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Gridiron pendulum - Wikipedia

振り子時計は「振り子の等時性」により、非常に精度が高いのですが、 「振り子の等時性」 は振り子の長さに依存するため、 温度差による振り子の長さの微小な変化があると時間が狂います。(これはどの振り子時計にもあてはまります。) これを補正するのが「すのこ型振り子」です。

すのこ型振り子は温度補正した時計の振り子で、1726 年頃に英国の 時計製造家のジョン・ハリソンにより発明された。 これは精密時計に使用された。 普通の時計の振り子では、振り子の棒は温度変化で拡張・縮小する。 振り子の振幅周期はその長さに依存し、 振り子時計の速度は周囲の気温変化で変動し、 計時機能が不規則になる。 すのこ型振り子を構成するのは、 異なる熱膨張率を持つ 2 つの金属 ―― 例えば鋼と真鍮 ―― の 交互に平行な棒である。 複数の棒は、枠組みにより結び付けられ、 異なる熱膨張 (縮小) が互いに補って、振り子全体の長さ ―― 従って周期 ―― が温度変化の下で一定のままとなる。

5 本の棒がある すのこ型振り子を持つ壁時計

すのこ型振り子は産業革命時代に振り子時計 ―― とりわけ工場、実験室、事務所、鉄道駅、郵便局で 仕事のスケジュールの設定と他の時計を合わせるための精密標準時計として ―― 使用された。 すのこ振り子が精密計時装置と密接に関連したため、 20 世紀の変わり目までに、多くの時計には温度補償をしない偽物のすのこ振り子があった。

すのこ型振り子の建造は高熱膨張 (亜鉛あるいは真鍮) の棒が膨張する時に 振り子を短くし、低膨張の鋼が振り子を長くするようにする。 正確な長さの比率を使用することにより、亜鉛や真鍮の棒のより大きな膨張が、 鋼の棒の低膨張を正確に補償し、振り子は温度が変化しても同じ長さのまゝである。

5 本の棒がある 亜鉛・鋼すのこ	9 本の棒がある 真鍮・鋼すのこ	亜鉛・鋼の同軸チューブがあるチューブ版	エリコット (Ellicott) 振り子、別のバージョン

すのこ振り子の最も単純な形式は 1750 年頃にハリソン の改良として、 ジョン・スミートン (John Smeaton) が導入し、5 本の棒から構成され、3 本が鋼、2 本が亜鉛であった。 中央の鋼の棒は重りからサスペンション旋回軸 (suspension pivot) まで駆け上がった。

A: 外見図、 B : 常温、C : 高温 (黄:亜鉛 (高膨張)、青: 鉄(低膨張))

この地点で、横木 (中間ブリッジ (middle bridge)) が中央の棒から延びて、 2 本の亜鉛の棒 ―― 中央の棒の両側に 1 つづつある ―― に接続し、 重りのすぐ上にある基底ブリッジ (bottom bridge) に到達し、 ここに固定される。 基底ブリッジは中央の棒を飛び越えて、更に遠くの鋼の棒に接続し、 これはサスペンションに取り付けられた一番上のブリッジまで駆け上る。 鋼の棒が熱で拡張すると、 基底ブリッジはサスペンションに相対的に落下し、 重りは中間ブリッジに相対的に落下する。 しかしながら、中間ブリッジは基底ブリッジに相対的に持ち上がる、 というのは亜鉛の棒のより大きな拡張が中間ブリッジを上に押し、従って重りを上に押す。 これは拡張する鋼による落下との結合に匹敵する。

単純な言葉では、亜鉛の上方拡張は (より大きな全長を持つ) 鋼の結合拡張に対抗する。 棒の長さが計算されるのは、 亜鉛の棒の有効長に亜鉛の熱膨張率を掛けたものが、 鋼の棒の有効長に鋼の熱膨張率を掛けたものに等しく、 これにより、振り子を同じ長さに保全しているからである。

ハリソンの元々の振り子は真鍮の棒を使用した (純粋は亜鉛は当時利用可能でなかった); これにより、もっと多くの棒が必要となった、 というのは真鍮は亜鉛ほど膨張しないからであった。 1 本の高膨張の棒の代わりに、2 本が両側に必要で、全部で 9 本が必要となり、 5 本が鋼で、4 本が真鍮であった。 補償の正確な度合いは、中央の棒の断面により調節し、これは部分的に真鍮で、部分的に鋼であった。 これらは (サンドイッチのように) 重なり、どちらの金属も通り抜けるピンにより結び合わされる。 ピンのための穴がどちらの部分にも作られ、 ピンを上下に棒で移動して、結合した棒の幾つを真鍮に、幾つを鋼にするかを変更する。

19 世紀末にデント社 (Dent company) は亜鉛のすのこ型振り子のチューブ版 (tubular version) を 開発した。これは 4 つの外側の棒が 2 本の同軸のチューブで交換され、 この 2 本のチューブはチューブ状のナット (nut) で接続され、ねじ上げたり、下げたりして 補償の程度を変更した。

1730 年代に、時計製造家のジョン・エリコット (John Ellicott) がデザインしたバージョンは 3 つの棒しか必要でなく、 2 本が真鍮で、1 本が鋼であった (絵を参照)。 これでは真鍮の棒が、上昇する温度でレバーを押し、これが重りを持ち上げた。 エリコット (Ellicott) の振り子は、多く使用されなかった。

1800 年代の科学者はすのこ型振り子は最も高精度の時計に不適切な不利な点が あることに気が付いていた。 枠組みの穴をスライドする棒の摩擦は、 温度変化の対応に、滑らかな動きではなく、一連の小さなジャンプを誘導した。 これにより、振り子 ―― 従って時計 ―― の速度は、ジャンプのたびに突然に変化した。 後に亜鉛は寸法的にとても安定していないことが判明した、 クリープ (creep) しやすいのである。 従って、 ジョージ・グラハム により 1721 年に発明された別の温度補償振り子 ―― 水銀振り子 ―― が最も高精度な振り子に使用された。

1900 年までに、最高精度の天文標準時計 (regular clock) は インバー (invar) や 石英ガラス (fused quartz) のような 低い熱膨張資材の振り子を使用した。

すべての物質は温度の上昇で膨張し、 補償されていない振り子棒は温度上昇で長くなって、時計が遅れる原因となり、 温度下降で短くなって、時計が進む原因となる。 この量は構成する材質の 熱膨張率 (CTE) α に依存する。 CTE は通常、ppm/°C (摂氏 1 度当たりの ppm (百万分率)) で与えられる。 もしも棒がある標準温度 θ₀ で長さが L であれば、 温度の関数としての棒の長さは:

もしも ΔL = L(θ) - L、Δθ = θ - θ₀ とすれば、 温度変化 Δθ で起きる膨張率 α の長さ L の棒の 拡大・縮小は :

振り子の振動周期 (右振幅と左振幅の間の時間) T は次で与えられる :

温度変化 Δθ による長さ変化 ΔL は周期の変化 ΔT を引き起こす。 膨張係数は非常に小さいので、温度による長さ変化はとても小さく (ppm)、 従って ΔT ＜＜T となり、周期の変化は線形関数として一次のオーダーで近似できる。

等式 (1) を代入すれば、温度変化 Δθ で誘導される振り子周期の変化は

従って、補償されていない振り子の周期の分数変化 (fractional change) は 膨張係数と温度変化の積の半分に等しい。

鋼の CTE は 11.5 ppm/°C であり、 従って、鋼の棒を持つ振り子の熱エラー率 (thermal error rate) は 1 日当たり 5.7 ppm、あるいは 1 日 1°C あたり 0.5秒 (1 日 1°F あたり 0.9 秒) である。 1900 年より以前には、大半の建物には暖房がなく、 ヨーロッパと北米のような温暖な気候ではおよそ 14°C (25°F) の 冬/夏 の気候変動があり、 1 日当たり 6.8 秒のエラー率があった。

これは小さなエラーのように思えるが、留意すべき点は、 振り子時計は列車をスケジュールに合わせる厳格な仕事に使用される 最上位の標準で、 大都市の外では標準的な時間がなく、時計を正確な時刻に合わせることは困難な作業であった。 太陽や星の頭上通過の正確な時刻の観測には、子午線望遠鏡装置 (transit telescope instrument, 子午儀) が必要で、 次に年鑑の表を参照して、時計の設定時刻を決定した。 従って田舎の時計は典型的には時刻合わせの間に、長期間稼働する必要があった。 1 日 6.8 秒の温度エラーは 6 ヶ月の間に 21 分のエラーに集積した。

木材の CTE は 4.9 ppm/°C で小さく、 木の棒の熱エラーは 1 日で 1°C あたり 0.21 秒、 あるいは 14°C の季節変動で 1 日あたり 2.9 秒 ([訳注 = 0.21×14]) でより小さく、 高品質の家庭用時計にはしばしば木製の振り子の棒が使用される。 木材はニスを塗って、大気から保護する必要がある、というのは湿度も長さを変更するからである。

すのこ型振り子は対称で、2 つの同一な吊り下げ棒の結合があり、 各々各側にあって、旋回軸から重りを吊り下げている。 各吊り下げ列の中で、振り子の長さ L の全変化は構成する棒の変化の 総計に等しい。 温度上昇で、各側の高膨張棒は振り子の重りを持ち上げ、 逆向きに低膨張棒を押し下げる。 従って、長さの変動全体は、この 2 つの変動の差である。

(1) から、温度変化 Δθ によるすのこ型振り子の長さ変化 ΔL は

但し Σ L_low は低膨張 (鋼) の棒全ての長さの総計で、 Σ L_high は重りから旋回軸までの吊り下げ列にある高膨張棒の長さの総計である。 温度により。長さの変動が 0 である条件は

言い換えると、棒の長さ全ての比率は 2 つの金属の熱膨張率の比率の逆に等しい。 個々の棒の長さを計算するために、 この等式を等式 (2) と共に解けば、正確な周期 T に 必要な振り子の全長が与えられる。

すのこ型振り子を持つ精密振り子時計の大半は 「秒振り子」 (seconds pendulum) を使用し、これは周期が 2 秒であった。 「秒振り子」の長さは L = 0.9936 メートル (39.12 インチ) であった。

普通の補償されていない振り子では、質量の大半が重りにあり、 振幅の中心は重りの中心近くにあり、旋回軸から重りの中心までの長さを L = 0.9936 にして、 振り子の周期を調節ねじで補正すれば、通常十分に正確である。 しかし、すのこ型振り子では、すのこが、振り子の質量の重要な部分を構成する。 これは 慣性モーメントを変更し、従って振幅の中心は少々上方、重りの上の すのこの中にある。 従って、振り子の全長 L は正確な周期を与えるためには少々長くなければならない。 この因子は正確に計算することが困難である。 別のささいな因子は、典型的なように、振り子の重りが振り子の棒の一番下で、ネジ (nut) で支えられていれば、 熱膨張による重心の上昇を考量しなければならない。 19 世紀の時計製造家は通常、時計製造家の名人が試行錯誤で発見したすのこ型振り子の推奨される長さを使用した。

5 本棒のすのこでは、両側に 1 つづつ、長さ L₂ の高膨張の棒、 その両脇に 2 つの低膨張の、長さ L₁ と長さ L₃ の棒があり、 1 つは旋回軸から L₂ の底部の支え、もう 1 つは L₂ の頂上から下がって、 重りを支える。従って、等式 (3) から、補償の条件は

枠組みに適合させるために、高膨張の棒は低膨張の棒の各々に等しいか、短くなければ いけない ―― L₁ ≧ L₂、L₃ ≧ L₂ ―― ので、 すのこを構築する幾何学的条件は

従って 5 本棒のすのこが金属で作ることができるためには、この膨張係数の比率が、2 より大か、これに等しいことである。

亜鉛の CTE は α = 26.2 ppm/°C で、 これに対して鋼の値は 11.5 で、従って、比率 α = α_hight/α_low = 2.28 [訳注: 26.2/11.5] である。 従って、亜鉛/鋼 の組み合わせは 5 本棒の振り子に使用できる。 亜鉛/鋼 のすのこの補償条件は

低い膨張係数率を持つ金属 ―― 例えば真鍮と鋼 ―― の 使用を可能にするために、吊り下げの長さのより大きな部分が、 高膨張の金属でなければならない。 従って、より高い膨張の棒と建造しなければならない。 9 本棒のすのこでは、両側の 2 本の高膨張の棒 ―― 長さ L₂ と長さ L₄ ―― の 側面に 3 本の低膨張の棒 ―― 長さ L₁、L₃ と L₄ ―― がある。 従って、等式 (3) から、補償条件は

枠組みに適合させるためには、2 本の高膨張の棒の各々は、 低膨張の棒の各々と同じか、より短くなければならないので、 建設されるための幾何学条件は

従って、9 本棒のすのこは熱膨張率の比率が 1.5 を越える金属で作ることができる。

真鍮は、およそ α = 19.3 ppm/°C (ppm per °C) の CTE があり、 比率 α_hight/α_low = 1.68 ([訳注: =19.3/11.5]) を与える。 従って、真鍮/鋼 は 5 本棒のすのこで使用できないが、9 本棒のバージョンでは使用できる。 従って、真鍮/鋼のすのこの補償条件は、上の CTE で真鍮を使用して、

教育用のためのスタンドに乗った 9 本棒の展示用の 真鍮/鋼 のすのこ