ユークリッド原論では有理数は「通約量」、無理数は「不可通約量」と 呼ばれており、第 5 巻の「比例の理論」で議論が展開されている。 以下の内容は「ユークリッド原論」の「解説」から読み取ったものです。

第 5 巻の中に、比の相等の定義があり、そこには

上のままでは何を言っているのかわかりません。ユークリッドの時代では 辺の比のようなものを数と考えているようなので

と置いてみると、

もう少し書き直してみましょう。

おわかりでしょうか、実数 α、γ が等しいのは α、γ の定める (デデキントの) 切断の上組、下組がそれぞれ等しいこととして定義されているわけです。 端的に言えば、「ユークリッド」は「デデキントの切断」で実数を定義したことになります。 ユークリッド原論の解読には「デデキントの切断」はなくてはならないものです。

無論、古代ギリシャには 0 も負の数もなく、数直線も左半分がない不十分な ものですが、現代の実数論の萌芽を読み取っていたことになります。 デデキントはユークリッド原論を読み取り、それを使用して更に「実数の連続性」 を示していますから、ここで大幅な進展をみることになります。

古代ギリシャにも実数論の芽がありましたが、これが育つにはデデキントを 待つ必要があったわけで、実に 2000 年以上の時間が必要であったことになります。

「ユークリッド原論」はそれが書かれた当時ではとても洗練されたもので あったことは疑いの余地がありません。 それが「口伝えの数学」に由来するもので、完成までに数千年を必要としたと 考えることもできるはずです。 いやむしろ、こう考えるべきだと思います。実数を「デデキントの切断」で定義することが、 一朝一夕でできたはずがないためです。

もう少し言うべきでしょう。「三平方の定理」の証明はともかく比較的に簡単にできます。 問題なのは、ここで無理数に直面することだと思います。どうすれば解決するか、 そのために「ユークリッド原論」は「平面幾何」を自己完結的に展開し、それを使用して、 数論、代数などを構築し、一番危なっかしい「実数論」を後回しにしたわけです。 このように議論を展開したのは「実数論」を先に展開すれば、非常におかしなことになる ためだと思います。

実数には実数でまた別の問題があります。 例えば 0.9999 と 1 が等しいかというような問題が生じることは「ユークリッド原論」 よりもはるかに以前に知られていたはずです。このため、論理の根拠を「実数」におくことをせずに 「平面幾何学」に置かざるを得ず、そのために「公理」のみによって平面幾何学を 展開する必要があったのでしょう。 しかし、ここまでするには数千年の歴史があったと考えるほうが正しいと思います。