彼が 天球の回転についてを出版するまでに、彼はもっと円を追加した。 全体の数を数えることは困難であるが、彼は同様に複雑な、あるいは更に複雑なシステムを 創ったとされている。 ケストラーは、彼の「人類の宇宙展望の歴史」で、コペルニクスの使用した周転円の数を 48 個にした。 プトレマイオス的システムでは通俗的には全部でおよそ 80 個の円が 1898 年に登場したようである。 これは ジローラモ・フラカストロの非プトレマイオス・システムに触発されたかもしれない、 彼は クニドスのエウドクソスにより触発された彼のシステムで 77 個あるいは 79 個の円 (orb) を使用した。 コペルニクスは彼の本で、プトレマイオス的システムで使用される周転円の個数を過大視した; 元々の個数は 80 個の範囲であったが、コペルニクスの時代までにプトレマイオス的システムは プールバッハ (Peurbach) により 40 個程度に更新されていた; 従って、コペルニクスは事実上、逆行問題を更なる周転円で置き換えた。

コペルニクスの理論はプトレマイオスのものと同程度正確であったが、 プトレマイオスの理論と名声を達成しなかった。 必要であったのは、ケプラーの楕円軌道の理論であり、これは 1609 年と 1619 年まで出版されなかった。 コペルニクスの本は逆行問題のような現象の説明を提供したが、 惑星が本当に太陽をまわる軌道を動くことを、実際には証明しなかった。

従円 (deferent, O) は地球 (T) からのオフセット。 P は太陽 S の周転円の中心。

プトレマイオスとコペルニクスの理論は、 惑星運動表示のための従円/周転円の仕組みの永続性・順応性を示した。 従円/周転円のモデルは太陽系の並外れた軌道の安定性から、 実際にうまく動作した。 ゴットフリート・ヴィルヘルム・ライプニッツと アイザック・ニュートンが微積分を発明しなければ、 どちらの理論も今日使用されていたことであろう。

マイモニデス (Maimonides) によれば、現在は失われている、12 世紀の アンダルス (Andalusian Spain) の イブン・バーッジャ (Ibn Bajjah) の天文システムには周転円がなかった。 14 世紀フランスの ゲルソニデス (Gersonides) も観測にそぐわないと議論して、周転円を取り除いた。 これらの代替モデルにもかかわらず、 周転円は 17 世紀に至るまで取り除かれることがなく、 この時 ヨハネス・ケプラーの楕円軌道のモデルが、完全円に基づくコペルニクスの モデルに徐々に取って代わった。

ニュートン力学、あるいは 古典力学は従円/周転円の方法の必要性を完全に削除し、 もっと正確な論理を作った。 太陽と惑星を点質量 (point masses) として扱い、 ニュートンの 万有引力の法則を使用すれば、 運動方程式が得られ、これを色々な方法で解法して、 惑星の軌道速度・位置を決定できる。 例えば、もしも単純な 2 体問題として近似すれば解析的に解法でき、 もっと現実的な 多体問題は解法に数値方法 ( numerical method) が要求される。

軌道力学の問題解法のニュートン力学の力は 海王星の発見により説明される。 冥王星の軌道で観測される摂動 (perturbation) の解析から、疑わしい惑星の位置の評価が 1 度以内でわかり、 ここから惑星が見つかった。 これは従円/周転円の方法では達成されなかった。 それにもかかわらずニュートンは 1702 年に、 「月の動きの理論」 (Theory of the Moon's Motion) を出版し、 これは、従円/周転円を採用し、 19 世紀まで中国で使用され続けた。 ニュートンのこの本に基づくその後の表は角度の分の精度に近づくことになった。

天文学史の思想の一学派によると、元々のプトレマイオスのシステムの小さな欠陥は、 時間と共に累積される観測を通じて発見された。 より多段階の周転円 (円内部の円) がモデルに追加されたのは、観測される惑星運動にもっと正確に 適合するためであると間違えて信じられた。 周転円の増加により、16 世紀までに、ほとんど作業できないシステムとなったと思われ、 コペルニクスは彼の時代のプトレマイオスの天文学を単純化するために、 彼の太陽中心システムを作り、これは劇的に円の数を削減することに成功した。

複雑さの尺度として、円の個数はプトレマイオスの場合は 80 個で、コペルニクスの場合はたった 34 個 であった。 最も多い個数は 1960 年代の天文学に関しての ブリタニカ百科事典で、 13 世紀の カステーリャ王アルフォンソ 10 世のための議論で登場した。 (アルフォンソ 10 世は アルフォンソ天文表の作成依頼をしたとされている。)

結局の所、この「周転円の上の周転円」 (epicycle-on-epicycles) の理論の主な困難さは、 中世からルネッサンスに至るプトレマイオス的天文学の本を調べる歴史家は、 各惑星ごとに使用される複数の周転円の痕跡に絶対に遭遇しなかったことである。 例えば、アルフォンソ天文表は明らかにプトレマイオスの簡素な方法を使用して計算されていた。

別の問題には、モデル自身による操作の妨害である。 従円・周転円モデルでは全体の部分は、相互に関連している。 ある場所の適合を改善するためのパラメーターの変動は、別の場所で不適合になる。 プトレマイオスのモデルは恐らくこの観点で最適である。 全体では、これらは良好な結果を与えるが、あちこちで少々的を外す。 経験を積んだ天文学者はこの欠点を認めて許容した。

事実、プトレマイオスのアルマゲストでは、太陽には一個の円、 月には 3 個の円があり、 後者は従円、一個の周転円、内部に小さな円 あるいは 小周転円 (epicylet) がある。 各外惑星 (outer planet) には 4 個ある: 従円, 周転円, エカント (equant), そして緯度輪 (latitude wheel) がある。 金星は外惑星 (outer planet) よりも、もう 2 つ緯度輪 (latitude wheel) があり、従って 6 個ある。 水星は金星の円のすべてと、これに加え周転円があり、全部で 7 個ある。 もしも、恒星の球面 (sphere) と春分・秋分の歳差運動 (precession) を説明する別の球面 (sphere) を 含めると円と球面の全ての数は 31 個になる。

科学史のノーウッド・ラッセル ハンソン (Norwood Russell Hanson) によると

任意のパス (path, 通り道) ―― 周期的であるにせよ、そうでないにせよ、 閉じているにせよ、そうでないにせよ ―― は、無限個の周転円で表示できる。 これは周転円が 1 つの複素 フーリエ級数として表示できるからで、 従って、 とても複雑なパスも、多数の周転円により、複素平面上で表示できる。

複素数を

とする。但し a₀, k₀ は定数、 は虚数単位、t は時間とし、 これが複素平面の原点を中心とする従円に対応し、半径 a₀ と角速度

で回転する。但し T は周期である。

もしも z₁ が周転円のパスであれば、従円と周転円の合成は次の和で表示される。

これは 概周期関数 (almost periodic function) で、定数 k_j の比が有理数の時のみ 周期関数である。 N 個の周転円に拡張して概周期関数を得る :

これは、各 k_j の組が有理的に関連している時のみ周期的である。 複素平面における時間依存のパス (path) z = f(t) を表示するように係数 a_j を 見つけることが従円と周転円を持つ軌道再生の目的であり、 これが「現象の保存」("saving the phenomena" (σώζειν τα φαινόμενα)) の方法である。

この類似が ジョヴァンニ・スキアパレッリにより注意されている。 「現象の保存」(saving the phenomena) 対「説明の提供」(offering explanation) に関しての コペルニクス的転回 (Copernican Revolution) の議論に関連して、 何故 トマス・アクィナスが 13 世紀に次のように書いているかを理解できる。

従円と周転円のモデルは、コペルニクス的宇宙の例外を除き、 大半の場合には地球中心モデルを正当化するために使用されたモデルで、 ケプラーとガリレオが提案した太陽中心の考えよりも好まれた。 後に、周転円モデルの採用者には、 ティコ・ブラーエのように彼のモデルを創設する時に 聖書の言葉を考え、更にもっと好意的に見なされた。 ティコのモデルは地球中心の性質と、太陽中心の性質を併せ持つハイ・ブリッド・モデルで、 太陽と月が、静止した地球を周回し、惑星が太陽の周りの軌道を周回した。 ブラーエには周回・移動する地球は不可能で、聖書は常に最高で、尊敬すべきであった。 ガリレオがティコ・ブラーエのシステムに異議を唱えた時、教会は彼らの観点が異議を唱えられたことに不満を抱いた。 ガリレオの出版は裁判での彼の助けにはならなかった。

「周転円の追加」 ("Adding epicycles") は現代科学の議論で誹謗中傷のコメントとして使用されるようになった。 この用語が使用されることがあるのは、例えば予測が事実と適合するように、 理論を調整し続けることを述べる。 測定がもっと正確になるにつれ、プトレマイオスのシステムに気づかれた増大するエラー ―― とりわけ火星 ―― を緩和するために、余剰の周転円が発明されたことは、一般に受け入れられた考えである。 この考えによれば、周転円は、ある人によれば「悪しき科学」 (bad science) の典型的な実例と見なされる。

コペルニクスは惑星に余分の周転円を追加したが、プトレマイオスのエカント (equant) を削除する努力のためのみであり、 彼はエカントをアリストテレスの天空の完全性からの哲学的離反と見なしたからである。 数学的には 2 番目の周転円とエカントからはほとんど同じ結果が得られ、 ケプラー以前の多くのコペルニクス的天文学者は、数学計算が容易であったため、 エカントを使い続けた。 コペルニクスの周転円はプトレマイオスのものよりもずっと小さく、必要とされたのは、 彼のモデルが完全円で動いたからである。 ヨハネス・ケプラーが後に示したことにより惑星は楕円で動き、コペルニクスの周転円の必要性も同時に取り除いた。