以下の文書は次の前半の翻訳です。後半は前半の内容と矛盾しており、 前半の内容を信用しました。なお、「従円」 (deferent) はボイヤーの「数学の歴史 2」では「導円」と訳されています。

Deferent and epicycle - Wikipedia

以下の議論にはかなり重要な点が脱落しています。プトレマイオスによる 惑星の運行モデルはマラーゲ学派により否定され、 トゥースィーはエカントの代理物として「トゥースィーの対円」を導入しており、 コペルニクスはこれを使用しています。(マラーゲ天文台を参照のこと)

プトレマイオスの天文体系では 周転円 (epicycle、ギリシャ語で「円上」(on the cycle) の意味) は月、太陽そして惑星の見かけ上の速度と方向の変化を 説明するために使用される幾何学モデルであった。 これを最初に提案したのは、紀元前 3 世紀の ペルガのアポロニウス であり、 AD 2 世紀に テバイス (Thebaid) の プトレマイオスが天文学の本である アルマゲスト において 定式化した。 特に、これはその時知られていた 5 つの惑星の 逆行を説明した。 第二に、これは惑星の地球からの見かけ上の距離の変化も示した。

これはギリシャの天文学者のプトレマイオスにちなみ、 「プトレマイオスのもの」(Ptolemaic) とされてはいるが、 それ以前の天文学者である、ペルガのアポロニウスや ヒッパルコスなどによって発展されたものであり、 彼らはプトレマイオスよりも、ほとんど 5 世紀も前に広範囲に 使用していた。 周転円の動きは アンティキティラ島の機械 に使用されている。この機械は 4 つの歯車を使用して 月の相と位置を計算するための古代ギリシャの天文装置である。 4 つの歯車のうち 2 つの歯車は中心がずれた位置に設定され、 ケプラーの第 2 法則 -- 月は近日点で速くなり、遠日点で遅くなる -- を精密に近似している。

プトレマイオスの体系で仮定されることは 惑星は周転円と呼ばれる小さな円を動き、 更にこの円は従円 (deferent) と呼ばれる大きな円に沿って動く。 どちらの円も東に回転し、太陽の軌道 (黄道) の面に ほぼ平行である。 この体系における惑星の軌道は 外トロコイド (epitrochoids) と呼ばれる。

プトレマイオスの体系は、 地球中心説とみなされているが、 惑星の動きは実際には地球を中心にしたものではなかった。 従円は地球と、エカント (equant) と呼ばれる点の 中央の点を中心にしていた。 一方、周転円は一定の動きで、 従円に沿って回転する。 惑星が周転円の上を動く度合は固定されており、 惑星の周転円のまわりの角度は 地球と太陽の角度と全く同じなのである。

プトレマイオスの天文学の基本要素
周転円は小さい点線の円、従円は大きい点線の円
大きな黒い点がエカント

プトレマイオスは、アルマゲストの中で 惑星の従円の相対的な大きさを予測していない。 彼の計算はすべて、標準化された従円に関して なされている。 これは、彼が惑星が等距離にあると 信じたことを示すものではない。 彼は惑星の順番を憶測している。 後になって、彼は「惑星仮説」(Planetary Hypotheses) の中で (惑星の) 距離を計算している。

外惑星 (superior planets) に 関しては、惑星は典型的には夜空を星よりは遅く移動する。 毎晩、惑星は星よりも少し遅れる。これは 順行と呼ばれる。 ときどき、 衝 (opposition) の近くで、 惑星は夜空を星よりも早く動くように見える。 これは 逆行 (retrograde) である。 プトレマイオスのモデルは、部分的には この動きを説明するためのものである。

内惑星は常に太陽の近くに観測され、 日の出のすぐ前か、日の出のすぐ後に登場する。 これに適応するためにプトレマイオスのモデルでは水星と金星の動きを固定し、 エカントから周転円の中心に至る直線は常に、地球 - 太陽 の直線に平行となる。

古代の天文学者が空を見る時に、太陽、月そして星は頭上に普通に動いている。 彼らは「さまよえる者」あるいは「planetai」 (現代の 惑星、planet) も見た。 さまよえる天体の動きの規則性は位置が予測できることを示唆した。

問題に対してのもっとも明らかな取り組みは、 惑星の位置を単に星図に写し、そのあとで変化する位置を 数学関数にあてはめることである。

古代人は地球を中心とする観点から仕事をしていたが、 これは単に地球が彼らの居る場所で、 ここから空を観測したという理由からである。 動くように見えたのは空であり、 大地は足もとで動くことも動揺することもなかったのである。

何人かのギリシャの天文学者 (例えばアリスタルコス) は 惑星 (これには地球が含まれる) は太陽の周りをまわっていると 憶測している。 しかし、太陽中心説に決定的なデータを提供する光学器械 (そして特別な数学 - 例えばニュートンの万有引力の法則もこれに含まれる) はプトレマイオスの時代には存在しなかったし、 彼の死後 1500 年以上もの間利用できなかったのである。

更にはアリストテレスの物理学はこのような計算を想定して 考案されているわけではないし、 アリストテレスの宇宙に対する哲学は太陽中心説の概念と全くちぐはぐなのである。

ガリレオ・ガリレー が 1610 年 1 月 7 日に木星の衛星を観測し、 1610 年 9 月に金星の相を観測して始めて、 太陽中心説が天文学者の中に幅広い支持を集め始めたのである。 天文学者は惑星は太陽をまわる固有の世界 (すなわち地球は惑星であり、 幾つかの惑星の一つ) であるという概念を受け入れ始めたのである。

望遠鏡が天文学に与えた影響は急速であり、論争を引き起こし、 そして深遠であった。 ケプラーは有名な「惑星に関しての 3 法則」を定式化でき、 これは信じられない精度で太陽系の惑星軌道を記述したのである。

ケプラーの 3 法則は今日では大学の物理学と天文学の講義で、 今なお教えられているものであり、これらの法則の言い回しは ケプラーが 400 年前に始めて定式化して以来変化していないのである。

時間に関しての天体の見かけの動きは本質的に周期的である。 アポロニウスが気が付いたことは、 この周期運動が視覚的には円あるいは周転円 (小さい円軌道) が大きな円あるいは従円の上で回転することで表現できることであった。 従円と周転円は現代の意味における軌道を表しているわけではない。 古代人は軌道を知らなかったのである。

プトレマイオスは従円/周転円の概念を精選し、 惑星の運行における速度の変更の理由のメカニズムを導入したのである。 彼が発展させた、経験に頼る方法論は、当時としては 極めて正確でコペルニクスやケプラーの時代にも利用されていた。

Owen Gingerich は 1504 年に起きた惑星が一列に並ぶ現象 (planetary conjunction) を記述している。 コペルニクスは明らかにこれを観測している。 コペルニクスの一冊の アルフォンソ天文表 ( Alfonsine Tables) の注釈には次のように書かれている。 「火星は 2° 以上越えている。土星は 1.5° も遅れている」。 現代の計算機プログラムを駆使して、Gingerich が発見したことは 惑星が一列に並んだ時に、土星は表より確かに 1.5° 遅れており、 火星は予測より 2° 早いことであった。 更に彼が発見したことは木星に関してのプトレマイオスの予測が極めて正確で あることであった。

コペルニクスとその同世代の人たちは、従ってプトレマイオスの方法を使用し、 プトレマイオスの元々の本が出版された後 1000 年以上経過しても 信頼できるとしていたのである。

コペルニクスが地球を基礎に置く観測から太陽を中心とする座標に変更した時、 彼は全く新しい問題に直面した。 太陽を中心とした位置では時間に関して円運動を表示し、外惑星の場合には逆行がない。 本質的には太陽を中心とする動きは単純ではあったが、 まだ未発見の「軌道が楕円であること」から新たな些細な問題を抱えていた。 別の紛糾した事情がコペルニクスが決して解くことができなかった問題から起きている： 座標変換における地球の動きの正しい説明。 コペルニクスは過去の実践を踏まえ、理論では従円/周転円を使用した。 しかし、彼の周転円 (epicycle) は小さく、小周転円 (epicyclet) と呼ばれた。

プトレマイオスの体系では各惑星のモデルは異なっており、 コペルニクスの初期のモデルに関しても事情は同じであった。 しかしながら、数学を使用していくうちに、 コペルニクスは統一した体系にまとめることができることに気が付いた。 それどころか、もしも地球の軌道が (各惑星ごとに) 同じであれば、 我々が今日理解する惑星の順番は簡単な数学の結果であった。 水星の軌道が太陽に最も近く、それ以外の惑星は、回転の周期により 外側に順に場所が決まって行った。

コペルニクスのモデルは周転円の問題を随分と軽減したが、 プトレマイオスのモデルよりも単純であるか否かに関しては議論の余地がある。 コペルニクスはプトレマイオスの幾分か有害なエカントを取り除いたが、 更に余分のエカントを導入した。 プトレマイオスとコペルニクスにもとづく 16 世紀の色々な本はおよそ同じ数の 周転円を使用していた。 コペルニクスが彼の体系でわずかに 34 個の円しか使用しなかったことは Commentariolus と呼ばれる未出版の原稿からきていることである。 彼が 天球の回転について (De revolutionibus orbium coelestium) を出版するまでに彼はより多くの円を加えている。 すべての数を数えることは困難であるが彼は (プトレマイオスと) 同じくらい複雑な体系、 ひょっとするとそれよりも複雑な体系を作ったと評価されている。 プトレマイオスの体系でおよそ 80 個もの円を使う通俗的な方法が 1898 年に登場している。 これは ジローラモ・フラカストロ (Girolamo Fracastoro) による非プトレマイオスの体系によって影響されているかもしれない。 ジローラモ・フラカストロは エウドクソス (Eudoxus of Cnidus) に触発されて、77 もしくは 79 の球 (orb) を使用している。

コペルニクスの理論は少なくともプトレマイオスの理論と同程度に正確であったが、 プトレマイオスの理論と同様な社会的地位を確保したわけではない。 必要とされたのはケプラーによる楕円理論であり、 これは 1609 年までは出版されることがなかった。 コペルニクスの本は逆行の現象の説明を提供したが、惑星が実際に太陽の周りをまわっていることを 証明したのではなかった。

プトレマイオスとコペルニクスの理論から、惑星の運行の表示において 従円/周転円の道具が耐久性があり、適応性があることが分かった。 アイザック・ニュートンが物理学と微積分を発明しなければ、 どちらの理論も今日でも使用されていたかも知れない。

周転円を使用しない最初の惑星モデルは、 12 世紀の スペイン・ アンダルシア地方の の イブン・バーッジャ (Ibn Bajjah, アヴェンパーケ(Avempace)) である。 しかし、周転円はヨーロッパでは 17 世紀に至るまで消滅することがなかった。 このとき ケプラーの楕円軌道のモデルが次第に完全円にもとづくコペルニクスのモデルに取って代わって行ったのである。

ニュートンあるいは 古典力学 は従円/周転円の方法を全く排除し、何倍も強力な理論を作りあげたのである。 太陽と惑星を点とみなし、ニュートンの 万有引力の法則を使用すれば、 運動方程式が得られ、これにより色々な方法で、惑星の軌道の速度および位置の予測を計算することが可能となったのである。 例えば単純な 2 体問題 は解析的に解くことができる。 もっと複雑な n 体問題 は解法に数値的な方法が必要となる。

従円、周転円の考えでどれほど正確に惑星の軌道を近似できるかを考えてみます。 あんまり複雑なことは考えません。 話を簡単にするために太陽系は平面の上にあるとします。

最初に太陽について考えます。 太陽を中心とする (平面上の) 直交座標系を固定し、時間 t における地球 E の位置を次のようにベクトル表示します。

地球を中心とした座標系で考えれば太陽はどう見えるのでしょうか。 地球は動いていますが、平行移動 (-x(t), -y(t)) を施せば座標原点となります。 地球を中心とする座標系は時間と共に動きますが、そこにおける太陽の座標は単に次のようになります。

つまり、太陽を中心とした座標系の地球の軌道を原点対称に写した図形が、 地球を中心とした座標系における太陽の動きなのです。地球は太陽を東まわりに進みますが、 原点対称に写せば、その図形も東まわりとなります。

従円、周転円で処理したいことに次の 2 点があります。

地球と太陽だけを考えれば、近地点／遠地点での速度の違いだけが問題となります。 このとき、 地球を中心にして描けば図は次のようになります。

D が地球で、E がエカント、C が従円の中心で、G を中心とする円が周転円で、F が太陽です。 もしも A が遠地点で、B が近地点であれば、GF は AB と常に平行でないといけません。 だから、CEFG が平行四辺形の状態で太陽 F が地球を回っていることになります。 (G は C を中心にして等角運動をすると考える。) このようにするのは、遠地点での速度が近地点の速度より遅くようにすることですから、 一応、地球から見た時の、遠地点／近地点の速度差のみを問題とすればなんとか近似できそうです。 但し、中間の地点に関してはどうなるかわかりません。

それでは、惑星はどうなるのでしょうか。 太陽を中心とする (平面上の) 直交座標系において、時間 t に対する惑星の位置を次のようにベクトル表示します。

これは円 (正確には楕円) となります。地球を中心とした座標系 (これは時間と共に動く) での表示に変換するには、単に (-x(t), -y(t)) 平行移動させるだけですから、地球上から見た場合に惑星の動きは次のベクトルで与えられます。

つまり、惑星は基本的には (X(t), Y(t)) で与えられる動きに、(-x(t), -y(t)) の動きを重ねたものです。 (X(t), Y(t)) は太陽の周りの惑星の軌道を表していますから正確には楕円で、 (-x(t), -y(t)) は太陽の周りの地球の軌道の原点対称の図ですから、これも楕円です。 話を単純にするために両方とも円とします。 そうすると、(X(t), Y(t)) の描く図形が従円で、(-x(t), -y(t)) の描く図形が周転円と考えればよいことになります。 従って、周転円の半径が地球の軌道半径に等しく、惑星が周転円をまわる周期が 1 年となります。

困ることになったことになりました。 惑星の近地点／遠地点における速度差を真似をするために、周転円を入れないと いけないのですが、地球からの見かけの動きを真似するために、 もう一つ周転円をいれないといけなくなります。 プトレマイオスに関してはどうなっているのか知りませんが、 アリヤバータもブラーマグプタもこの 2 重の周転円を使用しています。 これは次の本に載っています。

B.L. van der Waerden, Geometry and Algebra in Ancient Civilizations, Springer-Verlag, 1983
(ファン・デル・ヴェルデン、古代文明の数学、日本評論社)

ファン・デル・ヴェルデンの本には、上の図に更に F を中心とする大きな円があり、 惑星はこの周転円の上を動くとしています。(周転円の上に更に周転円が載っている。) これはアリヤバータやブラーマグプタによる金星の運行の説明のようです。

F を中心とする周転円は内惑星の場合には大きすぎて、絵が描けません。 F を中心とする周転円の半径は地球の軌道半径に等しく、 金星の運行を説明するのであれば、C を中心とする従円は金星の軌道半径に等しく、 この円の半径より、はるかに大きいのです。

一個の周転円しか使用しないのであれば、どこかで矛盾が出そうです。 しかし、実際には円ではなく楕円であることに気が付かないと、モデルは単純にはなりません。 天動説が地動説に変化するぐらいでは、劇的な変化が起きないのです。