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Skew arch - Wikipedia

以下の文章で「ラセン面」が随分登場しますが、ラセンと考えてもあまり違いがありません。 セリ石は何重にも重ねるため、「斜めアーチ」の橋の内部にラセン面が作られますが、 表面にはラセンが見えるだけです。

以下の文章で展開 (develop) と呼んでいるのは、円柱面に軸方向にハサミで切れ目を入れて、 伸ばして平面にすることです。 この逆を射影と呼んでいるようですが、普通の言い方ではないと思う。

斜めアーチは日本にもあるようです。蹴上インクラインの下を通る歩行者用トンネルの「ねじりまんぽ」がこの斜めアーチです。 他にもたくさんあるらしい。 ニコニコ大百科を参照。

蹴上のねじりまんぽ: グーグルマップ フォト・スフィア

斜めアーチ (Skew arch)

斜めアーチ (skew arch あるいは oblique arch) は建設法の一つで、アーチ橋が直角以外の角度で障害物を横断するものである。 これにより、アーチの面が橋台に直角ではなく、平面図が平行四辺形となり、 通常のアーチ (regular arch) の平面図の長方形とは異なるものになる。

石造の斜めアーチの場合には建設には正確な石の切断が必要となる。 というのは切断は直角にならないからである。 しかし、原理が 19 世紀の初頭に完全に理解されると、レンガ製の斜めアーチの建設が可能となり、 とても簡単に、そして安価になった。

石造りあるいはレンガ製の斜めアーチを建設する問題は初期の多くの土木技術者と数学者により取り組まれた。 これには以下の人々がいる: ウィリアム・チャップマン (William Chapman) (1787 年)、 ベンジャミン・ウートラム (1798 年)、 ピーター・ニコルソン (Peter Nicholson) (1828 年)、 ジョージ・スチーブンソン (1830 年)、 エドワード・サング (Edward Sang) (1835 年)、 チャールズ・フォックス (Charles Fox) (1836 年)、 ジョージ W. バック (George W. Buck) (1839 年)、 そして ウィリアム・フルード (William Froude) (1844 年頃)。


石造りの斜めアーチの橋
1896 年に完成後すぐに撮られた写真
石組にラセン面が見える。
  1. 歴史
  2. 建設
  3. 斜めアーチ橋の実例
  4. 注釈
  5. 訳注:ラセン面について
  6. 訳注:斜めアーチのアーチ面を展開すると正弦曲線
  7. 訳注:日本の斜めアーチに関して
歴史
ベンジャミン・ウートラムとストア・ストリート水道橋

斜めアーチは近世の発明ではなく、 ローマ時代から例外的な場合に建設されてきた。 しかし、これはほとんど理解されておらず、鉄道の到来までほとんど使用されなかった。 注目に値する例外は英国の技術者であるベンジャミン・ウートラムによってデザインされた一本の水道橋であり、 石造りで建設されて 1798 年に完成し、 マンチェスターのストア・ストリートを 45度の角度で横断し、アシュトン運河を今でも通している。 ウートラムのデザインは 1787 年のアイルランドのキルデア運河 (Kildare Canal) の工事に基づいていると思われ、 ここではウィリアム・チャップマンが斜めの円弧アーチをネース (Naas) のフィンレイ橋 (Finlay Bridge) に導入し、半円より小さな円弧に基づくアーチ円筒に適用した。 トーマス・ストーリー (Thomas Storey) が 1830 年に、この方法を繰り返し、 このアーチによりダラム州コックフィールド (Cockfield) の近くのゴーンレス川 (River Gaunless) を横断するストックトン・ダーリントン鉄道のハガー・リーセズ (Haggerleases) 支線を通した。 アーチは斜交角度A (skew angle) が 63°、 斜めスパンB (skew span) の長さが 42 フィート (13 m) で開放スパンC (clear span) の長さが 18 フィート (5.5 m) で、7 フィート (2.1 m) の高さがあった。 彼らがした共通な方法は木製のセントリング (フォールスワークとも呼ぶ) を厚板 (外套材 (lagging) と呼ぶ) で覆い、 迫持台と平行になるように敷き詰め、注意して平らにし、アーチの腹面に要求される曲線に密接に近似するようにした。 アーチの頂上の近辺における横一列の石の位置がアーチの面に直交するように、 長くて真っすぐな木の刃でマークされた。残りの (幾つもの) 横一列の石の位置がマークされた。 石工は要求されるように石を切断して、(定位置に) 敷いた。

訳注
この箇所の説明の 「迫持台と平行に」 の箇所が多分間違いです。 これでは後で登場する 「偽のアーチ橋」 になってしまう。

同時代の競合する技術者のデザインはそれほど成功せず、 しばらくの間、斜め橋は通常のアーチ橋と比較して弱いと考えられ、できる限り回避した。 この代替は道路や運河を建設する時に 2 つの曲がり角を作り、障害物を直角に横断すること、 あるいは通常のアーチ橋を幅あるいはスパンを長くして、 障害物をクリアすることであった。 後者の建設の実例には 1837 年に建設されたデンビー・ホール橋 (Denbigh Hall Bridge) があり、 これはワトリング・ストリート (Watling Street) を越えて、 わずか 25° の鋭角でロンドン・バーミンガム鉄道を通した。 橋は現在はグレード II の指定建造物で、いまだに使用され、交通量の多い西海岸本線を通している。 これは長いギャラリーの形式で建設され、200 フィート (61 m) の長さで 34 フィート (10 m) の幅があり、 鉄の桁 (ガーダー) から構成され、道路に平行に作られた壁の上に置かれ、 桁 (ガーダー)、従って橋の面は道路面に垂直で、鉄道はこの上に斜めに敷かれ、 従って 80 フィーt (24 m) のスパンを持つ非常に斜めな橋を建設する必要が回避された。

訳注
デンビー・ホール橋は桁橋なので、実例としては不適に思われます。 この文書の表題は 「斜め橋」 ですが、 「石造りあるいはレンガ製の斜め橋」 とでも断らないと以上の実例を排除できません。 恐らくは元々の筆者と違う人が書き加えた。
ストア・ストリートから
ストア・ストリート水道橋を見る。
ゴーンレス川にかかる
スウィン橋
同時代のデンビー・ホール橋の
彫版

著名な運河の技術者であるジェームス・ブリンドリーは強力な斜めアーチを建設する問題の解決には 決して成功せず、その結果、運河をまたぐ橋はすべて運河に直交するように建設され、 必要であれば道路に 2 つの曲がり角を作った。今日に至るまで、これらの多くは使用者に不便となった。 しかしながら、鉄道の到来により、鉄道が既存の障害物 -- 川、道路、運河、他の鉄道 -- をできる限り直線で横断する必要が生まれ、 斜めアーチに対する技術者の好奇心を再燃した。

偽の斜め橋

通常のアーチの強さは構造の質量と上に載る負荷の力の向きが大地に伝えられ、 迫持台で石が互いにずれないことによっている。 これはすべての石の列が迫持台に平行である事実に依存し、 石の列は通常のアーチの場合にはアーチ面に垂直である。 ほんのわずか斜めになった橋では -- 斜交角度がおよそ 15 ° 以内であれば -- 同じ建設法を使用することが可能であり、石の列を迫持台に平行になるように敷けばよい。 この結果は偽の斜めアーチ (false skew arch) と呼ばれる。 偽の斜めアーチでは、アーチ面が迫持台と鋭角をなす角 (かど) には、 その結果、力が生じ、力は石の列の面に垂直ではなく、 石を面から押し出す傾向を持ち、 これに対する抵抗は石の間の摩擦と漆喰の粘着力のみである。 このような偽の斜めアーチの実例はミネソタ州のセント・ポール (Saint Paul) のコロラド・ストリート橋である。 ウートラムはストア・ストリート水道橋の工事を開始する前に、幾つかの偽の斜めアーチを建設した。 そのうちの 1 つは斜交角度 19° にも達するもので、 これはハダースフィールド・ナロウ運河にかかる供給橋である。 このように、本質的に弱い構造が現在でも存在する事実は負荷が軽かったせいである。


コロラド・ストリート橋
偽の斜めアーチの実例
もっと厳密なアプローチ

通常のアーチで力のバランスを考える時に、石の列の全体は円筒となり、 各列は迫持台に平行で、アーチ面に垂直である。 アーチ面と平行にアーチの断面を取って、2 次元オブジェクトと考える方が便利で、 円筒の長さ方向の負荷の変動は無視をする。 斜めアーチの場合には円筒の軸は面に垂直ではなく、垂直な直線との成す角をアーチの斜交角度とよぶ。 この理由から、斜めアーチは 3 次元オブジェクトと考える必要があり、 円筒内の力の方向を考えることにより、円筒を構成する石の列の最適な方向が決定される。

ラセン面方式斜めアーチ (helicoidal skew arch)

通常のアーチの特徴は石の列が迫持台に平行に走り、アーチの面に垂直になっていることである。 斜めアーチの場合には、この 2 つの条件を同時に満たすことができない。 というのはアーチの面と迫持台が垂直ではないからである。 およそ 15° よりも大きな斜交角度が多くの応用で要求されるため、 数学者と技術者 -- 例えばチャップマン (Chapman) -- は迫持台に平行になるように石の列を敷くことを見限り、 石の列がもはや迫持台に平行ではないという事実を受け入れた。 ウートラムのストア・ストリート水道橋はこの原理を考えて構成されたが、 これは経験的になされ、石工は要求されたようにセリ石を切断した。 1822 年になって始めて、技術の詳細が、 他の技術者や石工に有益な形で出版された。

石によるピーター・ニコルソンのラセン面方式

著書 「石工事と石の切断に関しての人気の高い実際的な説明」 (A Popular and Practical Treatise on Masonry and Stone-Cutting) (1828 年) においてピーター・ニコルソン -- スコットランドの建築家、数学者、キャビネットの製造家、技術者 -- は始めて強力な斜め橋の建設において、石の形と位置を決定するための、 実行可能な方法を明白で理解できる言葉で提示した。 これにより実際の建築前に石を用意することが可能となった。

ピーター・ニコルソン
(1765 年 = 1844 年)
ニコルソンの鉄道石工事のガイド
の図版、ラセン面方式の斜めアーチ
アーチの腹面の展開図 (左) と
平面図 (右)

ニコルソンは平面図と立面図からアーチの腹面の展開図Fを作ることによって取り組み、 効果的に表面を開いて平らにし、セリ石の列を面に垂直に描き、直列な継手 (header joint) を付け加え、 最後に展開図を巻き上げて、アーチの腹面の詳細を平面図と立面図にした。 このテクニックはこの問題に対する別の解法を与えた人々によっても使用された。 この方法により、セリ石の列が (組み合わさって) 斜めアーチの円筒を構成し、 迫持台の間に平行なラセン面を描き、円筒に魅力的なライフル溝の外見を与えた。 これらのセリ石の列はアーチの頂上ではアーチ面と直交するが、 両端に近づくと直交性から随分と逸脱した。 ニコルソンの方法は完全な解決ではないが、これは実行可能な方法で、 もっと純粋な方法よりは 1 つだけ偉大な利点があった。 すなわち、セリ石の列はラセン状に平行に走り、すべてのセリ石は同じ型に切断できた。 例外は円筒がアーチの面と交わるところにある石であるが、反対側に同じものがある。

ニコルソンの方式に従った
キールダー高架橋
ラセン面方式の斜めアーチが建設中。
セントリングの外套材の上にセリ石
が置かれているのが見える
訳注
キールダー高架橋: Google map 衛星写真 アップロードされた写真

ニコルソンは斜めアーチを発明したとは決して主張していないが、 彼の後の本 「鉄道石工事のガイド、斜めアーチの完全な説明を含む」 (The Guide to Railway Masonry, containing a Completed Treatise on the Oblique Arch) (1839 年) では自分が型板を製造する方法を発明したと主張し、これにより正確な石の切断が可能となり、 1828 年から 1838 年にかけて建設されたすべての斜め橋に使用されたと主張し、 重要な工事の建築家からの感謝状を引用した。 これには例えば クロフト=オン=ティーズ (Croft-on-Tees) のクロフト橋があった。 しかしながら、1836 年にチャールズ・フォックス (Charles Fox) と呼ばれる若い技術者がニコルソンのラセン面方法を改良し、 他の著作家もこの問題に対して代替の方法を提案した。

レンガによるチャールズ・フォックスの英国方式

計算をする上で、ニコルソンはアーチの (厚さがある) 円筒を 暑さのない円筒とみなした。従って彼はアーチの腹面の展開図のみを考えただけである。 この考えはチャールズ・フォックスの 1836 年の本 「斜めアーチの建設について」 (On the Construction of Skew Arches) で拡張された。 ここで彼はアーチの腹面とアーチの背面を別々の曲面として考察し、 同軸の円柱に写し、どちらも別々の展開図に描いた。 これには 2 つの利点がある。 まず第一に、まず彼はアーチの腹面と背面の中間にある理論的な 3 番目の曲面を 展開することができ、腹面ではなく、 望ましい直線に沿って、セリ石の中央に揃えることができ、 これによりニコルソンが達成できたものよりも、 理想的な配置をより良く近似できた。 第二に、軸が同じ中間の曲面 (円筒) を何枚でも展開でき、 斜めアーチの多層円筒における一列のセリ石を設計することができ、 初めてレンガで建設することができるようになった。 これにより、それ以前に可能であったよりは、ずっと経済的になった。

チャールズ・フォックス
(1810 年 - 1874 年)
フォックスの論文の図版
斜めセリ石の列を角ネジ
断面として見せている。

理由を説明するために、彼は石造の斜めアーチのセリ石の列を視覚化した。 フォックスは次のように書いている: 「私が採用した原理は、 固体のらせん状の四辺形を丸い円柱の周りに巻き付けた形 -- もっと平易な言葉では、 角ネジ (square threaded screw) -- にした石で作業することである。 従って、これらのラセン状の石のすべての横断面はアーチ全体を通じて同一である。 石の床が真のラセン面となることは明らかである。」 従って、フォックスの設計で建設される石造の斜めアーチでは、 角ネジの形状に従うために、 セリ石はわずかに曲がっている。


レンガ製の斜め円弧アーチ橋
6 層の円柱とレンガの隅石

(自分の方が) より優れた方法であると主張したが、 フォックスはニコルソンの貢献を公に認めていた。 しかし 1837 年に彼の同僚のヘンリー・ウェルチ (Henry Welch) -- ノーサンバーランド州のカウンティ橋の測量技術者 -- が書いたニコルソン支持の手紙が公表されると、 彼はこれに応答する必要性に駆らせた。 不幸なことに 3 人は紙上の論争に巻き込まれ、 幾つかの口論の後で -- この時にニコルソンの独自性が問題とされ -- 71 才のニコルソンは苦々しく、報われない気持ちになった。 翌年、フォックスはまだ 28 才で、 ロンドン・バーミンガム鉄道の技術者として ロバート・スチーブンソンにより採用されていたが、 これらの原則を組み込んだ彼の論文を王立学会に提出し、 ここから 「レンガによる斜めアーチを建設するための英国方式 あるいはラセン面方式」 が生まれた。 この方式を使用して、 何千もの斜め橋で 全部レンガ製か、あるいは隅石のみが石で、それ以外がレンガ製のものが、 英国中で鉄道会社により建設され、 今日でも随分多くが生き延び、いまだに使用されている。

ジョージ W. バックとウィリアム H. バーロー

1839 年にジョージ・ワトソンン・バック (George Watson Buck) もスチーブンソンの下で、 ロンドン・バーミンガム鉄道で働いており、 その後マンチェスター・バーミンガム鉄道に移ることになるが、 彼は 「斜め橋に関しての実際的、理論的小論」 (A Practical and Theoretical Essay on Oblique Bridge) と題した本を出版し、この中でニコルソンの貢献を認めたが、 ニコルソンに詳細が欠けていることに気づき、 彼自身の独自な三角法の方法と、この問題に関しての随分多くの実際の経験を適用した。 この本はラセン面方式斜めアーチに関しての決定的な本として認められ、 19 世紀の終わりに至るまで鉄道技術者の標準教科書であり続けた。 バックの三角法のアプローチにより、 縮尺図から測定することに頼らずに、斜めアーチのすべての寸法を計算することが可能となり、 実用的なラセン面方式の半円斜めアーチをデザインし、安全に建造する傾斜の最小角を計算できた。 これは 「バック限界」 (Buck Limit) と呼ばれ、値は 25°40' で、斜交角度の最大値では 64°20' であった。

バックは極端な斜め橋に、とりわけ注意を払い、 彼が見極めた 2 つの潜在的な問題を提示した。 第一に、彼は平面図の鈍角の角にある鋭角な隅石が建設時と定着時に被害を受けやすく、 またその後の使用でも偶然の爆発で被害を受けやすいことに注意し、 そこで端の面取りをする方法を考案し、一つの鋭角を取り除き二つの鈍角で置き換えた。 彼の言葉では 「鋭角な隅石から切り取られた部分は反対の鈍角な隅石に次第に消え失せ、 ここで切取り部分がなくなる。この考案により、直角よりも小さな角度は建造物の外見には どこにも現れない ... 作られた効果は見た目が優雅で心地よい。」 第二に彼はひどく斜めになったアーチの円筒の背面に荒れた段を作ることを勧め、 これが路面とアーチの間の壁に水平な床を提供し、 壁が円筒から滑り落ちやすい傾向を克服した。 ハートフォードシャー州のボックスムアでロンドン道路を越えて ロンドン・バーミンガム鉄道を通した橋 -- 現在の西海岸本線のヘメル・ヘムステッド駅 (Hemel Hemstead station) の近くにある -- は極端に斜めな円弧アーチの実例で、バックによりデザインされ、 これらのどちらの造作も組み込んでいる。 レンガの円柱と石の隅石で建設され、58° の斜交角度を持ち、 1837 年に完成した。 鉄道が開通する前の 1837 年 6 月 12 日付の水墨画の主題となり、 これは芸術家のジョン・クック・ボーン (John Cooke Bourne) の鉄道建設を描いた一連の作品の一つであった。

ボックスムーアの斜め橋、
2011 年、ロンドン道路
から南南西を見る。
ボックスムーア橋の詳細
面取りをした鋭角隅石
段付きのアーチ背面
訳注
ボックスムーアの斜め橋: Google map 衛星写真 ストリートビュー、地図を見れば、上のキャプションの南南西は間違いで、西南西が正しい。

バックの 「小論」 はニコルソンの批判を含み、 1839 年の 7 月に出版され、ニコルソンの 「鉄道石工事のガイド」 のちょうど数ヵ月前に出版され、 これにより 土木技術者と建築家の雑誌 (The Civil Engineer and Architect's Journal) の紙上での戦争がとげとげしく進行し、 ニコルソンはバックが自分のアイデアを盗んだと非難し、 バックも対抗して非難し返した。 1840 年に、バックの助手の若い技術者であるウィリアム・ヘンリー・バーロー (William Henry Barlow) は論争に加わり、謎の W.H.B とのみ署名していたが、まもなく公的にバックを強く支持した。 ニコルソンは、この時 75 才で健康が衰えかけており、1827 年に彼の出版社の 1 つが破産して以来、 資金的にもがいており、ガイド の売り上げからの収入を必死に望んでいた。 フォックスもバックもどちらもニコルソンの本を喜んで認め、 大半は知的な戦闘を戦ったが、バーローの攻撃は紳士的なものでなくなり、もっと個人的なものとなり、 ニコルソン -- 彼はあとで、謎の M. Q. からの匿名の公的な支持を受けた -- は随分と苦しんだ。

ラセン面方式の代替

石の列あるいはレンガの列を敷くラセン面方式はニコルソンがチャンピオンで、フォックスとバックは理想状態への近似である。 アーチの頂上部では石の列はアーチの面に直交するが端に近づけば近づくほど直交性から逸脱し、 擬似斜めアーチ (false skew arch) の欠陥を補正しすぎて、鈍角を弱くするため、 数学の純粋主義者はラセン面方式の建設は円弧アーチ (segmental arch) に制限すべきで、 完全な半円斜めアーチには使用してはならない、と推奨していた。 これにもかかわらず、多くの半円斜めアーチがラセン面方式で建設され、多くが現存しており、 キルダー高架橋 (Kielder Viaduct) とネイドパス高架橋 (Neidpath Viaduct) がほんの 2 つの実例である。

エドワード・サングの対数方式

斜めアーチを建設するための技術的に純粋な直交方式が研究されて、 エドワード・サング (Edward Sang) の対数方式が提案された。 サングはエジンバラ在住の数学者で、 この提案は、「有効な技芸の奨励協会」 (Society for the Encouragement of the Useful Arts、 現在の 王立技芸協会) で 1835 年の 11 月 18 日から、1836 年 1 月 27 日にかけて 3 部に分けて公演されたものであった。 この期間に彼は協会の副会長に選出されたが、彼の業績は 1840 年まで出版されなかった。 対数方式は 「平衡する」 列にセリ石を敷く原理に基づくもので、 各列はどの段階でも真にアーチ面に直交し、 各列における石の間の直列接続はアーチ面に真に平行であった。

エドワード・サング
(1805 年 - 1890 年)
対数方式で建設された
斜めアーチの
アーチ腹面の展開図

ラセンは直線をシリンダーの表面に射影することにより生成されたが、 サングの方式は一連の対数曲線を円柱の表面に射影する必要があり、 この名前が付けられた。 強度と安定性から対数方式で建設された斜め橋はラセン面方式から建設されたものより利点があり、 とりわけ完全半円の場合にはこうであった。 しかしながら、石の列は平行でなく、最も鋭角な隅石にかけて薄くなっており (この場所は平面図でアーチ面が迫持台と鈍角をなす点で、右上の展開図では S と Q で、 下の写真の腹面の左側である)、 最も鈍角な隅石にかけて厚くなっている (この場所は展開図の点 O と G で、下の写真の右手にある。) これにより、特別に切断した石が必要で、 与えられた列のどの 2 つも同じではなく、量産レンガの使用が排除される。 にもかかわらず、2 つの石の列で、アーチの端から同じ高さにあって、 反対側から始まるものは全く同じで、型板の数は半分になる。

番号 74A の橋。
リーズ・リバプール運河を越えて、
ボウルトン・プレストン鉄道を通す。
橋 74A のアーチの腹面
の詳細。

フランスのコルヌ・ド・ヴァッシュ方式

コルヌ・ド・ヴァッシュ (corne de vache) あるいは 「牛の角」 方式は、セリ石の列を敷く 別の方式で、セリ石の列がどの場所でもアーチの面と直交する。 ラセン面方式や対数方式ではアーチの腹面は円柱であったが、 コルヌ・ド・ヴァッシュ方式の場合には (線織面である) 双曲放物面が使用され、これは真中が少し垂れ下がり、むしろ鞍のようになっている。 これは、斜めアーチ建設のフランス方式として知られているが、 実際はイングランドの技術者であるウィリアム・フルード (William Froude) が導入し、 彼がイザムバード・キングダム・ブルネルの下でブリストル・エクセター鉄道で働いていた最中に導入し、 鉄道は 1844 年に開通した。 この分野におけるフルードの仕事の詳細は残っていないし、彼は流体力学での仕事でもっとよく知られているが、 この原理を使用して、赤レンガと石の隅石を使用して少なくとも 2 ヵ所で鉄道を越える橋を建設したことが知られている。 1 ヵ所はエクセターのすぐ北のカウリー・ブリッジ・ジャンクションで、A377 エクセター・バーンスターブル道路が鉄道を斜めに越える場所で、 もう 1 ヵ所はこの場所の 4 マイル (6.4 km) 北東のルー (Rewe) で A396 道路が鉄道を越えるところにある。 どちらも生き延び、毎日使用されている。レンガはラセン面デザインよりも随分複雑で、レンガの列がアーチ面と直角に交わることを確実にするために、 多くは先細に製造する必要があった。 コルヌ・ド・ヴァッシュの方法は対数方式で建設されたものとほとんど同じように強固で、ラセン面方式で建設されたものよりはずっと強固になる傾向があった。 しかし、再び、余剰の複雑さから、この方式は広く採用されなかった。 とりわけ、より単純なラセン面方式が、半円ではなく円弧のデザインを選べば、ずっと強固に建設できたからである。

ウィリアム・フルード
(1810 年 - 1879 年)
カウリー・ブリッジ・ジャンクション
の斜めアーチ。複雑な
レンガ構造を見せている。

リブの付いた斜めアーチ

リブの付いた斜めアーチは擬似的な斜めアーチで、 幾つかの通常のアーチを使用し、 1 つずつ、外にずらして真の斜めアーチを近似するものである。 18 世紀の米国で熟練した石工が少ないことに動機づけられ、 フィラデルフィアでスクーカル川 (Schuykill River) を横断するために英国生まれの米国の建築家である ベンジャミン・ヘンリー・ラトローブ (Benjamin Henry Latrobe) により 1802 年に始めて提案され、 後にフランスの技術者である A. ブーシェ (A. Boucher) が (この分野の) チャンピオンとなった。 一連のアーチのリブ (肋骨) はすべて通常のアーチであるため、 この建設方法は、より熟練していない職人にもそれほど負担が大きくなかったが、 これは脆弱で、霜の害を受けやすく、みっともなくて資源の無駄として批判された。 ラトローブの橋は提案されたように建設されることは決してなかった。 後にフィラデルフィア・レディング道路で、フィラデルフィア州内で広範に使用され、 これにはグスターヴァス A. ニコルズ (Gustavus A. Nicolls) によりデザインされた野心的な高架橋が含まれ、 川を越える 6 基の 70 フィート (21 m) の斜めスパンと、もう 6 基の陸上の斜めスパンが含まれている。 これはラトローブが提案した橋に近接し、1856 年に完成した。 1935 年にアーチと道路面の間の壁 (spandrel wall) が強化されたことにより、 橋は今日に至るまで鉄道交通を運び続けている。

英国のミッドランド鉄道はこのような熟練工不足に苦しむことはなかったが、 セント・パンクラス (St. Pancras) のロンドン・ターミナルに向けての南進の一環として、 ハーパンデン (Harpendent) で、サウスダウン道路 (Southdown Road) を横断する必要性に直面した。 この道路との角度は極端に鋭角的で、 およそ 25° で、バックの提案した理論的限界の 25° 40' よりも、もっと鋭角的であり、 斜交角度が 65°の橋を建設する必要があった。 これはロンドン・バーミンガム鉄道がデンビー・ホールで直面した問題と異なるわけではなかった。 今度選択された解答はサウスダウン道路の橋を 「リブの付いた斜めアーチ」 として建設することであった。 この橋は 1868 年に開通し、1893 年に成功裏に拡張され、 この時、路線が 4 車線に変換された。 前述のデザイン上の批判はあるが、橋は今なお健在で、毎日、急行列車と通勤列車により使用されている。

サウスダウン道路の斜め橋
レンガ製の「リブの付いた斜めアーチ」
の実例
レッドベリーのヘレフォード道路橋
リブの付いた斜めアーチ
石造でリブは青レンガ製

もっと小さく、それほど鋭角的でない実例はヘリフォードシャー州レッドベリーのヘリフォード道路橋である、 これは 1881 年に建設され、この橋により、レッドベリー・グロスター鉄道がヘレフォード道路 -- 現在は A438 道路の区間 -- をおよそ 45° で横断している。 鉄道は 1959 年に閉鎖され、現在は歩行路 (footpath) の一部として使用されている。

写真の 2 つの橋が逆方向に斜めになっていることに注意。 サウスダウン道路は 「左手斜め」 と呼ばれ、 これは近くの面が遠くの面よりも左にずれているからで、 一方ヘレフォード道路橋は 「右手斜め」 である。

建設

初期の斜め橋は石のブロックから苦心して建設され、 ブロックは個々に費用をかけて独自の形に切り出され、どの 2 つの端も平行していないし直交もしていない。 このような建設で立派な実例は有名な 「レインヒル斜め橋」 である。 この橋は、ジョージ・スチーブンソンにより斜交角度 56° で交差する 鉄道に 30 フィート (9.1 m) の開放スパンを与えるために、54 フィート (16 m) の斜めスパンでデザインされた。 そして 1830 年に完成する前に隣接した場所に実物大の木製のモデルを建設した。

レインヒル斜め橋。
レインヒル駅から見る。
レインヒル橋の石組の大写し

同時代に、 ストックトン・ダーリントン鉄道のハガー・リーセズ (Hagger Leases) 支線がダラム州のゴーンレス川を横断するために建設された斜め橋は 元々の請負人であるトーマス・ワース (Thomas Worth) とジョン・バティエ (John Batie) には困難すぎることが判明した。 彼らは迫持台の基礎を積み重ねて、 下層の石の列を敷いてから工事をあきらめた。 ポンテフラクト (Pontefract) のジェームス・ウィルソン (James Wilson) と 1830 年 5 月 28 日に £420 で再契約し、元々の請負見積書よりも £93 増加した。 原理が完全に理解されていなかったため、工事は困難であり続け、 支線開通の数日前まで、すぐにも崩壊すると厳かに予言されていた。 セントリングが取り除かれると、アーチの頂上が半インチ以内で落ち着いた。

斜めアーチ橋の実例
アイルランド
英国
ノースヨークシャーの
ヤーン高架橋の
二基の斜めアーチ
スタンフォード高架橋が
レスターシャー州ソア川
を横断する。
ブランティナム道路橋。
バッキンガムシャー州
ハイ・ウィカムの近く
米国
ペンシルバニア州レディング
の斜めアーチ橋
フィラデルフィアの
33 番通り橋
スペイン

マドリッドの 「フランス人の橋」
注釈

A: 斜交角度 (skew angle) とはアーチの円柱の中心軸がアーチの面の法線となす角。 通常のアーチは斜交角度 0 を持つものとして定義できる。

B: 斜めスパンとはアーチ面に平行に計測した時のスパンのこと。

C: 開放スパンとは迫持台に垂直に測定したアーチのスパンのこと【訳注:だから川の幅】

F: 厳密に言うと、展開図では、斜めアーチの面は直線ではなく、S 字型の曲線である。 斜交角度が大きくなれば、この曲線の曲率がもっと大きくなる。 そのため、ニコルソンは展開図で各面の両端を直線で結び 「近似直線」と呼んだ。 次にこの直線に垂直に石の並びを置いた。近似直線は頂点では面の曲線に接しているが、 頂点から離れると、その差が増大した。

訳注:ラセン面について

円柱の軸に半径に等しい棒を立て、 これが円柱を軸方向に進み、同時に円柱の周りを等速円運動する時に描かれる曲面がラセン面です。 ラセン面と円柱の共通部分がラセンになります。

訳注:斜めアーチのアーチ面を展開すると正弦曲線

半径 1 の円柱を考え、これをタテ置きにし、 PAB がその円柱面の一部分、 OAB が水平面の一部分、 OPA が円柱を切る平面の一部分とする。PB は水平面に垂直とし、OPA の平面と OBA の平面のなす角度を α とする。 ∠AOB を θ とすれば

PB = (tan α)(sin θ)

この式は斜めアーチのアーチ面を展開したときのグラフが y = (tan α)(sin θ) で表されることを示している。

訳注:日本の斜めアーチに関して

冒頭でも触れたように日本にも明治時代に斜めアーチが建設されたことがわかりますが、 斜めアーチをデザイン (設計) をした人はどのような人であったのでしょうか ? 蹴上の 「ねじりまんぼ」のデザインは恐らく琵琶湖疏水の技術者である 田邉朔郎によっている。 彼は 工部大学校の卒業生とのことです。 本文中の記載から、彼は

ジョージ・ワトソンン・バック:斜め橋に関しての実際的、理論的小論

を恐らく原文で読んでいる。 あるいは大学の講義で教わった。 その理由は本文中にこの本が 「19 世紀の終わりに至るまで鉄道技術者の標準教科書であり続けた。」 とあるためです。 斜めアーチの設計には、恐らく三角関数を知っていて、かなり面倒な計算をする必要があることが想定できます。 しかも、斜交角度もアーチ円筒の半径も一定ではないので、その場に応じて計算する必要がある。 また恐らく配慮しなければならない他の要因もあるはずです。 言いたいことは、1 人のひとが多くの斜めアーチの設計を手掛けることは無理ではないかと思われる点です。

英国ではどうだったのでしょうか ? 英国では 1830 年に 「リバプール・マンチェスター鉄道」 が建設され、 その時、すでに斜めアーチが建設されている。能力のある人が 1 人ぐらいいても、何千もの斜めアーチ橋をデザインすることは不可能です。 そこで登場するのが「機械工協会」です。 「機械工」 と呼ばれる人には土木技術者が入っていたので、鉄道建設の技術者はここで色々学んだと考えることができます。 「機械王協会」 は講義もありますが、図書館が付属していたので、独学で勉強することもできたはずです。 このような「機械工協会」は無数にあったので、斜めアーチを建設するための人材には事欠かなかったと思われます。 これから比較すると日本では人材不足であるようにも見えますが ほとんど産業がない明治時代には高等教育を受けた人の活躍の場が少なく、 人材も必要としなかったとも考えられます。 英国では多くの機械工協会がすぐにも大学に変貌していくようです。もっともこれは明治時代よりも前に起きている事です。