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フランス、
シャルトルの
モンテスコ・ホテルの車イス・ランプ |
フィレンツェ、
ガリレオ博物館の教育
で使用される実演斜面(inclined plane) |
以下の文書は次のページの翻訳です。
Inclined plane - Wikipedia
(1) inclined plane を日本語に翻訳する時に 「斜面」 としたり、カナ表記して 「インクラインド・プレーン」 としたりします。 「斜面」 と翻訳するのは高校の物理で、「インクラインド・プレーン」 と記述するのは 「ケーブル鉄道」 を指す場合です。 以下の文章ではこのどちらもあり、翻訳が困難となるので
inclined place ――→ 斜面 (inclined plane)
と翻訳します。「斜面 (inclined plane)」を運河に適用したものが canal inclined plane (運河の斜面) で、 これは日本語では通常は インクラインと呼ばれます。 (インクライン/訳注：「インクライン」 の用語に関しても参照のこと。)
(2) 英和辞書を調べると、英語の mechanical には 「機械的」 の意味と 「力学的」 の意味が載っていますが、 英々辞書を調べると 「力学的」 の意味しか載っていません。元々の英語の 「機械」 は滑車のような 単純機械 を 指しているようで、「機械的」 の意味でも 「力学的」 の意味でも違いがありません。そこでここでは次のようにします。
mechanical ――→ 機械的 (力学的)
なお「6. 動力を使った場合の機械的 (力学的) 倍率 」は少し書き方がおかしいが、そのまま翻訳している。
斜面 (inclined plane) はランプ(ramp,傾斜路) とも呼ばれ、平坦な支持面 (supporting surface) で、 垂直な方向からある角度で傾き、一方の端が他方よりも高く、 物体 (load) を引き上げたり、引き下げたりする助けに使用される。 斜面 (inclined plane) はルネッサンスの科学者により定義された 6 つの古典的単純機械の 1 つである。 斜面 (inclined plane) は重い物体 (load) を垂直方向の障壁を越えて移動することに使用される。 実例にはトラックに荷を積むために使用されるランプ (ramp, 傾斜路) から、 歩行者用ランプを登る人や、勾配 (grade) を登る自動車や鉄道車両に至っている。
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フランス、
シャルトルの
モンテスコ・ホテルの車イス・ランプ |
フィレンツェ、
ガリレオ博物館の教育
で使用される実演斜面(inclined plane) |
斜面 (inclined plane) におけるオブジェクト (object) の引き上げは、 直接持ち上げるより移動距離は増加するが、必要とする力は小さい。 斜面 (inclined plane) の機械的 (力学的) 倍率 (mechanical advantage) ―― 力の減少係数 (factor) ―― は斜面の高さと長さの比に等しい。 エネルギー保存法則 (conservation of energy) により、 マサツの損失を無視すれば、 同じ 力学的エネルギー ( 仕事) (mechanical energy (work)) が、 与えられたオブジェクトの与えられた垂直距離の上昇に必要とされる。 斜面 (inclined plane) では、小さな力を長距離加えることにより、 同じ仕事 (work) を実現することが可能となる。
マサツ角 (angle of friction) は時には 安息角 (angle of repose) とも呼ばれ、物体 (load) が マサツにより斜面 (inclined plane) で滑り出さずに静止できる最大角である。 この角度は 2 つの面の間の静止摩擦係数 (coefficient of static friction) μs の arctan に等しい。
他の 2 つの単純機械はしばしば斜面 (inclined plane) から派生していると考えられる。 クサビは移動する斜面 (inclined plane) あるいは底部で接続された 2 つの斜面 (inclined plane) と見なすことができる。 ネジ (screw) は円柱の周りに巻き付けた狭い斜面 (inclined plane) から構成されている。
この用語は特別な実装 ―― 物資を昇降するために、急な丘の中腹に切り込まれた真っすぐなランプ ―― も言及する。 これにはレールの上の、あるいはケーブル・システムにより牽引される車両が含まれる。 たとえは ジョンズ・タウン・インクラインド・プレーンのようなケーブル鉄道がある。
斜面 (inclined plane) はトラック、船、そして航空機で 物資の積み込み・積み下ろしのための、積載用ランプ (loading ramp) の 形で広く使用されている。 車椅子ランプ (wheelchair ramps) は車椅子の人々が体力の限界を越えずに 垂直障壁を越えるために使用する。 エスカレーターと傾けたコンベヤーベルト (slanted conveyor belts) も 斜面 (inclined plane) の一形式である。 ケーブル鉄道 (funicular or cable railway) では、 鉄道車両はケーブルを使用して急な斜面 (inclined plane) を引き上げられる。 斜面 (inclined plane) は重くて壊れやすいオブジェクト ―― 人間を含む ―― も、重力を削減するために斜面 (incline plane) の 垂直抗力 (normal force) を使用して、安全に垂直方向に 降ろすことが可能である。 航空機の 緊急脱出スライド (evacuation slides) により、人々は乗客航空機の高さから、 急速・安全に地面に到達することが可能である。
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ランプを使用して
トラックに車を積載 |
ランプを使用して
船にトラックを積載 |
航空機の非常用
脱出シュート |
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日本のバスの
車イス用ランプ |
トラックの積載用ランプ |
他の斜面 (inclined plane) は恒久的構造に組み込まれている。 車両用道路と鉄道はゆるやかな坂道、ランプ (ramp)、土手道 (causeway) の形で、 斜面 (inclined plane) があり、車両が丘のような垂直障壁を道路面の摩擦力を 失わずに乗り越えることを可能にしている。 同様に歩行者用通路と歩道 (sidewalk) にはおだやかなランプ (ramp) があって、 坂 (slope) を制限し、歩行者が摩擦力を確実に維持できるようにしている。 斜面 (inclined plane) は人々が制御された方法で滑り降りる楽しみにも使用され、 滑り台 (playground slide)、 ウォーター・スライド (water slides)、 スキー場 (ski slope)、 スケートボードパーク (skateboard park) がある。
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土砂ランプ (右), ローマが
マサダ
侵入 のために AD 72 年建設 |
ブラジリア大統領府
歩行者用ランプ |
ジョンズ・タウン・インクラインド
・プレーン、ケーブル鉄道 |
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ビルマ公路, インドのアッサム州 (Assam)、
ビルマを通って中国に至る。1945 年頃 |
スケートボード・パーク
のインクラインド・プレーン |
斜面 (インクラインド・プレーン) は有史以前から重いものを動かすために、 人々によって使用されてきた。 ローマのような古代文明によって建設された傾いた道路や土手道は今日まで生き延びた初期の斜面 (inclined plane) の実例であり、丘の上に物資を移動するためのこの装置の利点を理解していたことを示している。 ストーンヘンジのような古代の石造構造で使用される重い石は、土で作られた斜面 (inclined plane) を使用して移動・設置されたと信じられている。 もっともそのような一時的な建設用ランプ (ramp) の証拠を見つけることは困難である。 エジプトのピラミッドは斜面 (inclined plane) を使用して建設され、 包囲攻撃用ランプ (siege ramps) により古代の軍隊は要塞の壁を乗り越えることができた。 古代ギリシャ人は長さ 6 km (3.7 マイル) の舗装したランプ (ramp) ―― ディオルコス ―― を建設し、船を地上で引きずって、 コリントス地峡 (Isthmus of Corinth) を横断した。
しかしながら、斜面 (inclined plane) は 6 つの古典的 単純機械 (simple machine) の中で、 機械として認められた最後のものであった。 これはおそらく、これが受動的で動かない装置 (物体 (load) が動く部分) だからで、自然界に坂道や丘の形に見出せるからである。 彼らは重いオブジェクト (object) を持ち上げることで、この利用を理解したが、 他の 5 つの 単純機械を定義した古代ギリシャの哲学者たちは 斜面 (inclined plane) を機械に含めなかった。 この見方は後の少数の科学者の間にしつこく存続し、カール・フォン・ラングスドルフ (Karl von Langsdorf) が書いたことによると、斜面 (inclined plane) 「... は山の坂道と同じように機械ではない」。 斜面 (inclined plane) で重りを押し上げるのに必要な力 (あるいはその機械的倍率) を計算する 問題は、ギリシャの哲学者である アレクサンドリアのヘロン (AD 60 年 - 10 年頃) と アレクサンドリアのパッパス (AD 290 年 - 350 年) によって試行されたが、彼らの解答は正しくなかった。
ルネッサンスになって始めて、斜面 (inclined plane) が数学的に解かれ、 他の単純機械と共に分類された。 斜面 (inclined plane) の最初の正確な分析 (analysis) は 13 世紀の 著作家であるヨルダヌス (Jordanus of Nemore) の著作に登場した。 しかしながら、彼の解答は明らかに当時の他の哲学者 (philosophers) に 伝わらなかったようである。 ジローラモ・カルダノ (Girolamo Cardano, 1570 年) は不正確な解答を提案し、 入力する力は斜面 (plane) の角度に比例するとした。 そして 16 世紀末に、3 つの正しい解決が 10 年内に出版された : Michael Varro (1584 年)、 シモン・ステヴィン (Simon Stevin, 1586 年)、 そして ガリレオ・ガリレイ (Galileo Galilei, 1592 年)。 フランドル人の技術者であるシモン・ステヴィンの導出は最初のものではなかったが、 独創性と糸に通したビーズを使用した理由から最も良く知られていた。 1600 年に、イタリアの科学者の ガリレオ・ガリレイは 「力学 (機械学) について」 (Le Meccanishe ("On Mechanics")) の中で、 単純機械の分析 (analysis) を含め、 力の増幅装置 (amplifier) として、他の機械との基礎的類似性を示した。
斜面上の滑りマサツ (sliding friction) に関しての、最初の初等的規則は レオナルド・ダビンチ (Leonardo da Vince, 1452 年 - 1519 年) によって発見されたが、彼のノートの中で 未発表のまゝであった。 これらは ギヨーム・アモントン (Guillaume Amontons) により再発見され (1699 年)、 シャルル-オーギュスタン・ド・クーロン (Charles-Augustin de Coulomb) により更に発展させられた (1785 年)。 レオンハルト・オイラー (Leonhard of Euler) は、 斜面 (inclined plane) の 安息角 (angle of repose) は 摩擦係数 (coefficient of friction) に等しいことを示した。
1586 年にフランドル人の技術者である シモン・ステヴィン (Simon Stevin (Stevinus)) は糸に通したビーズを使用して、斜面 (inclined plane) の機械的 (力学的) 倍率を導き出した。 彼は高さが同じで、傾きが異なる 2 つの斜面 (inclined plane) を背中合わせにしてプリズム (上の A, B, C) のようにしたものを想定した。 等間隔にビーズを通した紐の輪を斜面 (inclined plane) の上に垂らして架け、 紐の一部分が下に垂れ下がるようにする。 斜面に置かれたビーズは斜面の負荷 (load) となって作用し、 点 T で張力で保持される。 T. ステヴィンの議論は次のように進む。
ディクステルホイス (Dijksterhuis) が指摘したように、 ステヴィンの議論は完全に漏れがないわけではない： 垂れ下がっている鎖の部分が及ぼす力は対称である必要はない。 というのは垂れ下がっている部分は切り放した時に形を保存する必要がないからである。 鎖を角運動量 0 で切り離しても、 鎖が始めに均衡状態 ―― 循環論法にする仮定 ―― でなければ、 振動を含む運動が可能である。
斜面 (inclined plane) の機械的 (力学的) 倍率はその傾き ―― 勾配 (gradient) あるいは険しさ (steepness) ―― に依存している。 傾きが小さければ、機械的 (力学的) 倍率が大きく、 与えられた重さを持ち上げるのに必要な力が小さくなる。 斜面の傾き s は両端の高さの違い (これを高さ (Rise) と呼ぶ) を水平距離 (これを走り (Run) と呼ぶ) で割ったものに等しい。 傾きは斜面が水平面となす角 θ で表示することもできる。
単純機械の機械的 (力学的) 倍率 MA は物体 (load) に出力する力 (output force) と 入力する力 (input force) の比率として定義される。 斜面 (inclined plane) では、出力する力は斜面の上の物体 (load) の重力、 すなわち重さ Fw である。 入力する力は物体 (object) に加える力 Fi で、 斜面に平行して押し上げる力である。 機械的 (力学的) 倍率 MA は
である。摩擦のない理想的な斜面 (inclined plane) の MA は 時々 理想上の機械的 (力学的) 倍率 と呼ばれ、 摩擦を組み込んだ MA は 実際の機械的 (力学的) 倍率 と呼ばれる。
動かすオブジェクトと斜面の間に摩擦がなければ、装置は理想的な斜面 (inclined plane) と呼ばれる。 この条件はオブジェクトが「樽」のように転がるか、車輪あるいは キャスター(caster) で支えられている時に近似される。 エネルギー保存の法則により、 摩擦のない斜面 (inclined plane) では、 オブジェクト (load) を持ち上げるためになされた仕事 Wout は入力された力によりなされた仕事 Win に等しい:
仕事は、物体 (object) の移動変位 (displacement) と力の積として定義される。 物体 (load) に対してなされた仕事 Wout は、 重さに垂直変位をかけたものに等しく、 後者は斜面 (inclined plane) における「上昇」 (Rise) であるから
入力された仕事 Wi は物体に加えた力 Fi に 斜面 (inclined plane) の斜辺の長さ Length を掛けたものに等しく
これらの値を上のエネルギー保存法則の式に代入して整理をすれば
機械的 (力学的) 倍率 MA を斜面の角度 θ であらわすために図から求めると
従って
従って、摩擦のない斜面 (inclined plane) の機械的 (力学的) 倍率は、 面の傾きの角度の sin の逆数に等しい。 この等式から、入力される力 Fi が物体 (load) を斜面 (inclined plane) で静止させるのに必要な力、 あるいは一定の速度で押し上げる力である。 もしも入力される力がこれより大きければ物体 (load) は斜面を加速して上昇し、 もしも、これより小さければ物体 (load) は斜面を加速して降下する。
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| 斜面の装置。1900 年頃物理教育に使用。 左側の重りは物体 (load) の力 Fw を提供する。 右側の重りは入力の力 Fi を提供し、 斜面でローラーを引き上げる。 |
斜面と物体 (load) の間に摩擦があれば、例えば重い箱を坂道 (ramp)で引きずり上げる時には、 入力で加える仕事の少々は摩擦による熱 Wfric として発散し、 従って物体 (load) に対してなされる仕事は少ない。
従って、より多くの入力の力が必要とあり、 機械的 (力学的) 倍率は摩擦がない場合よりは少ない。 摩擦があれば物体 (load) は表面に平行する正味の力が、 これに拮抗する摩擦力 Ff より大きければ動くのみである。 最大の摩擦力は次で与えられる。
但し Fn は物体 (load) と斜面の間の 垂直抗力 (normal force) で、 斜面に垂直に働き、μ は 2 つの表面の間の静止摩擦係数で材質により変化する。 もしも力が入力されない時、斜面の傾きが、ある最大角 φ より小さければ、 斜面に平行する重力の成分は小さすぎて摩擦を越えることができず、 物体 (load) は静止状態になる。 この角度は 安息角 (angle of repose) と呼ばれ、表面の成分に依存するが、 物体 (load) の重さには独立である。 以下で安息角 φ の tan は μ に等しいことが示される。
摩擦があると、入力する力のある範囲内で、物体 (load) が静止して斜面を上下に滑らない。 一方、摩擦がない斜面 (inclined plane) では、 入力する力が特定の値を取る時に物体 (load) が静止する。
斜面 (inclined plane) に置かれた物体 (load) には、 自由物体 (free body) と考えた時に、3 つの力が作用している：
ニュートンの運動の第二法則 (Newton's law of motion) を使用すれば、 物体に加わる力の総和が 0 であれば、物体は静止あるいは定常運動 (stationary or in steady motion) である。 坂を上る場合と下る場合に摩擦力の向きが逆になるため、 この 2 つの場合は別々に考えなければならない。
物体 (load) に対する力の総和は坂を登る方向に向き、従って摩擦力は斜面を下る方向に向き、加える力と逆向きである。
平面に対しての平行方向と垂直方向の力の均衡等式は次で与えられる。 【訳注：縦棒 2 本は万国共通の平行記号です。世界中で日本だけが違う記号 (斜め線 2 本) を使っている。】
最初の等式で Ff = μFn を代入して、次を得る。
第二の等式を解くと Fn = Fw cos θ が得られ、これを上の式に代入すれば次を得る。
μ = tan φ と置けば
分母に三角関数の加法公式を適用すれば、機械的 (力学的) 倍率は
で与えられる。但し φ = tan-1 μ。これが斜面 (inclined plane) で上方に動き始める条件である。 もしも加える力 Fi がこの等式よりも大きければ、物体 (load) は平面を上方に動く。
物体 (load) に対する力の総和は坂を下る方向に向き、従って摩擦力は斜面の上方に向く。
均衡等式は次で与えられる。
最初の等式で Ff = μFn を代入して次を得る。
第二の等式を解いて Fn = Fw cos θを得て、これを上の式に代入すれば次を得る。
μ = tan φ を代入して、上と同様に式変形すれば
分母に三角関数の別の公式を適用すれば、機械的 (力学的) 倍率は
これは平面を下方に動き始める時の条件である： もしも加える力 Fi がこの等式よりも小さければ、物体 (load) は平面を下方に滑る。 3 つの場合がある：
斜面 (inclined plane) の機械的 (力学的) 倍率は坂道 (ramp) における物体 (load) の重さと、 これを坂道で引き上げる時に必要な力の比である。 もしもエネルギーが物体の動きで発散したり、蓄積されなければ、この 機械的 (力学的) 倍率は坂道の大きさから計算できる。
これを示すために、水平面上の角度 θ の坂道に沿う位置 r は次で与えられる。
但し R は坂道に沿った距離である。 坂道を上昇する車両の速度は今や次で与えられる。
損失がないため、力 F により物体 (load) を 坂道で持ち上げるために使用される動力は出力される動力に等しく、 これは物体の重さ W の垂直の引き上げ (vertical lift) である。
坂道で車両を引き上げるために入力した動力は次で与えられる。
そして出力された動力は
入力された動力と出力された動力は等しいため、機械的 (力学的) 倍率は次で与えられる。
斜面 (inclined plane) の機械的 (力学的) 倍率は坂道の長さ L と高さの 比からも計算できる。というのは坂道の角度の sin は次で与えられるからである。
従って
実例: もしも坂道の高さ H が 1 メートル、長さ L が 5 メートルであれば、 機械的 (力学的) 倍率は次で与えられる。
これは 20 ポンドの力で 100 ポンドの物体を持ち上げることを意味する。
Liverpool Minard インクラインド・プレーンは 1804×37.50 メートルの大きさであり、 この機械的 (力学的) 倍率は :
従って、100 ポンドのケーブルの張力は 4810 ポンドの物体を持ち上げる。 このインクラインの傾きは 2% で、 これが意味することは角 θ は十分小さいため sin θ ≈ tan θ である。
