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Inclined plane - Wikipedia

inclined plane を日本語に翻訳する時に 「斜面」 としたり、カナ表記して 「インクラインド・プレーン」 としたりします。 「斜面」 と訳するのは高校の物理で、「インクラインド・プレーン」 とするのは 「ケーブルカー」 を指す場合です。 以下の文章ではこのどちらもあり、翻訳が困難となるので inclined place を 「斜面 (インクラインド・プレーン)」 としています。

「斜面 (インクラインド・プレーン)」を運河に適用したものが canal inclined plane で、 これは日本語では通常は インクラインと呼ばれるものですが、辞書関連では、ほとんどすべてこれを間違えている。 インクライン/訳注:「インクライン」の用語に関しても参照のこと。

英和辞書を調べると、英語の mechanical には 「機械的」 の意味と 「力学的」 の意味が載っていますが、 英々辞書を調べると 「力学的」 の意味しか載っていません。元々の英語の 「機械」 は滑車のような 「単純機械」 を 指しているようで、「機械的」 の意味でも 「力学的」 の意味でも違いがありません。そこで、それを明示するために 「mechanical」 を 「機械的 (力学的)」 としました。 英国産業革命の時には斜面 (インクラインド・プレーン) のことは技術者達には良く知られていたのではないかと思われます。 これに関しては機械工協会を参照してください。

原文の最後の 「動力を使った時の機械的 (力学的) 利点」 は省略しました。 これは 「摩擦のない斜面 (インクラインド・プレーン」の繰り返しになります。

斜面 (インクラインド・プレーン,Inclined Plane)

斜面 (インクラインド・プレーン) はランプ (ramp) とも呼ばれ、 一定の角度で傾けられ平坦な支持面のことで、 一方の端が他方の端よりも高くなっており、負荷を昇降する助けに使用される。 斜面 (インクラインド・プレーン) はルネッサンスの科学者により定義された 6 つの古典的 単純機械の一つである。 斜面 (インクラインド・プレーン) は垂直な障害を越えて重量物を移動するのに広く使用されている; 実例には色々あり、 トラックに荷を積むために使用されるランプ (ramp)、 歩行者用のランプ (傾斜路、ramp)、 自動車や列車が登る坂道がある。

フランス、シャルトルの
モンテスコ・ホテルの車イス・ランプ
フィレンツェ、 ガリレオ博物館
の斜面(インクラインド・プレーン)

物体を斜面 (インクラインド・プレーン) で動かすには、垂直に持ち上げるよりも、 力が少なくてすむが、移動距離が増える。 斜面 (インクラインド・プレーン) の機械的 (力学的) 利点 -- 力が削減される比率 -- は [斜面の高さ:斜面の長さ] の比率に等しい。 これは、エネルギー保存法則から、 与えられた物体を持ち上げる機械的 (力学的) エネルギー ( 仕事) が 垂直に持ち上げる場合と、斜面 (インクラインド・プレーン) を利用して、 小さな力で長距離を持ち上げる場合が同じであるからである。 但し、摩擦による損失は無視をする。

摩擦角 (angle of friction) は時には安息角 (angle of repose) とも呼ばれ、 負荷が斜面 (インクラインド・プレーン) の上で摩擦により滑り落ちない最大の角度である。 この角度は表面との間の静摩擦係数 μs のアークタンジェント arctan(μs) で与えられる。

他の 2 つの単純機械がしばしば斜面 (インクラインド・プレーン) から派生していると考えられている: くさびは動く斜面 (インクラインド・プレーン) あるいは 2 つの斜面 (インクラインド・プレーン) の底面を合わせたものと見なすことができる。 ネジは細い斜面 (インクラインド・プレーン) を円筒の周りに巻いたものから構成されている。

斜面 (インクラインド・プレーン) の用語は特別な装置 -- 丘で物資を昇降させる急な山腹に切り込まれた坂道 (ramp) -- のことも意味する。 これはレールの上に車両を載せたり、ケーブルで持ち上げることもある -- 例えば ジョンズタウン・インクラインド・プレーンのようなケーブル鉄道がある。

  1. 用途
  2. 歴史
  3. 用語
  4. 摩擦のない斜面 (インクラインド・プレーン)
  5. 摩擦のある斜面 (インクラインド・プレーン)
  6. 訳注:斜面 (インクラインド・プレーン) がいつ広く知られるようになったか?
用途

斜面 (インクラインド・プレーン) はトラック、船、飛行機に物資を昇降するための積載用ランプ (loading ramp) の形で広く使用されている。 車イス用ランプ (wheelchair ramp) は車いすに乗った人が体力以上の力を使用しなくても 垂直な障壁を乗り越えることに使用される。 エスカレーターも傾けたコンベヤーベルトも斜面 (インクラインド・プレーン) を形成している。 ケーブル鉄道の場合には鉄道車両はケーブルを使用して急な坂道 (インクラインド・プレーン) を引き上げられる。 斜面 (インクラインド・プレーン) は壊れやすいもの -- これには人間が含まれる -- を斜面の法線の力を使用して重力の力を削減し、垂直距離を安全に降ろすことにも使用される。 航空機の脱出シュートは航空機の高さから人々を素早く安全に地面に到達させることができる。

ランプを使用して
トラックに車を積載
ランプを使用して
船にトラックを積載
航空機の非常用
脱出シュート
日本のバスの
車イス用ランプ
トラックの積載用ランプ

他の斜面 (インクラインド・プレーン) は恒久的な構造に組み込まれている。 車用の道路と鉄道には穏やかな坂、ランプ (ramp) の形で斜面 (インクラインド・プレーン) が組み込まれ、路面の摩擦力を失わずに車両が丘のような垂直な障害を乗り越えることができる。 同様に、歩行者用の道や側道は傾きが制限された穏やかな坂道が組み込まれ、 歩行者がすべり落ちないようにしている。 斜面 (インクラインド・プレーン) は人々が制御された状態で、滑り降りる楽しみにも使用され、 遊び場の滑り台 (slide)、ウォーター・スライダー (water slide)、スキー場のスロープ、 スケートボード・パークがある。

土砂ランプ (右)
ローマが マサダ侵入
のために AD 72 年建設
ブラジリア大統領府
歩行者用ランプ
ジョンズ・タウン・
インクラインド・プレーン

ケーブル鉄道
ビルマ公路
中国、1945 年
スケートボード・パーク
のインクラインド・プレーン
歴史

斜面 (インクラインド・プレーン) は有史以前から重いものを動かすために、 人々によって使用されてきた。 ローマのような古代文明によって建設された傾いた道路や土手道は今日まで生き延びた初期の斜面 (インクラインド・プレーン) の実例であり、丘の上に物資を移動するこの装置の利点を理解していた。 ストーンヘンジのような古代の石造構造に使用される重い石は土砂で作られた斜面 (インクラインド・プレーン) で移動して定位置に置かれたと信じられている。 もっともこのような一時的な坂道の証拠を見つけることは困難である。 包囲攻撃用ランプ (ramp) により砦の壁を乗り越えることができた。 古代のギリシャ人は、地上で船を牽引するために 6 km の長さの舗装されたランプ (ramp) -- ディオルコス -- を建設して、コリントス地峡を横断した。

しかしながら、斜面 (インクラインド・プレーン) は 6 つの古典的な 単純機械 (simple machine) の中で、機械と認められた最後のものであった。 これは恐らく、これが受動的で動かない装置 (動くのは負荷の方) であることと、 傾斜や丘の形で自然に存在するからである。 他の 5 つの 単純機械を定義した古代のギリシャの哲学者は、 重いものを持ち上げるための用途を理解していたが、斜面 (インクラインド・プレーン) を機械の中に含めなかった。 この観点は後の少数の科学者の中にも持続し、 1826 年になってもカール・フォン・ラングスドルフ (Karl von Langsdorf) が書いたことによると 「 ... は山の傾斜と同様に機械とは言えない」 とした。 斜面 (インクラインド・プレーン) で重量物を押すのに必要な力 (機械的 (力学的) 利点) を 計算する問題はギリシャの哲学者によっても試みられたが、 アレクサンドリアのヘロン (Heron、起源 10 年 - 60 年頃) と アレクサンドリアのパップス (Pappus, 起源 290 年 - 350 年頃) は間違いをした。

ルネッサンスに至るまでは斜面 (インクラインド・プレーン) は 他の単純機械のように分類されなかった。 斜面 (インクラインド・プレーン) の正しい解析は 13 世紀の謎の著作家である ヨルダヌス (Jordanus de Nemore) による著作に登場するが当時の他の学者に伝えられなかったようである。 ジェロラモ・カルダノ (Girolamo Cardano, 1570 年) は力は斜面の角度に比例するとする間違った解答を提唱した。 次いで 16 世紀末に、 3 つの正しい解答が 10 年以内に出版された; Michael Varro (1584 年)、 シモン・ステヴィン (Simon Stevin、1586 年)、 ガリレオ・ガリレイ (Galileo Galilei、1592 年)。 フランドル人の技術者であるシモン・ステヴィンの展開は最初のものではなかったが、 独創性と糸に通したビーズを使用したものである理由から最も良く知られていた。 1600 年に、イタリアの科学者であるガリレオ・ガリレイは著作 Le Meccaniche (機械学 (力学) について) の中で単純機械の解析で斜面 (インクラインド・プレーン) を含め、 力の増幅器として、他の機械に基本的に類似する点を示している。

斜面 (インクラインド・プレーン) における滑り摩擦の最初の初等的な規則は レオナルド・ダビンチ (Leonardo da Vinci, 1452 年 - 1519 年) に発見されたが、ノートの中に書かれただけで、出版されなかった。 これは ギヨーム・アモントン (Guillaume Amontons, 1699 年) によって再発見され、 シャルル-オーギュスタン・ド・クーロン (Charles-Augustin de Coulomb, 1785 年) により更に発展させられた。 レオンハルト・オイラー (Leonhard Euler) は斜面の摩擦角 (angle of repose) のタンジェントは摩擦係数に等しいことを示した。

シモン・ステヴィンの証明

1586 年にフランドル人の技術者であるシモン・ステヴィン (Simon Stevin (Stevinus)) は糸に通したビーズから、斜面 (インクラインド・プレーン) の機械的 (力学的) 利点を導き出した。 彼は高さが同じで、傾きが違う 2 つの斜面 (インクラインド・プレーン) を想定し、これを背中合わせにして置いた。 等間隔のビーズを通した紐の輪を斜面 (インクラインド・プレーン) にかけ、一部分が下に垂れ下がるようにした。 斜面に置かれたビーズは斜面の負荷となって作用し、 点 T で張力で保持される。ステヴィンの議論は次のように進む。

ディクステルホイス (Dijksterhuis) が指摘したように、 ステヴィンの議論は完全に漏れがないわけではない: 垂れ下がっている鎖の部分が及ぼす力は対称ではない。 というのは垂れ下がっている部分は手を放した時に形を留めるわけでないからである。 鎖を角運動量 0 で離しても、鎖が当初から平衡状態でなければ振動を含むような動きは可能であり、 平衡状態の前提は循環論法になる。

用語
傾き

斜面 (インクラインド・プレーン) の機械的 (力学的) 利点はその傾き、あるいは勾配に依存する。 傾きが小さければ、機械的 (力学的) 利点があり、大きければ与えられた重さを持ち上げるのに必要な力が増大する。 斜面の傾き s は両端の高さの違い -- これを高さ (Rise) と呼ぶ -- を水平距離 -- これを走り (Run) と呼ぶ -- で割ったものに等しい。 傾きは斜面が水平面となす角 θ で表示することもできる。


斜面 (インクラインド・プレーン) の幾何学は
直角三角形に依存している。時には水平の長さ
は Run と呼ばれ、高さは Rise を呼ばれる。
機械的 (力学的) 利点

単純機械の機械的 (力学的) 利点 MA は負荷に加えられる出力する力と、適用される入力する力の比率である。 斜面 (インクラインド・プレーン) の場合には出力する力は斜面の上の物体の重力、すなわち重さ Fw である。入力する力は斜面に並行に物体に加えて斜面を押し上げる力 Fi である。 機械的 (力学的) 利点 MA

である。摩擦のない理想的な斜面 (インクラインド・プレーン) の MA は 時々 理想上の機械的 (力学的) 利点 と呼ばれ、 摩擦を組み込んだ MA実際の機械的 (力学的) 利点 と呼ばれる。

摩擦のない斜面 (インクラインド・プレーン)

動かす物体と斜面の間に摩擦がなければ、装置は理想的な斜面 (インクラインド・プレーン) と呼ばれる。 この条件は円筒のように回転する、あるいは車輪によって支えられていれば、近似できるものである。 エネルギー保存の法則により、 摩擦のない斜面 (インクラインド・プレーン) では、 負荷を持ち上げて達成した仕事 Wout は入力された仕事 Win に等しい:

仕事は、力と物体が動いた距離の積として定義される。 負荷に対してなされた仕事は、 重さに垂直方向の上昇距離 -- 斜面 (インクラインド・プレーン) の高さ Rise -- を掛けたものであるから

入力された仕事は物体に対して加えた力 Fi に物体が移動した距離 -- 斜面 (インクラインド・プレーン) の長さ Length -- を掛けたものであるから

これらの値をエネルギー保存法則の式に代入して整理をすれば

機械的 (力学的) 利点 MA を斜面の角度 θ であらわすために、図から求めると

従って

従って、摩擦のない斜面 (インクラインド・プレーン) の機械的 (力学的) 利点は、 面の傾きの角度の sin の逆数に等しい。 この式から得られる入力する力 Fi は負荷を斜面 (インクラインド・プレーン) で静止させたり、 一定の速度で持ち上げる時の力に等しい。 もしも入力する力がこれより大きければ負荷は斜面を加速して上昇し、 入力する力がこれより小さければ負荷は斜面を加速して降下する。


斜面 (インクラインド・プレーン) の装置。1900 年頃物理の教育に使用された。
左側の重りは負荷の力 Fw を提供する。 右側の重りは入力の力 Fi を提供し、
斜面でローラーを引き上げる。
摩擦のある斜面 (インクラインド・プレーン)

斜面と負荷の間に摩擦があれば、例えば重い箱を引きずり上げるような時には、 入力する力により適用された仕事の一部は熱になって発散し、負荷に対してなされる仕事は少なくなる。

従って、もっと多くの入力する力が必要とあり、 機械的 (力学的) 利点は摩擦がない場合よりも少なくなる。 最大の摩擦力は次で与えられる。

但し Fn は負荷と斜面の間の法線力で、 斜面に垂直に働き、μ は表面の間の静摩擦係数で材質により変化する。 もしも力が入力されない時、斜面の傾きがある最大角 φ よりも小さければ、 重力の斜面に平行な成分はあまりに小さくて、摩擦を凌駕することができず、 負荷は静止状態となる。この角度は摩擦角と呼ばれ、表面の材質に依存するが、 負荷の重さには依存しない。以下で摩擦角 φ のタンジェントは μ に等しいことが示される:

摩擦があると、入力する力の、ある範囲内で、負荷が静止して、斜面を上にも下にも滑らない。 一方、摩擦がない斜面 (インクラインド・プレーン) では、 入力する力が特定の値を取る時に負荷が静止する。

解析

斜面 (インクラインド・プレーン) に停止する負荷には、 自由物体と考えた時に、3 つの力が作用している:


Fi = N = 法線力 = 平面に垂直
Fi = f = 入力の力、 Fw = mg = 負荷の重さ
但し m = 質量、g = 重力加速度

ニュートンの運動に関しての第二法則を使用すれば、力の総計が 0 になれば負荷は静止する。 摩擦力は上昇と下降の場合には逆向きとなるので、これらの 2 つの場合は別々に考えなければならない。

上昇運動

負荷に対する力の総計は坂を登る方向に向き、摩擦力は斜面の下方に向き、入力の力と逆向きになる。

上昇運動の場合の機械的 (力学的) 利点の導出

平面に対しての平行方向と垂直方向の力の均衡等式は次で与えられる。 【訳注:縦棒 2 本は万国共通の平行記号です。世界中で日本だけが違う記号を使っている。】


最初の等式で Ff = μFn を代入して、次を得る。

第二の等式から Fn = Fw cos θ を得て、これを上の式に代入すれば次を得る。

μ = tan φ と置けば

分母に三角関数の加法公式を適用すれば、機械的 (力学的) 利点は

で与えられる。但し φ = tan-1 μ。これが斜面 (インクラインド・プレーン) で上方に動き始める条件である。 もしも適用される力 Fi がこの等式よりも大きければ、負荷は平面を上方に動く。

下降運動

負荷に対する力の総計は坂を下る方向に向き、摩擦力は斜面の上方に向く。

下降運動の場合の機械的 (力学的) 利点の導出

均衡等式は次で与えられる。


最初の等式で Ff = μFn を代入して次を得る。

第二の等式から Fn = Fw cos θを得て、これを上の式に代入すれば次を得る。

μ = tan φ を代入して、上と同様に式変形すれば

分母に三角関数の別の公式を適用すれば、機械的 (力学的) 利点は

これは平面を下方に動き始める時の条件である: もしも適用される力 Fi がこの等式よりも小さければ、負荷は平面を下方に滑る。 3 つの場合がある:

  1. θ<φ: 機械的 (力学的) 利点は負であり、加える力がなくても、あるいは少々負 (下向き) の力があっても、 負荷は平面を滑り落ちることはない。
  2. θ=φ: 摩擦角。機械的 (力学的) 利点は無限である。 加える力がなければ、負荷は滑らないが、少しでも負 (下向き) の力を加えると滑り落ちる。
  3. θ>φ: 機械的 (力学的) 利点は正である。 加える力がなければ負荷は平面を滑り落ち、静止状態にするには正 (上向き) の力が必要である。
訳注:斜面 (インクラインド・プレーン) がいつ広く知られるようになったか?

斜面 (インクラインド・プレーン) はルネッサンスの時に単純機械の一つとして定義されました。 Simple machineによると、単純機械とは次から構成されています。

  1. てこ (lever)
  2. 車輪と軸 (wheel and axle)
  3. 滑車 (pulley)
  4. インクラインド・プレーン (inclined plane)
  5. クサビ (wedge)
  6. ネジ (screw)

英国産業革命の時にこれらに親しんでいたのは、当然、機械工 (mechanics) です。本文中では mechanical (機械的、力学的) が随所に登場し、 「機械的」 と 「力学的」 の意味が単純機械の場合には同じ意味であることがわかりました。 英国産業革命の時に多くの機械工協会が機械工たちの 成人教育を提供し、図書館も提供し始めました。 機械工たちはそれほど多くはいなかったのですが、 機械が発展し続ける中で、彼らに科学的知識を持たせる社会的な必要性が登場したのです。 そして古い 「徒弟制」 が破壊される中で 「機械工協会」 が設立されたのです。 「機械工協会」 で何が教えられたのか、具体的なことははっきりしませんが、少なくとも、数学と物理が実地に沿って教えられ、 あるいは地域によっては化学も教えられた。(恐らく地元の産業に依存している。) 「斜面 (インクラインド・プレーン)」も、科学的に教えられたことは明白だと思われます。 単純機械の取り扱いは古い時代には 「徒弟制」 を通じて経験的に学んだものが、 学校で学ぶようになったと考えられます。 現在、高校の物理で 「斜面 (インクラインド・プレーン)」 が教えらているのは、 このような歴史的背景に基づくものと思われます。

運河でも鉄道でも 「インクラインド・プレーン」 (日本語では単にインクラインと呼ぶことが多い) の用語が 19 世紀に使用されたこの背景と思われます。 しかし日本語では高校物理の 「斜面」と 「インクライン」 を別物として扱っているため、 このようなことが理解しづらい。英語ではどちらも 「インクラインド・プレーン」 です。